淮北師范大學數(shù)學科學學院 張 昆 （郵編：235000）

在發(fā)生認識的心智活動中，研究者從各自的觀察立場、視點、對于觀察對象的個性特點的心理預期等出發(fā)，提出了一系列學習理論：例如，“目的－手段分析”或“有目的探索”；“突然理解”或“頓悟”；“方法與目的之間的協(xié)調”等；其中，皮亞杰引入認識圖式的概念，解釋發(fā)生認識的心理活動過程，知識的發(fā)生與發(fā)展歸結為兩方面：其一，知識形成需要一個心理結構（圖式）；其二，知識發(fā)展過程中的新知識具有符合知識特點的心理形成機構. 整合圖式與合乎新知識特點的心理形成機制，構成了建構主義學習理論的基礎.

1 建構主義學習理論的內涵

皮亞杰使用了一組四項遞進的概念：圖式、同化、順應（有翻譯成順化）和平衡，用以說明發(fā)生知識認識心智過程中的建構活動. 其中的圖式概念，指的是動作（在沒有建立起逆運算的嬰兒期，孩童不能進行運算）或運算（六、七歲年齡段的學齡前的兒童，建立起了逆運算）的內在心理結構，這是人類發(fā)生知識認識的心理工作臺，也是學習主體已經(jīng)通過學習掌握了需要發(fā)生新知識的素材的倉庫，即外在信息就是在圖式中進行鍛造加工的，同時圖式還提供了學習主體已經(jīng)掌握了的發(fā)生新知識認識的部分素材. 因此，圖式構成了發(fā)生新知識認識的物質載體[1].

同化指的是學習個體將外在現(xiàn)象中的學習素材（信息）納入自己已經(jīng)形成的圖式之中，于是，信息經(jīng)由圖式的過濾與選擇，因此，將外在信息刺激輸入的過濾、選擇與改變稱為同化. 憑此，能夠認識到，同化只能引起學習主體的圖式的量的變化，因為它同化信息時，無須改進或完善已經(jīng)形成的圖式，就足以應對現(xiàn)象性信息.

順應指的是當學習主體面臨外在信息時，目前所具有的圖式無法直接同化外在具體特點的信息，從而為了發(fā)生知識認識，學習主體就必要依據(jù)外在信息特點，自己經(jīng)驗中成功地同化某些程度上具有相似特點的信息的那個具體圖式，加以改進與完善以適應面臨的外在信息特點，從而創(chuàng)造出適合于新信息特點的新的圖式，如此發(fā)生知識認識.

平衡概念，指的是同化作用與順應作用兩種技能的平衡. 這種平衡具有自我調節(jié)的意義，學習主體以一系列的主動補償作用來反應同化與順應兩者之間的相互作用.

同化、順應與平衡的整合作用構成了圖式這一工作臺工作活動、發(fā)生知識認識的操作方式與行為活動. 學習主體在發(fā)生知識認識時，總是首先使用原有圖式進行同化，如獲得成功，便得到了暫時認識上的平衡；如果同化不成功，學習主體便要作出順應，選擇與調整原有圖式或創(chuàng)造新圖式去同化外在信息，由此認識到，發(fā)生知識認識的最初源頭應該歸結為認識結構的同化作用，直至達到認識上的新的平衡為止[2].

這幾個概念構成了建構主義學習理論的基礎. 建構主義學習理論認為，學習主體面臨外在信息時，如果內部圖式?jīng)]有依據(jù)外在信息特點的經(jīng)驗，外在信息就是毫無意義的信息碎片、星星點點、一盤散沙，無意義的碎片信息是不可能發(fā)生知識認識的，要想發(fā)生知識認識，就需要首先通過利用認識結構，即圖式中曾今同化過與外在信息特點相類似的信息，賦予外在信息以意義，達到同化外在新信息的目的，從而發(fā)生知識認識.

將學習主體利用圖式賦予外在新信息以意義的過程稱為建構，以建構為基礎的發(fā)生知識認識的心理過程的理論，稱為建構主義學習理論.

