江蘇省南京市南京曉莊學院附屬小學 顧新佳

近日，筆者觀摩周衛(wèi)東老師執(zhí)教的“平行四邊形的面積”一課，對周衛(wèi)東老師一貫堅守的“高觀點”教學主張有了更深的認識。本節(jié)課順應學情、深究本質、站位高遠，幫助學生突破知識本質，促進學生主動建構知識。

一、大問題統(tǒng)整，促進學生主動建構知識

“德國著名數(shù)學家、數(shù)學教育家克萊因倡導‘高觀點’，即從高等數(shù)學的角度來審視初等數(shù)學?！案哂^點”給初等數(shù)學的教學帶來了生機與活力?！笔苌鲜鲇^點的啟發(fā)，周衛(wèi)東老師積極倡導基于“高觀點”視角的數(shù)學教學。他認為：“所謂‘高’者，即不一般、優(yōu)于常態(tài)也，‘高觀點’視角下的數(shù)學教學，可以從內容的縱深維度遷移到內容的寬窄維度，推及思想的高低維度等?！薄案哂^點”視角下的數(shù)學教學，立于教學的高位，回應數(shù)學學科的本質。

教學中，通過大問題統(tǒng)整，可以幫助學生主動建構知識。所謂大問題，就是一種開放性問題或具有多元思考方式的問題，來鼓勵學習者積極參與問題解決中，使學生嘗試尋找有用的知識、思考合適的方案來解決主要問題。數(shù)學學習中的大問題觸及數(shù)學本質，是課堂教學中的問題之“眼”。

（一）大問題引領，促數(shù)學思維萌芽

周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時，緊緊扣住“平行四邊形的面積到底該怎么計算”這個大問題統(tǒng)領教學。

上課伊始，周衛(wèi)東老師出示學生課前小研究的三種典型算法：

圖1

課堂上，當三種算法呈現(xiàn)出來時，學生紛紛舉手，準備表達觀點。這時，周衛(wèi)東老師提醒學生說：“如果你想要證明哪一種結果是對的，就要說出你的方法?！笨此破匠５奶嵝?，卻為學生后面沿著大問題的脈絡一步一步接近數(shù)學知識的本質奠定了基礎。

學生經過交流，很快得出了結論。方法①是算周長的，不符合條件。而方法②，是課前預習中學生常出現(xiàn)的錯誤之一，為什么這種方法不對呢？學生從長方形的面積計算中得到啟發(fā)，認為平行四邊形不是長方形，所以不能用鄰邊相乘來計算。對于方法③，絕大多數(shù)學生認為是對的，這多源于課前預習?；谶@樣的學習起點，周衛(wèi)東老師在“平行四邊形的面積到底該怎么算”這個大問題的統(tǒng)領下，拋出了“怎么說明這個平行四邊形的面積是24平方厘米呢”這個問題。此問題一出，學生的研究視角聚焦到平行四邊形面積計算的細節(jié)中。而后，學生通過割補、數(shù)格子等方法，不但證明了這個平行四邊形的面積是24平方厘米，也印證了方法②的錯誤，并得到初步猜想“平行四邊形的面積可以用底×高來算”。

數(shù)學教學中，立于高位去設計教學路徑，用大問題統(tǒng)領教學，是促進學生數(shù)學思維萌芽、主動建構知識的關鍵步驟。

（二）大問題推進，促數(shù)學思維生長

教學時，引領學生走進平行四邊形面積計算問題本質后，學生的思路瞬間被打開，觀點呼之欲出。學生得到初步猜想“平行四邊形的面積可以用底×高來算”后，周衛(wèi)東老師適時拋出問題“所有平行四邊形的面積都可以用底×高來計算嗎”。這個問題是引導學生由個體向類別推理的核心問題，課堂上，周衛(wèi)東老師給學生提供了三個大小、形狀各不同的平行四邊形，讓學生通過割補等方法去印證自己的猜想。

在上述三個平行四邊形面積推導的過程中，學生進一步明確了之前的猜想，并且形成了基本的結論。一個又一個大問題推進的過程，就是學生數(shù)學思維不斷調整、整合、進階的過程。

