馬瑞瑞，王 剛，張 靜

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830017)

在圖像采集、傳輸和轉(zhuǎn)換過(guò)程中，會(huì)加入一些噪聲，如模糊、失真和噪聲；而在實(shí)際應(yīng)用中，需要清晰、高質(zhì)量的圖像?；謴?fù)圖像最基本的任務(wù)是在不丟失圖像細(xì)節(jié)信息的情況下去除圖像中的噪聲。[1-2]然而，抑制噪聲和保持細(xì)節(jié)往往是矛盾的，這也是圖像處理中一直沒(méi)有很好解決的問(wèn)題。為了獲得模糊圖像的清晰圖像，傳統(tǒng)的圖像恢復(fù)算法通常對(duì)整個(gè)圖像進(jìn)行處理，信息全部被還原，使得需要的信息不夠突出[3]。中值濾波去噪效果一般，且圖像細(xì)節(jié)信息會(huì)有部分丟失。二進(jìn)小波變換域內(nèi)數(shù)據(jù)表達(dá)存在很大冗余性，便于對(duì)每個(gè)尺度下的細(xì)節(jié)和概貌進(jìn)行頻譜分析，可以有效避免由于非線性變換在邊緣不連續(xù)時(shí)所引起的偽吉布斯現(xiàn)象。在相同誤判概率下，二進(jìn)小波變換可改變圖像重建效果，降低圖像在重建過(guò)程中產(chǎn)生的人工噪聲，相比于其他去噪算法，二進(jìn)小波變換的圖像去噪方法對(duì)噪聲水平有很強(qiáng)的穩(wěn)定性[4]。針對(duì)這種情況，本文提出了一種基于B-樣條二進(jìn)制小波變換與中值濾波結(jié)合的方法，且提出基于B-樣條與圖像的加法相結(jié)合的方法，進(jìn)一步說(shuō)明了，構(gòu)造的B-樣條二進(jìn)小波濾波器不僅能夠達(dá)到很好的去噪效果，而且能夠很好保留圖像的細(xì)節(jié)信息。圖1為本文的算法流程。

1 中值濾波

中值濾波是指使用固定的幻燈片窗口對(duì)圖像進(jìn)行過(guò)濾。基本上，當(dāng)前像素的像素值用周圍所有像素中的值來(lái)代替。如果有奇數(shù)，則使用中間值將偶數(shù)設(shè)為中間2位。與線性濾波相比，可以保留更多圖像細(xì)節(jié)。另外，圖像模糊也有一定的抑制效果。使用中值過(guò)濾器去除噪聲時(shí)，根據(jù)圖像的特征選擇矩形、圓形、十字形、線性等形狀，窗口大小有3×3、5×5、7×7、9×9等，通過(guò)測(cè)試從小到大，選擇合適的窗口尺寸[5-7]。

具體步驟如下:

Step1:在模板中漫游圖像，將模板中心和圖像中心的一個(gè)像素重疊；

Step2:讀取模板下各對(duì)應(yīng)像素的灰度值;

Step3:將這些灰度值從小到大排列成一列;

Step4:找出排在中間的一個(gè)值;

Step5:將此中間值分配給相應(yīng)模板的中心像素。

中值濾波的優(yōu)點(diǎn)是保護(hù)圖像邊緣信息，去除圖像中不需要的圖像噪聲；缺點(diǎn)是容易造成圖像的不連續(xù)性。

圖1 本文算法流程圖

2 圖像的加法運(yùn)算

圖像相加的一個(gè)應(yīng)用是生成一個(gè)圖像的內(nèi)容重疊在另一個(gè)圖像上的圖像效果，或者在圖像中的各個(gè)像素點(diǎn)上疊加常數(shù)以改變圖像的亮度。圖像相加的另一個(gè)重要用途是通過(guò)重疊相同圖像并平均化來(lái)去除原始圖像中的附加噪聲[1-2]，其原理是:對(duì)原始圖像f(x,y)有一個(gè)噪聲圖像集{gi(x,y)}，i=1,2,…,M,其中：