2 數(shù)學課堂教學中學生建構活動的主要特點分析

學生發(fā)生數(shù)學認識是由認知方面、情感方面與社會方面協(xié)同作用的結果，認知方面提供了建構的平臺與相關材料（包括學生通過過去的學習已經(jīng)掌握了的知識、觀念與方法等；還包括通過及時感知外在信息等）；情感方面提供了學生發(fā)生數(shù)學知識認識的心理動力（內驅力）；社會方面（包括兩方面，一方面，通過數(shù)學史、數(shù)學文化等，這是通過教科書提供的語言，據(jù)此形成與過去的數(shù)學家進行交流；另一方面，課堂教學現(xiàn)場中的同學之間、師生之間的交流），前者提供了數(shù)學規(guī)范（例如相關的數(shù)學知識規(guī)定的表述，如特定的符號或其他語言）與格式；后者由于課堂的生成，提供了課堂教學活動的素材與動力. 因此，學生發(fā)生數(shù)學知識認識的構建活動具體遞進的且相互依賴的幾項特點：

其一，個性構建. 建構主義學習理論特別注重學生發(fā)生新知識認識時所選擇使用的圖式（后面一律稱為認識結構）的特點，很顯然，對于班級授課制來說，不同的學生對于呈現(xiàn)于自己面前的信息，由于他們的數(shù)學現(xiàn)實與生活經(jīng)驗不同，具有不同的認識與理解，進而選擇具體圖式，將信息構建出不同的個性意義，因此，這種建構活動明顯地具有個性特點. 即當數(shù)學教師（或教科書）提供或者學生自己發(fā)現(xiàn)新信息時，不同的學生對于信息產(chǎn)生的認識結果，不是千篇一律的，應該處于從現(xiàn)象到本質的各種不同層次的水平上，這就構成了個性建構的特點.

在教學設計及其課堂實施中，數(shù)學教師要特別注意啟發(fā)學生進行個性建構所得到的結果，這是每名學生基于自己的基礎（特定的認識結構，即圖式與數(shù)學現(xiàn)實），賦予新信息以具體意義的心理活動過程，當學生需要順應才能建構信息形成輪廓時，就會充分地體悟到建構時思維的創(chuàng)造性. 在個性建構活動中，不同的學生可能對于同一種信息產(chǎn)生了不同的理解，賦予不同的意義，這些不同的理解與賦予不同的意義，在班級中，就會造成了一種競爭的態(tài)勢，這為學生營造了非常好的學習氛圍，學生在提出自已的理解，即賦予信息以自己的意義，就會為自己的意見與想法辯護，通過學生之間或師生之間進行充分交流，一定會幫不同學生深入理解信息，揭示信息所組成結構的本質形成心理內驅力.

其二，共同體建構. 在發(fā)生數(shù)學知識認識時，對于呈現(xiàn)于學生面前的信息，班級中的不同學生經(jīng)由個性建構，一定會出現(xiàn)深深淺淺的理解及其比較準確或比較不準確的結果表達，這種不同的理解及其結果表述，作為教學素材，對于教師所進行的課堂教學非常重要. 首先，不同學生產(chǎn)生的不同理解的結果，一定會具有創(chuàng)造性，即使產(chǎn)生的理解是錯誤的、表示可能是非常不準確的，但是，這些生成性的素材，構成了學生發(fā)生數(shù)學知識認識、理解新知識產(chǎn)生的基礎，即最終學生發(fā)生知識的正確認識一定蘊含于這種個性建構的素材之中；其次，重要的是，教師要想方設法將這種個性構建及其成果，轉化為共同體建構的素材與基礎.

共同體建構的素材來源在于個性建構所形成的結果，數(shù)學教師要對個性建構的結果即興地進行評估，將這些個性結果形成等級層級，然后，幫助學生理解這種將個性建構結果劃分等級層次的活動過程，從而啟發(fā)學生經(jīng)歷將這些個性建構內容去粗取精、去偽存真，由此及彼、由表及里的改造制作功夫[3]，這是一種協(xié)調的過程，在這種協(xié)調過程中，學生理解他人的觀點、方法，發(fā)生數(shù)學知識認識，從而幫助學生構成數(shù)學知識的盡可能準確的表述，這種表述盡可能接近課本上提供的內容，但是，終究不可能形成完全等同于課本上的表述. 這就是從個性構建過渡到共同體建構，共同體建構將會更接近那個數(shù)學知識點的本質及其表述.

