楊衍婷，陽 靜，郭佳樂，孫遠(yuǎn)航，高 宇，陳雄濤

(咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 咸陽 712000)

0 引言

把矩陣分解為形式比較簡單或具有某種特性的一些矩陣的和，在矩陣?yán)碚摰难芯颗c應(yīng)用中是非常重要的。這些分解式的特殊形式一方面能反映出原矩陣的某些數(shù)值特征，另一方面分解的方法與過程給研究者提供了有效的理論分析依據(jù)。在矩陣的和式分解中，譜分解理論在代數(shù)學(xué)中占有重要地位。高楓[1]給出了單純矩陣的譜分解及其譜族的構(gòu)成方法；林志興等[2]給出了不需要求出特征值和特征向量的冪幺矩陣的譜分解的計算公式；李大林[3]提出了虧損矩陣廣義譜分解概念,所得廣義特征矩陣具有類似若當(dāng)鏈的性質(zhì)，并介紹了廣義譜分解在計算矩陣冪級數(shù)中的應(yīng)用。另外，矩陣和式分解并不局限于譜分解，它方法靈活，應(yīng)用廣泛；楊尚駿等[4]研究了矩陣分解為穩(wěn)定矩陣之和的問題；王巖等[5]討論了矩陣分解為若干矩陣的乘積或和的一些應(yīng)用。矩陣和式分解涉及數(shù)值計算和數(shù)據(jù)處理的諸多方面，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于計算機科學(xué)、信息科學(xué)等領(lǐng)域。

本文利用代數(shù)構(gòu)造的方法研究任意復(fù)數(shù)矩陣按其特征值的和式分解及分解的唯一性問題，以設(shè)計出簡單矩陣來表達復(fù)雜矩陣，使得計算簡單，滿足實際中對數(shù)據(jù)處理的實時性要求，并且可以為理論分析提供一定幫助。

1 相關(guān)引理

引理1 設(shè)A,B均是可對角化的n級方陣，且AB=BA，則存在可逆矩陣T，使TAT-1與TBT-1均是對角矩陣。

證明 請參閱文獻[6]。

引理2 設(shè)n級復(fù)數(shù)矩陣A可表示為

A=λ1A1+λ2A2+…+λsAs，

其中：AiAj=AjAi，Ai可對角化，則A可對角化。

證明 運用數(shù)學(xué)歸納法證明。

當(dāng)s=1時，結(jié)論顯然成立。

假設(shè)當(dāng)s=k時，結(jié)論成立，則當(dāng)s=k+1時，根據(jù)假設(shè)，λ1A1+λ2A2+…+λkAk可對角化，由已知，Ak+1可對角化，Ak+1Ai=AiAk+1(i=1,2,…，k)，則

Ak+1(λ1A1+λ2A2+…+λkAk)=(λ1A1+λ2A2+…+λkAk)Ak+1。

根據(jù)引理1，存在可逆矩陣R，使得

其中：μ1,μ2,…,μn為λ1A1+λ2A2+…+λkAk的特征值，δ1,δ2,…,δn為Ak+1的特征值，則

即λ1A1+λ2A2+…+λkAk+λk+1Ak+1可對角化，從而當(dāng)s=k+1時，結(jié)論成立，這樣，可得引理2成立。

2 結(jié)論及證明

定義1 對于兩個不相等的二維實向量(x1,y1)與(x2,y2)，當(dāng)x1

根據(jù)定義1，兩個不同復(fù)數(shù)λ=|λ|(cosα+isinα)，μ=|μ|(cosβ+isinβ)，當(dāng)(|λ|，α)(|μ|，β)時，規(guī)定λμ，其中，0≤α<2π，0≤β<2π。

定理1 設(shè)A是復(fù)數(shù)域C上的一個n×n矩陣，則A可以唯一分解為

A=λ1A1+λ2A2+…+λsAs+B。

其中，λ1,λ2,…，λs是A的全部互不相同的特征值，且λ1λ2…λs，Ai是冪等矩陣，Ai的秩為λi的代數(shù)重數(shù)，為n級單位矩陣，且當(dāng)i≠j時，有AiAj=AjAi=O，B是冪零矩陣，且有BAi=AiB。

證明 因為n級復(fù)數(shù)矩陣A與它的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相似，即存在可逆矩陣T，使