(1)

M個(gè)圖像的均值為

(2)

當(dāng)噪聲ei(x,y)不相關(guān)且均值為0時(shí)，上述圖像均值會(huì)降低圖像的噪聲。

3 B-樣條二進(jìn)小波濾波器

3.1二進(jìn)小波快速算法——｀aTrous

在對(duì)圖像進(jìn)行處理時(shí)，大部分是在對(duì)象為離散狀況下進(jìn)行的，所以需要用到二進(jìn)小波變換的離散形式計(jì)算方法。在1992年，MALLAT創(chuàng)建了能夠完成二進(jìn)小波變換的計(jì)算方法，即｀aTrous算法，與MALLAT計(jì)算方法具有一樣的優(yōu)勢(shì)，代表了不一樣尺度的二進(jìn)小波系數(shù)的聯(lián)系。需要說(shuō)明文中所提的｀aTrous算法是T.ABDUKIRIM在MALLAT創(chuàng)建的算法的基礎(chǔ)上修改得到的。

(3)

當(dāng)j≥0時(shí)，記

aj[n]=，

(4)

其中：

對(duì)任意j≥0，在整數(shù)格點(diǎn)上，二進(jìn)小波的系數(shù)計(jì)算方法為

dj[n]=(Wψ,f)(2-j,n)(t)=,n∈Z

。

(5)

也就是說(shuō)任意尺度2j>1,{d1,d2,…，dj,aj}這一離散信號(hào)的序列便可以被叫作a0離散信號(hào)的二進(jìn)小波變換。

定理1 二維｀aTrous算法[8-10]

二維DyWT分解公式

(6)

二維DyWT重構(gòu)公式

(7)

其中:j=0,1,2,…

3.2B-樣條二進(jìn)小波濾波器的構(gòu)造

此方法是對(duì)MALLAT的B-樣條二進(jìn)小波的推廣[8-9]，過(guò)程是由T.ABDUKIRIM完成的。具體過(guò)程如下，m次B-樣條函數(shù)φ(t)是特征函數(shù)χ[0,1]與其自身的卷積的平移:φ(t)=χ*χ*χ…χ[0,1](t)。

對(duì)φ(t)進(jìn)行Fourier變換，可以得到

(8)

根據(jù)二尺度關(guān)系有

(9)

(10)

由二進(jìn)完全重構(gòu)有

(11)

因此由二尺度關(guān)系有

(12)

表1 r=2，m=0時(shí)的B-樣條二進(jìn)小波濾波器的系數(shù)

4 實(shí)驗(yàn)過(guò)程與分析

本實(shí)驗(yàn)是以MATLAB R2016a為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以標(biāo)準(zhǔn)的“cameraman.tif”圖像加入方差為0.005的高斯噪聲作為分析對(duì)象。實(shí)驗(yàn)過(guò)程是：首先，分別利用二維中值濾波和圖像的加法運(yùn)算對(duì)含噪圖像去噪；其次，利用B-樣條二進(jìn)小波濾波器將圖像分解一次重構(gòu)，得到復(fù)原后圖像；最后二進(jìn)小波重構(gòu)后圖像分別再次進(jìn)行二維中值濾波去噪和圖像的加法運(yùn)算去噪。

(1)圖2(a)是MATLAP自帶的“cameraman.tif”圖像加入方差為0.005的高斯噪聲圖像，觀察圖像，可以看到，噪聲密度較集中。

(2)圖2(b)是對(duì)圖像進(jìn)行二維中值濾波后的圖像，圖像的細(xì)節(jié)信息沒(méi)有突出，邊緣不夠清晰，人物的嘴巴幾乎看不到，去噪效果一般。