其三，文化規(guī)范. 對于個性建構的結果內容，雖然經(jīng)由共同體的建構，即將通過個性建構內容的協(xié)調與整理，形成的比較準確的結果內容，但是，大多數(shù)情況下，這些內容的表述可能與課本提供的內容，還存在著或多或少的差距. 此時，就需要歷史文化中經(jīng)由數(shù)學家長期的選擇、調整與修正，形成的字斟句酌進行表述的數(shù)學知識點，學生最終必須要使用這種文化規(guī)范的表達的結果來武裝自己，因此，就為幫助學生與數(shù)學共同體（數(shù)學家的表述內容）的交流打開了通道.

這是因為，直接由文化規(guī)范表述的知識結論，通過社會化的方式的傳遞，學生也可以進行學習的，而且低年級大多數(shù)知識認識活動，基本上都可以通過社會上人與人（包括教師與學生）之間的互相作用，即通過社會傳遞幫助學生完成學習任務. 其實，社會化是一個結構化過程，學習數(shù)學的個體對社會化所作出的貢獻，正如他從社會化中所得到的同樣多，從“個性建構”過渡到“共同體建構”的協(xié)調過程的特點出發(fā)，就能夠認識到，“個性建構”與“共同體建構”過程，其實是學習個體與班級的一種相互交換的過程，對于數(shù)學課堂教學來說，這種交換是特別重要的.

其中，最為重要的是“個性建構”. 這是因為，作為社會性的知識傳遞，能夠直接從文化規(guī)范了的數(shù)學知識出發(fā)，傳遞給受教育者，幫助學生完成學習的任務，如此，就能夠繞過發(fā)生數(shù)學知識認識的“個性建構”與“共同體建構”這兩個重要環(huán)節(jié). 對于學校數(shù)學教育教學來說，教師稍有不慎，就有可能選擇采用這種傳遞文化規(guī)范的方式進行教學活動. 這就會極大損傷數(shù)學知識的教育教學價值，泯滅學生學習積極性、熱情與興趣，長期以往，最終會導致學生放棄數(shù)學學習.

總之，在數(shù)學教學設計及其課堂實施的活動過程中，也可以繞過“個性建構”與“共同體建構”這兩個重要環(huán)節(jié)，直接使用文化規(guī)范所形成的數(shù)學知識表述傳遞給學生，但如此教學將損傷數(shù)學知識的教育教學價值.

3 指向課堂建構的教學設計示例

陸游詩云，“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”；《增廣賢文》曰，“理在用中方識妙，事非經(jīng)過不知難”. 雖有至善的數(shù)學教育教學理論，如果不將這些數(shù)學教育教學理論運用于數(shù)學教師的教學實踐中去，那么數(shù)學教育教學理論就會盡顯蒼白，失去力量，數(shù)學教育教學實踐也不得不在具體數(shù)學教學活動中不斷地摸索[4]. 這里，以“數(shù)軸概念”教學為例，加以必要說明.

師：有理數(shù)的組成：負有理數(shù)；零；正有理數(shù).

師：向大家提出一個問題：能夠用一直線上的點表示所有有理數(shù)嗎？

生1：負數(shù)、正數(shù)無限多，零只一個，在MN上任取一點O，規(guī)定它表示零（如圖1）.

師：這個點O在直線MN上具有非常重要的作用，大家如何給它起一個名字，這個名字叫什么好呢？

注學生給這個點O取了許多名字，如“中點”“點”“元點”等，筆者必須要說明歷史上的數(shù)學家通過不斷地選擇、完善與修訂，最終將這個點O稱為“原點”. 這里，就經(jīng)過了“個性建構”、“共同體構建”與“文化規(guī)范”的過程.

師：點O將直線MN分成三部分，自身表示有理數(shù)0，稱點O為“原點”. 負、正數(shù)該由射線OM，或射線ON（除端點O）上的點表示. 究竟哪一條射線上的點表示正有理數(shù)呢？

師：這些方案中，那種更簡單、更實用？

生：用箭頭！

師：在圖1 的直線上，添加一個箭頭. 約定用具有箭頭的射線上的點表示正數(shù)；反之，表示負數(shù). 稱“箭頭”為“正方向”.

