黃欲涵

[摘要]雙動(dòng)點(diǎn)線段和問(wèn)題在中考中十分常見(jiàn)，問(wèn)題突破可采用“動(dòng)靜轉(zhuǎn)化”的策略，通過(guò)做輔助線來(lái)構(gòu)造等線段，然后基于共線定理確定最值情形.該類問(wèn)題的題型較為豐富，突破構(gòu)建時(shí)存在一定的差異，文章將以2021年連云港中考卷的一道線段最值問(wèn)題為例，挖掘問(wèn)題特征，探索解法，并開(kāi)展關(guān)聯(lián)探究.

[關(guān)鍵詞]幾何;動(dòng)點(diǎn);線段和;最值

真題再現(xiàn)，深入解讀

考題（2021年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)卷第8題）如圖1所示，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng).若⊙O的面積為2π，MN=1，則△AMN周長(zhǎng)的最小值是（）.

A.3B.4C.5D.6

解讀本題目以正方形與圓內(nèi)接為背景，構(gòu)建了△AMN，并探究其周長(zhǎng)的最小值，其中MN為定值，故結(jié)合周長(zhǎng)公式L=MN+AN+AM可知，實(shí)則就是求AN+AM的最小值，故本質(zhì)上為線段和最值問(wèn)題.本題目有以下幾大特點(diǎn)，下面具體分析.

特征1——“兩動(dòng)一定”

線段和AN+AM涉及三點(diǎn)，其中M和N均為正方形對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)軌跡一致，而點(diǎn)A為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，為定點(diǎn)，故問(wèn)題可歸為“兩動(dòng)一定”線段和最值問(wèn)題.深入分析可知不符合“將軍飲馬”模型，故不可直接采用對(duì)稱轉(zhuǎn)化來(lái)破解.

特征2——?jiǎng)狱c(diǎn)關(guān)聯(lián)

點(diǎn)M和N均為DB上的動(dòng)點(diǎn)，具有限制條件“MN=1”，即表示兩點(diǎn)之間的距離始終相等，是兩動(dòng)點(diǎn)之間的聯(lián)系，這是與常規(guī)雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的最大區(qū)別.

特征3——隱含對(duì)稱

問(wèn)題圖像以正方形和圓內(nèi)接為背景，且動(dòng)點(diǎn)位于對(duì)角線上，這就造成復(fù)合圖形具有眾多的對(duì)稱性質(zhì)，如點(diǎn)A與C關(guān)于對(duì)角線DB對(duì)稱，連接CN和CM，則始終有CN=AN，AM=CM，該性質(zhì)為對(duì)稱轉(zhuǎn)化提供了條件.

思路分析，問(wèn)題突破

上述動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題的結(jié)構(gòu)鮮明，特征突出，問(wèn)題突破要立足幾何特征，把握解法核心.對(duì)于線段最值問(wèn)題，最有效的解法是線段轉(zhuǎn)換，構(gòu)建三點(diǎn)共線，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)破解，下面具體探究.

連接MC，由對(duì)稱性可知AM=CM，再分別過(guò)點(diǎn)M和A作AN和MN的平行線，構(gòu)造圖2所示的平行四邊形ANME.再連接AC和CE，分析可知AN+AM=EM+CM≥EC，顯然當(dāng)點(diǎn)C，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，AN+AM的值最小，此時(shí)AN+AM的長(zhǎng)等于CE.

AM）_min=3，所以△AMN周長(zhǎng)的最小值為4.

評(píng)析上述問(wèn)題突破過(guò)程的核心思想是動(dòng)定轉(zhuǎn)化，首先通過(guò)作平行線構(gòu)建平行四邊形，利用其中的對(duì)稱特性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)”問(wèn)題，然后結(jié)合“點(diǎn)共線，求最值”的策略完成破解.其中平行四邊形的“等邊特性”是線段轉(zhuǎn)化、化“動(dòng)”為“定”的基礎(chǔ)，“三點(diǎn)共線”是實(shí)現(xiàn)線段和最小的理論核心.

問(wèn)題挖掘，本源探究

分析：顯然該例題與原考題的圖形結(jié)構(gòu)完全一致，可參考考題的構(gòu)形轉(zhuǎn)化思路來(lái)作圖.此處主要探究該類問(wèn)題另一種“動(dòng)定轉(zhuǎn)化”的思路，可將E和F視為頂點(diǎn)，而將A視為動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)A的“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”軌跡應(yīng)在與EF相平行的直線上，即BD的平行線上.又知E和F是對(duì)角線上的任意兩點(diǎn)，將其視為定點(diǎn)后可設(shè)定在特殊位置，如點(diǎn)E與正方形的頂點(diǎn)B重合，從而轉(zhuǎn)化為常規(guī)的“兩定一動(dòng)”型問(wèn)題.

評(píng)析上述在求解線段最值問(wèn)題時(shí)同樣采用了“動(dòng)靜轉(zhuǎn)化”的策略，所不同的是通過(guò)構(gòu)造圖形將“動(dòng)點(diǎn)”與“定點(diǎn)”進(jìn)行了相對(duì)轉(zhuǎn)化，然后利用“三點(diǎn)共線”來(lái)確定最值情形，解法的核心是一致的.

關(guān)聯(lián)探究，方法賞析

上述問(wèn)題為線段和最值問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)之間的幾何關(guān)聯(lián)是其最突出的特征，該類問(wèn)題在初中幾何中十分常見(jiàn)，構(gòu)建形式較為多樣，下面結(jié)合兩道例題進(jìn)一步分析.