根據(jù)矩陣分塊運算，有

A=λ1A1+λ2A2+…+λsAs+B，

且Ai2=Ai，當(dāng)i≠j時，AiAj=AjAi=O，Ai的秩等于Ji的級數(shù)，從而為λi的代數(shù)重數(shù)。 因為Jj,i,0為冪零矩陣，所以B是冪零矩陣。 同時可以驗證BAi=AiB。

下面證明分解式的唯一性。因為復(fù)數(shù)域上的n級方陣A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形除去若當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣A唯一決定的，因此，當(dāng)λ1λ2…λs(s≥2)時，設(shè)A的兩個不同的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分別為

其中：

而

設(shè)有可逆矩陣T,Q使得

A有兩種分解式

A=λ1A1+λ2A2+…+λsAs+B=λ1C1+λ2C2+…+λsCs+D。

其中：

根據(jù)若當(dāng)形矩陣的特性,T=(T1,T2,…，Ts),Q=(Q1,Q2,…，Qs) ，其中：

Ti=(αi,1,(A-λiE)αi,1,…，(A-λiE)h1,i-1αi,1,…，αi,ti,(A-λiE)αi,ti,…，(A-λiE)hti,i-1αi,ti)，

Qi=(βi,l1,(A-λiE)βi,l1,…，(A-λiE)hl1,i-1βi,l1,…，βi,lti,(A-λiE)βi,lti,…，(A-λiE)hlti,i-1βi,lti)，

(A-λiE)h1,iαi,1=0,…，(A-λiE)hti,iαi,ti=0，(A-λiE)hl1,iβi,l1=0,…,(A-λiE)hlti,iβi,lti=0。

設(shè)σ=max{h1,i,h2,i,…，hti,i},則

αi,1(A-λiE)αi,1,…，(A-λiE)h1,i-1αi,1,…，αi,ti,(A-λiE)αi,ti,…,(A-λiE)hti,i-1αi,ti

是線性方程組(A-λiE)σiX=0的解。

同樣，

βi,l1,(A-λiE)βi,l1,…,(A-λiE)hl1,i-1βi,l1,…,βi,lti,(A-λiE)βi,lti,…,(A-λiE)hlti,i-1βi,lti

是線性方程組(A-λiE)σiX=0的解。

當(dāng)s≥2時，n-秩(A-λiE)σi=h1,i+h2,i+…+hti,i，于是

αi,1,(A-λiE)αi,1,…,(A-λiE)h1,i-1αi,1,…,αi,ti,(A-λiE)αi,ti,…,(A-λiE)hti,i-1αi,ti

和βi,l1,(A-λiE)βi,l1,…,(A-λiE)hl1,i-1βi,l1,…,βi,lti,(A-λiE)βi,lti,…,(A-λiE)hlti,i-1βi,lti

分別是線性方程組(A-λiE)σiX=0的基礎(chǔ)解系，從而可以相互線性表示，所以存在可逆矩陣Si，使得Qi=TiSi，故

則B=D，從而分解唯一。

當(dāng)s=1時，根據(jù)Ai的構(gòu)造，可知Ai=A1=En，故分解唯一，因此定理得證。

定理2n級復(fù)數(shù)矩陣A可對角化的充分必要條件是

A=λ1A1+λ2A2+…+λsAs。

證明 必要性：

由引理2，λ1A1+λ2A2+…+λsAs可對角化。因為BAi=AiB，AiAj=AjAi，則(λ1A1+λ2A2+…+λsAs)A=A(λ1A1+λ2A2+…+λsAs)，A可對角化，根據(jù)引理2，則A-(λ1A1+λ2A2+…+λsAs)可對角化，即B可對角化，B為冪零矩陣，所以B=O。

充分性： 根據(jù)引理2可得。

推論1 設(shè)V是實對稱矩陣構(gòu)成的實線性空間，對于任意的A,B∈V，定義V中的內(nèi)積運算為

(A,B)=Tr(AB),

則V中每個元素A均可寫成

其中：λ1,λ2,…，λs是A的全部互不相同的特征值，數(shù)k1,k2,…，ks為A的對應(yīng)著特征值λ1,λ2,…，λs的代數(shù)重數(shù)，且B1,B2,…，Bs是V的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。