圖1

注學生想出了區(qū)分哪一條射線表示正有理數(shù)與負有理數(shù)的許多標志. 例如，“規(guī)定原點右方的射線表示正有理數(shù)，則原點左邊的射線表示負有理數(shù)”；“染色，將染成黑色的射線表示正有理數(shù)，染成紅色的射線表示負有理數(shù)”等等. 筆者通過調整直線段方向形態(tài)，否定了前一種方法；以染色操作太復雜否定了后一種方法；學生的其他方法也不太好. 直到學生想到了在一條射線上打上一個“箭頭”為止. 筆者使用文化規(guī)范，告訴學生這個“箭頭”成為“正方向”. 很顯然，這種鼓勵學生建構的活動經(jīng)過了“個性建構”、“共同體建構”與“文化規(guī)范”的過程.

師：如何在圖1 上表示+2？

注課堂主要活動記錄：如圖2，兩同學分別選擇點A和點B，都聲稱要表示+2. 這就出現(xiàn)了新問題.

圖2

師：哪一個才是真正表示+2 的點？

注學生想出了許多方法用以確定表示有理數(shù)+2 的那個點，如圖3，學生決定用一把“尺子”裁決，以原點O為起點，在具有正方向的那條射線上次第量兩尺，規(guī)定“尺子”落腳的終點C為表示+2 的 點，而A和B都不是 表示+2 的點.

圖3

師：“尺子”是一個度量長度的單位，稱之為“單位長度”.

注這里的“尺子”是借用生活語言的一種個性建構或共同體建構的表述，需要使用文化規(guī)范中的字斟句酌的表述，就是“單位長度”.

師（利用文化規(guī)范進行總結表述）：當在一條直線上約定了“原點”“正方向”與“單位長度”這三個關鍵性的要素后，這條直線就可以表示所有的有理數(shù)了. 于是，規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸.[5]

筆者在教學設計及其課堂實施時認識到，只有幫助學生理解了數(shù)軸三要素“原點”“正方向”“單位長度”的功能及其協(xié)調發(fā)揮，才能促進學生從整體上認識與理解數(shù)軸概念. 在分析數(shù)軸概念這個知識點時，教師必須要認識到數(shù)軸作為一項工具的功能，建構這一工具的目的，都只是為了在一條直線上表示所有的有理數(shù)（更進一步理解是使用一條直線上的點表示所有的實數(shù)），從而使有理數(shù)（或實數(shù)）達到“可視化”的目的，因此，這節(jié)課所選擇的引入情境，就是討論“如何在一條直線上表示有理數(shù)？”這一初始問題[6].

在這個初始問題的促動下，筆者通過啟發(fā)學生研究有理數(shù)分類的“三分法”特點，鼓勵學生在這條已知直線上一步一步地建構出了“原點”、“正方向”與“單位長度”這“三要素”，學生經(jīng)由親身的建構活動過程，理解了“三要素”各自的不同功能. 將這“三要素”的功能整合起來，促進學生理解了數(shù)軸概念的功能，進而理解了數(shù)軸概念.課堂教學的策略在于，對“原點”“正方向”與“單位長度”這“三要素”次第采用了“個性建構”“共同體建構”與“文化規(guī)范”的建構順序，并且通過整合的這三項建構的心理活動，最終發(fā)生了數(shù)軸概念的認識.

4 結束語

學習主體任何數(shù)學知識的發(fā)生，最終都是認識結構同化作用的結果. 這種同化作用的過程就是將面臨發(fā)生具體數(shù)學知識認識的外在現(xiàn)象性信息進行組織，即選擇認識結構、即圖式形成某種有意義的輪廓的過程，這就是認識結構的建構過程. 在班級教學中，這種建構活動存在三種不同層級的遞進方式：一是個性建構，二是共同體建構，三是文化規(guī)范（其實歷史上經(jīng)由成功建構而形成的字斟句酌的結果表述），課堂教學活動過程的特點在于，必須要體現(xiàn)這三種層次構建的整個活動過程.