1.雙動(dòng)點(diǎn)距離關(guān)聯(lián)

例1如圖5所示，在矩形ABCD中，已知AD=2，AB=4，AC為對(duì)角線，E和F分別為AB和CD上的動(dòng)點(diǎn)，且EF⊥AC，垂足為M.現(xiàn)連接AF和CE，試求AF+CE的最小值.

分析：本題目同為雙動(dòng)點(diǎn)線段最值問(wèn)題，點(diǎn)E和F分別在平行線段上移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程始終有EF⊥AC.分析可知兩動(dòng)點(diǎn)之間的距離始終相等，即EF長(zhǎng)為定值，顯然與上述考題具有同類型的限制的條件，可采用對(duì)稱或平移轉(zhuǎn)化的方法來(lái)將所涉線段拼接.

解答：過(guò)點(diǎn)N作AF的平行線，再過(guò)點(diǎn)A作EF的平行線，設(shè)兩線交點(diǎn)為N，如圖5所示.由題意可知四邊形ANEF為平行四邊形，則有AN=AF，NE=AF，可知AF+CE=NE+CE≥NC，顯然當(dāng)點(diǎn)N，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，此時(shí)AF+CE的長(zhǎng)等于NC.

點(diǎn)評(píng)上述問(wèn)題中的垂直條件，實(shí)則隱含了兩動(dòng)點(diǎn)之間的距離關(guān)聯(lián)，本質(zhì)上與考題特征一致，故可通過(guò)平移或?qū)ΨQ來(lái)實(shí)現(xiàn)“動(dòng)靜轉(zhuǎn)化”.平移構(gòu)造所依托的是平行四邊形的性質(zhì)，而對(duì)稱構(gòu)造則是依托對(duì)稱特性，其核心均是等線段轉(zhuǎn)化.

2.雙動(dòng)點(diǎn)線段限制

例2如圖6所示，邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，且AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，E和F分別為線段AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，則BE+BF的最小值為.

分析：本題目中同為雙動(dòng)點(diǎn)線段和最值問(wèn)題，并設(shè)定了AE=CF，實(shí)則表示兩動(dòng)點(diǎn)分別距定點(diǎn)A和C的距離相等，可歸為參考點(diǎn)之間的幾何關(guān)聯(lián).由于點(diǎn)E和F并非位于同一直線上，故無(wú)法直接完成“動(dòng)靜轉(zhuǎn)換”，可構(gòu)造全等三角形來(lái)轉(zhuǎn)換線段，進(jìn)而求線段和最值.

點(diǎn)評(píng)上述問(wèn)題中，兩動(dòng)點(diǎn)之間沒(méi)有直接的距離關(guān)聯(lián)，但對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡做了限制，從動(dòng)態(tài)視角來(lái)看可視為具有相同的速度.問(wèn)題轉(zhuǎn)化的策略是一致的——“動(dòng)靜轉(zhuǎn)化”，所不同的是上述通過(guò)構(gòu)造全等三角形，利用全等特性來(lái)實(shí)現(xiàn)等線段轉(zhuǎn)化.

解后反思，教學(xué)建議

1.關(guān)注問(wèn)題特征，挖掘問(wèn)題本質(zhì)

上述以一道雙動(dòng)點(diǎn)線段和最值問(wèn)題為例，探索了問(wèn)題特征，挖掘了問(wèn)題本質(zhì)，并開(kāi)展解法探究.其中問(wèn)題特征及本質(zhì)是思路構(gòu)建的基礎(chǔ)，也是問(wèn)題突破的關(guān)鍵.問(wèn)題特征需要多角度探索，充分定位，以上面動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題為例，需要關(guān)注動(dòng)定點(diǎn)的個(gè)數(shù)、動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)軌跡、動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，以及是否存在聯(lián)動(dòng)條件.解題教學(xué)中，建議引導(dǎo)學(xué)生分步探究，從圖像背景人手，挖掘動(dòng)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，準(zhǔn)確定位動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題屬性.

2.總結(jié)解法思路，探究方法內(nèi)涵

幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的類型較為多樣，不同類型題的破解方法有差異.以上述問(wèn)題為例，由于雙動(dòng)點(diǎn)之間的距離限制，造成動(dòng)點(diǎn)存在聯(lián)動(dòng)關(guān)系，故轉(zhuǎn)化過(guò)程要充分考慮該條件.該類問(wèn)題突破的方法核心是“動(dòng)靜轉(zhuǎn)化”，可通過(guò)平移、構(gòu)平行四邊形、全等圖形等方式實(shí)現(xiàn)等線段轉(zhuǎn)化.本質(zhì)上所依托的是“三點(diǎn)共線，線段最短”，這是該解法策略的內(nèi)涵所在.教學(xué)中，建議引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展類比探究，呈現(xiàn)多類型動(dòng)點(diǎn)線段和最值問(wèn)題，分析構(gòu)建思路，總結(jié)方法異同，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn).

3.拓展解法探究，激活學(xué)生思維

解法探究是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，在該環(huán)節(jié)中不僅要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解法，還要激活學(xué)生的思維.故建議完成探究后合理進(jìn)行拓展變式，包括對(duì)問(wèn)題的變式及方法的拓展.如上述考題探究后對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了關(guān)聯(lián)拓展，并深入分析了問(wèn)題解法，形成了解題策略.教學(xué)中，建議立足問(wèn)題，探索解法，并結(jié)合實(shí)例深入拓展.探究過(guò)程注意思維引導(dǎo)，讓學(xué)生充分思考，內(nèi)化吸收，同時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新思維，使學(xué)生從思想上獲得能力提升.