（三）大問題歸納，促數(shù)學思維扎根

大問題屬于上位問題，是統(tǒng)整整個知識點乃至知識體系的問題，基于高觀點下的數(shù)學課堂，在大問題引領、推進之后，要有大問題歸納總結。在本節(jié)課中，雖然學生通過不完全歸納，經歷了“一個”到“一類”的認知過程，但是，周衛(wèi)東老師并未就此引出平行四邊形面積計算公式，而是給學生布置了關鍵性任務——（1）觀察：轉化前后，兩個圖形有什么聯(lián)系？（2）推理：平行四邊形的面積為什么可以用底×高來計算？

教師在引領學生完成這個學習任務的過程中，引導學生學會推理歸納，進一步厘清平行四邊形面積計算的本質問題，即沿著平行四邊形的任意一條高剪開，拼成一個長方形，發(fā)現(xiàn)拼成的長方形的長等于平行四邊形的底、長方形的寬等于平行四邊形的高，且面積不變。所以，根據(jù)長方形的面積=長×寬，推導出平行四邊形的面積=底×高。

通過大問題的歸納總結，可以幫助學生厘清知識本質，養(yǎng)成從高位視角看待所學知識的素養(yǎng)，從而將學生的思維引向深入。

二、結構化關聯(lián)，促進學生主動建構知識

周衛(wèi)東老師認為：“高觀點視角下的小學數(shù)學教學還應該能看到知識內在的結構。學科之所以為學科，不是簡單概念與知識要點的堆砌，其中非常重要的原因就在于學科知識之間存在著不可割裂的內在聯(lián)系。”數(shù)學常常被稱為“結構的科學”，是一種整體的、系統(tǒng)與意義的結構。知識學習走向結構化，才能更深刻地促進學生對知識的認知與理解。關聯(lián)主義學習理論認為，學習是對知識網(wǎng)絡結構中某種關系和節(jié)點的重新建構，是一個知識的連接過程。基于高觀點視角的數(shù)學教學，更應注重知識間的關聯(lián)，將學生的思維引向整體化、結構化的高度，促進學生主動建構知識。

（一）關聯(lián)在思維行進中

數(shù)學學習中，學生的思維行進呈現(xiàn)一個螺旋上升、逐步遞進的過程。因此，在教學時，教師應當在學生的思維行進過程中，做好生生互動的關聯(lián)、師生互動的關聯(lián)、學生與學材互動的關聯(lián)、學生與空間環(huán)境等互動的關聯(lián)。教師適時地引領和點撥，可以幫助學生掃清思維行進中的障礙，逐步建構知識。周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時，注重在學生思維行進中做好結構關聯(lián)。

從圖2中可以看出，周衛(wèi)東老師順應了學生思維發(fā)展的脈絡，遵循了學生“學”的邏輯，使各個學習環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、相互關聯(lián)，串起了整個知識學習的體系，使之結構化、系統(tǒng)化。

圖2 “平行四邊形面積”學習路徑結構示意圖

（二）關聯(lián)在思維困頓處

學生在思維進階的節(jié)點上可能會出現(xiàn)困頓。教師在教學中，設計學習任務時要預設到學生思維可能出現(xiàn)的困頓之處，通過引導，幫助學生加深對知識的理解，主動建構完整的知識體系。

周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時，出示了這樣一道題：

師：如圖3，這個平行四邊形的面積怎么算？

圖3

生：用4×6來計算，答案是24平方厘米。

師：想一想為什么用“4×6”，而不用“8×6”呢？

生：因為平行四邊形的面積公式是底×高，所以要用“4×6”。

師：8厘米也是底啊，為什么不能用“8×6”來計算呢？

生：因為6厘米不是8厘米上的高，計算時要找到對應的高。

師：原來，計算平行四邊形面積時，要找到對應的底和高來計算。

計算平行四邊形面積時，學生往往只記住“底×高”，而忽視了“對應”這個關鍵要素，導致計算錯誤，形成認知錯位。周衛(wèi)東老師在學生學習的困頓之處，通過實際問題，巧妙地將“對應”的底和高相乘的核心知識傳遞給學生，通過這樣的學習，真正將知識關聯(lián)互通，形成正確的認知結構。

（三）關聯(lián)在思維進階時

“高觀點”視角下的數(shù)學教學，不僅是引導學生將知識羅列堆砌，而且要將學生的思維引向更高的層次，建構新的知識體系。因此，學習任務的編排設計需要關聯(lián)學生思維進階的節(jié)點，為學生思維的順利進階提供必要的支持與幫助。周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時，立于“高觀點”之下，不僅關注學生當下知識的學習，還關注現(xiàn)在與未來知識之間的聯(lián)系。

