默秋葉 王 利

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 北京 100029)

引 言

隨機(jī)函數(shù)方程在物理、金融、生物等領(lǐng)域的應(yīng)用逐漸增多，因此對于隨機(jī)方程的研究非常有必要。由于這類方程的精確解在許多情況下是無法得到的，因此通過一些數(shù)值方法來求取近似解是常用且有效的方法。許多學(xué)者求解這類方程用不同的函數(shù)或多項式，如block- pulse函數(shù)[1]、泰勒級數(shù)[2]、歐拉多項式[3]、伯努利多項式[4]和切比雪夫小波[5-6]等。Fakhrodin[7]研究了利用Haar小波求解線性隨機(jī)Ito- Volterra積分方程，但并未給出非線性情況下的數(shù)值解。本文在文獻(xiàn)[7]基礎(chǔ)上，考慮用Haar小波來解非線性隨機(jī)Ito- Volterra積分方程,并分析了基于Haar小波的數(shù)值解和精確解的誤差。

1 Haar小波

1.1 Haar小波結(jié)構(gòu)

定義1[7-8]在支撐域為t∈[0,1)的范圍內(nèi)，Haar函數(shù)的定義為

在區(qū)間[0,1)上定義的平方可積函數(shù)f(t)可被Haar小波展開為

(1)

式(1)中的無限序列可被截斷為m=2J(J為給定的小波分辨率水平)，即

(2)

式中，i=0,2j+k，0≤j≤J-1，0≤k<2j。

式(2)用向量形式可表示為

f(t)?FTH(t)=HT(t)F

式中F和H(t)分別為Haar系數(shù)和Haar小波向量，且有

(3)

令k(s,t)∈L2([0,1)×[0,1))，類似地k(s,t)可用Haar小波展開為

k(s,t)?HT(s)KH(t)=HT(t)KTH(s)

1.2 block- pulse函數(shù)

定義2[1,9]定義m個區(qū)間的block- pulse函數(shù)為

(4)

φi(t)φj(t)=δijφi(t)，i,j=1,2，…,m

(5)

式(5)中，φi(t)和φj(t)是正交的，即

式中

(6)

對任意的m維列向量F，很容易得到

(7)

(8)

1.3 Haar小波和block- pulse函數(shù)關(guān)系

令block- pulse函數(shù)中的T=1，則會得到Haar小波和block- pulse函數(shù)關(guān)系。

定義3[7]因H(t)和Φ(t)分別為m維Haar小波向量和block- pulse函數(shù)向量，相應(yīng)地，向量H(t)可用向量Φ(t)表示為

H(t)=QΦ(t)，m=2J

式中，Q為m×m矩陣，其i行l(wèi)列元素為

式中i,l=1,2，…,m，i-1=2j+k，0≤k<2j。

由式(7)、(8)和定義3很容易得到引理1。

引理1[10]對任意的m維列向量F，有

(9)

(10)

2 隨機(jī)積分算子矩陣

與式(6)中Φ(t)有關(guān)的積分可表示為[1]

(11)

式中P是m×m維block- pulse函數(shù)的積分算子矩陣，并且有

與Φ(t)有關(guān)的Ito積分可表示為[1]

(12)

式中B(s)是布朗運動，Ps是block- pulse函數(shù)的隨機(jī)積分算子矩陣，且有

在block- pulse函數(shù)的積分算子矩陣基礎(chǔ)上，利用定義3可求得Haar小波的算子矩陣。

式(3)中Haar小波向量H(t)的積分可表示為

(13)

式中Λ=QPQ-1為Haar小波的積分算子矩陣。

同理，H(t)的Ito積分可以表示為

(14)

式中Λs=QPsQ-1為Haar小波的隨機(jī)積分算子矩陣。

3 方程的轉(zhuǎn)化和求解

(15)

式(15)為非線性隨機(jī)Ito- Volterra積分方程。式中，X(t)、f(t)、k1(s,t)、k2(s,t)、N1(s,X(s))和N2(s,X(s))是定義在概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)過程，且X(t)未知。

利用Haar小波隨機(jī)積分算子矩陣求解式(15)。首先令

(16)

由式(15)和式(16)，可得

(17)

然后將X(t)、f(t)、k1(s,t)、k2(s,t)、u1(t)和u2(t)近似用Haar小波向量表示為

(18)

將式(18)的近似趨近代入式(17)可得

(19)

通過式(8)、(9)、(13)和(14)，式(19)可化為

式中

(20)

式(20)給出了一個有2m個代數(shù)方程的非線性系統(tǒng)，每個代數(shù)方程都有同樣數(shù)量的未知系數(shù)，這樣就可以通過牛頓迭代方法得到U1和U2的分量，進(jìn)而可得到式(15)的近似解為

即

(21)

4 誤差分析

對第3節(jié)得到的目標(biāo)方程的求解方法進(jìn)行誤差分析。將Xm(t)記為由式(21)得到的X(t)的近似解，由于函數(shù)的精確解未知，所以利用誤差估計em(t)=X(t)-Xm(t)來衡量近似解的優(yōu)劣，并定義‖X(t)‖=sup |X(t)|。

定理1[7]假設(shè)f(t)和k(s,t)是足夠光滑的函數(shù)，(t)和(s,t)分別是f(t)和k(s,t)由Haar小波函數(shù)得到的近似估計，則f(t)與(t)、k(s,t)與(s,t)的誤差邊界為

(22)

定理2假設(shè)X(t)和Xm(t)分別為式(15)的精確解和由Haar小波得出的近似解，給出以下條件：

①‖X(t)‖≤r，t∈[0,1]；

②‖ki(s,t)‖≤Mi，(s,t)∈[0,1]×[0,1]，i=1,2；

③Lipschitz條件

‖Ni(t,X(t))-Ni(t,Xm(t))‖≤Li‖X(t)-Xm(t)‖，i=1,2；

④線性增長條件

⑤L1(M1+λ1(m))+‖B(t)‖L2(M2+λ2(m))<1。

從而可以得到

‖em(t)‖=‖X(t)-Xm(t)‖=O(m-1)

(23)

證明：假設(shè)ui(s)和i(s)分別是方程(17)的精確值和近似值，則有

(24)

由條件③和定理1可得

(25)

由式(25)可得

‖X(t)-Xm(t)‖≤‖f(t)-(t)‖+‖k1(s,t)u1(s)-1(s,t)1(s)‖+‖B(t)‖‖k2(s,t)u2(s)-2(s,t)2(s)‖

(26)

進(jìn)一步由定理1和條件①、②、④可得

‖ki(s,t)ui(s)-i(s,t)i(s)‖≤‖ki(s,t)‖‖ui(s)-i(s)‖+‖ki(s,t)-i(s,t)‖(‖ui(s)-i(s)‖+‖ui(s)‖)≤(Mi+λi(m))Li‖em(s)‖+

(27)

由式(26)、(27)和條件⑤可得

‖em(t)‖=‖X(t)-Xm(t)‖=O(m-1)

綜上，定理2得證。

5 結(jié)束語

本文利用Haar小波的算子矩陣和隨機(jī)算子矩陣求解非線性隨機(jī)Ito- Volterra方程，得到了數(shù)值解方程，然后通過對目標(biāo)方法的收斂分析和誤差分析得出，基于Haar小波的非線性隨機(jī)Ito- Volterra積分方程的數(shù)值解是非常方便和有效的。