(3)圖2(c)是圖像的加法運(yùn)算。通過(guò)疊加相同的圖像并取平均值，消除了原始圖像中的附加噪聲。這種方法在原圖已知的情況下，通過(guò)疊加次數(shù)的增大，能夠達(dá)到很好的去噪效果。但對(duì)原圖未知的情況，達(dá)不到很好的去噪效果。

(4)圖2(d)是用B-樣條二進(jìn)小波分解重構(gòu)含有高斯噪聲的圖像，利用B-樣條二進(jìn)小波變換將圖像分解一層，重構(gòu)后的圖像去噪效果明顯強(qiáng)于傳統(tǒng)的中值濾波，人物的嘴巴可以看到，這種方法更適于實(shí)際應(yīng)用。

(5)圖2(e)為本文方法1，先對(duì)圖像進(jìn)行B-樣條二進(jìn)小波分解重構(gòu)，然后再對(duì)重構(gòu)后的圖像進(jìn)行中值濾波，得到的圖像效果要明顯好于圖(c)方法，比圖(d)方法要好一些，圖像細(xì)節(jié)也保留得較好。

(6)圖2(f)為本文方法2，先對(duì)圖像進(jìn)行B-樣條二進(jìn)小波分解重構(gòu)，然后再對(duì)重構(gòu)后的圖像進(jìn)行疊加取平均，這種方法得到的去噪圖像明顯比圖(e)去噪效果強(qiáng)，但和圖(c)人眼很難對(duì)比出去噪效果，兩者都能達(dá)到很好的去噪效果，并且這個(gè)方法更進(jìn)一步說(shuō)明B-樣條二進(jìn)小波濾波器能夠很好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

為了使實(shí)驗(yàn)效果更加真實(shí)可信，求得圖像信噪比，更加直觀地看到每種方法的去噪效果，其中，圖像信噪比越大，則圖像去噪效果越強(qiáng)[11]。數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 峰值信噪比

從數(shù)據(jù)中更能客觀地說(shuō)明本文提出結(jié)合二進(jìn)小波與中值濾波效果更優(yōu)于傳統(tǒng)單一使用中值濾波的方法，因?yàn)榧臃ㄟ\(yùn)算可以達(dá)到很好的復(fù)原效果，所以將加法運(yùn)算與二進(jìn)小波結(jié)合，發(fā)現(xiàn)兩者都可以達(dá)到很好的去噪效果，并且圖像細(xì)節(jié)信息被很好地保留，更進(jìn)一步說(shuō)明了二進(jìn)小波濾波器具有很好的去噪效果與保留圖像細(xì)節(jié)信息的效果。

5 結(jié)語(yǔ)

本文將B-樣條二進(jìn)小波變換的特點(diǎn)和中值濾波的優(yōu)勢(shì)，以及圖像的加法運(yùn)算結(jié)合起來(lái)，提出基于B-樣條二進(jìn)小波變換的圖像復(fù)原方法。人物圖像的細(xì)節(jié)很多，邊緣容易模糊，讓所有有用的細(xì)節(jié)信息能夠保留并且達(dá)到去噪的效果尤為重要。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，用B-樣條二進(jìn)小波濾波器去噪效果遠(yuǎn)優(yōu)于單純地使用均值濾波傳統(tǒng)方法的去噪效果，將B-樣條二進(jìn)小波濾波器分別與中值濾波以及圖像的加法運(yùn)算結(jié)合，結(jié)合的方法相較于單一使用的方法有一定提升。

在后續(xù)的工作中，將對(duì)小波分解后的低頻子圖和高頻子圖分別討論。本文中去噪方法還需進(jìn)一步提升，讓去噪效果更佳，且細(xì)節(jié)可以用別的方法進(jìn)行復(fù)原。本文也進(jìn)一步證明了B-樣條二進(jìn)小波在圖像去噪中的良好性能的同時(shí)，能很好地保留圖像信息，為下一步二進(jìn)小波的研究奠定了基礎(chǔ)。