在回溯課前出示的方法②時，周衛(wèi)東老師通過動畫演示的方法（如圖4），讓學生明白為什么不能用鄰邊相乘的方法來計算平行四邊形的面積。

圖4

從動態(tài)演示的過程可以看出，把平行四邊形拉直后，形成的長方形的面積比原來的圖形面積多了一塊。學生在動畫演示的過程中，進一步明確了，當平行四邊形的底和周長不變時，隨著高的增大，面積越來越大，一直到轉化為一個長方形時，面積最大。這樣的思維進階過程，通過動態(tài)演示，自然而然地印刻在學生的腦海中，學生形成了對平行四邊形面積計算的完整清晰的認知結構。

課行至此，思維進階并未停止，在高觀點視角下，周衛(wèi)東老師進一步引領學生思考，如果將平行四邊形的鄰邊的角度標出，隨著角的傾斜變化，高也在不斷變化，從而將初中時將要學習的平行四邊形的計算公式向學生滲透，即平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值。

學習至此，用周衛(wèi)東老師的話來說：“此時，在學生的認知結構中，若隱若現(xiàn)留下的，是知識的全貌，是結構的雛形，更是朝向未來知識世界的美好。”什么是好的數(shù)學課堂？好的數(shù)學課堂就是將學生的思維引向深遠，讓學生帶著疑問走進課堂、帶著收獲和新的疑問走出課堂，形成數(shù)學學習螺旋上升的學習場。高觀點視角下的數(shù)學教學，通過關聯(lián)性的學習任務，將學生的思維引向更扎實、更高階的境界，從而讓學生主動建構知識體系、完善認知結構，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，提升數(shù)學學習力。

三、思想性包攝，促進學生主動建構知識

周衛(wèi)東老師在《試談高觀點視角下的小學數(shù)學教學》一文中指出：“高觀點視角下的小學數(shù)學教學應該能看到知識深層的思想方法。學科思想是學科知識中的‘隱性內容’，是學科專家提出的對學科發(fā)展和學科學習最具影響力的那些觀念和見解，是知識‘背后’的知識，是學科的精髓與靈魂?！敝苄l(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時，將數(shù)學思想的滲透學習貫穿全課。

（一）由“個”到“類”，滲透歸納思想

上課伊始，周衛(wèi)東老師說過這樣一句話：“周老師更加關注你們說明時使用的數(shù)學方法?！痹谝龑W生探究平行四邊形的面積公式時，他先引導學生用“割補法”“數(shù)格子法”等方法去印證“一個”平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算，進而引導學生進一步印證“任意”平行四邊形的面積都可以用“底×高”來計算。在由“個”到“類”的印證過程中，向學生滲透了不完全歸納的思想。

（二）由“新”到“舊”，滲透轉化思想

周衛(wèi)東老師在帶領學生復習了之前學習過的平面圖形的面積計算方法，尤其是長方形的面積計算方法后，展示學生課前小研究中呈現(xiàn)的三種典型算法。學生在討論為什么方法③是對的時，想到了通過割補法，將平行四邊形轉化為長方形。將“新知”轉化為“舊知”，從而順利推導出平行四邊形面積的計算公式。且在轉化過程中，立意于高觀點，周衛(wèi)東老師并未將學生的起點定位于實際操作，而是引導學生通過用“手”比畫、用“腦”想象，既滲透了轉化的思想，又提升了學生的空間想象能力。

（三）由“同”到“異”，滲透對應思想

在學生探索出平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算后，周衛(wèi)東老師通過一道題，引發(fā)學生思考：為什么都是平行四邊形的底？為什么不能和給定的高相乘？從而引導學生思考“同”是底，卻“異”在高的不同上，因此，得出結論：計算平行四邊形面積時，必須用對應的底乘對應的高。在這樣辨析的過程中，滲透了對應的數(shù)學思想。周衛(wèi)東老師在《高觀點、低結構、中溫度——一種新的教學視角》一文中指出：“從數(shù)學教學角度看，一堂課新往往就新在思維過程上，高往往就高在思想性上，好往往就好在學生參與活動的深度和廣度上。有思想深度的課，給學生留下長久的心靈激蕩和對知識的深度理解，以后即使具體的知識忘了，但數(shù)學地思考問題的思想方法卻將長久存在?！?/p>

在數(shù)學教學中，基于高觀點的視角，可以將學生的思維引向更扎實、更高階的境界，從而讓學生主動建構知識體系、完善認知結構，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，提升數(shù)學學習力。