安徽省合肥市第七中學(xué) 王世朋 （郵編：230088）

1 問題背景

為了有效推進(jìn)合肥市普通高中“雙新”國家級示范區(qū)建設(shè)，市教科院組織了面向全地區(qū)的基于學(xué)科核心素養(yǎng)大單元課堂教學(xué)“大練兵、大比武”活動. 數(shù)學(xué)學(xué)科第二輪“大比武”決賽有生上課環(huán)節(jié)，指定的課題為2019 人教A 版選擇性必修第二冊（4.1 數(shù)列的概念1－2 課時，選手抽簽確定最后課題）. 在協(xié)助選手備賽階段，通過研讀課標(biāo)、教材和教師用書，結(jié)合聽課發(fā)現(xiàn)很多教師很難把教材有效使用到位，存在明顯的生硬感覺.本文基于理解教材、有效實施教學(xué)視角對本單元內(nèi)容做分析與思考，僅供參考與交流.

2 存在的困惑

2.1 章頭圖使用

教材上有一副彩圖，教師用書[1]對此做了說明. 闡述圖的背景是遼闊而波濤洶涌的大海以及遠(yuǎn)處的燈塔，象征著數(shù)學(xué)是指引人類文明進(jìn)步的“燈塔”，沙灘上畫出的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究三角形數(shù)、正方形數(shù)和五邊形數(shù)時的圖形，仿佛古希臘的數(shù)學(xué)家們正凝視著這些數(shù)列，試圖發(fā)現(xiàn)其中蘊含的規(guī)律. 實際教學(xué)中，教師們都注意到要用這個圖，有的教師把圖呈現(xiàn)在課件上，按照教參含義說明，引出本章要研究的對象——數(shù)列. 也有的教師對本圖做了加工，做成了微課視頻，課堂中在三角形數(shù)、正方形數(shù)和五邊形數(shù)處作停頓，提出數(shù)學(xué)問題，引出單元主題數(shù)列. 聽課中也有教師呈現(xiàn)圖形，簡單描述，指出要研究的內(nèi)容為數(shù)列.而作為章頭圖，一方面要讓學(xué)生了解本章研究的方向，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 另一方面，也要有助于學(xué)生把握知識的整體結(jié)構(gòu)，了解單元全貌為宜.客觀上，以上教師的課堂引入中僅僅引起學(xué)生注意，結(jié)合數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但從本質(zhì)上引出本章具體的研究全貌，還顯得利用不足.

2.2 情境的分析

在2003 人教A 版教材通過畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研 究 的 三 角 形 數(shù)1，3，6，10，… 和 正 方 形 數(shù)1，4，9，16，…來引出數(shù)列概念. 再利用6 個數(shù)列來直觀分析遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列概念. 而在2019 人教A 版中，給出了三個情境（生活情境：王芳的身高值；史學(xué)情境：泥板上記錄的每天月亮可見部分的數(shù)；數(shù)學(xué)情境的n次冪），通過按照規(guī)定的描述形式進(jìn)行表達(dá)，概括三個例子的共同特征，經(jīng)過總結(jié)、提煉，抽象出數(shù)列概念. 通過聽課觀察，很多老師在尊重新教材的基礎(chǔ)上，做了修正和補充，如增加老版教材中部分?jǐn)?shù)列：(1) 0，1，2，3，…;(2) 3，3，3，3，…;(3)100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01. 課后通過和老師們交流，他們的解釋是課本前兩個情境只能體現(xiàn)遞增數(shù)列和有窮數(shù)列，第三個情境只能看出無窮數(shù)列和擺動數(shù)列，也能延伸到等比數(shù)列. 課堂中為了豐富數(shù)列背景，契合本章所學(xué)內(nèi)容，所以要增加等差數(shù)列、常數(shù)列以及遞減數(shù)列. 結(jié)合數(shù)列來自生活，所以借鑒了上一版教材中的三個數(shù)列來補充. 不能不為善于思考和借鑒的同仁們點贊！細(xì)想總感覺什么地方不妥，是原來的慣性思維在指引日常教學(xué)？還是對教材理解不透徹導(dǎo)致？教材編寫專家是出于什么原因僅僅設(shè)置了這三個情境，值得一線教師去作深度的思考.

2.3 概念的生成

作為概念課教學(xué)，教師都清楚概念生成的重要性. 事實上，教師課堂中仍較多關(guān)注概念的結(jié)果與概念的解讀. 在本單元教學(xué)中涉及這樣幾個關(guān)鍵概念：數(shù)列的定義、通項公式、遞推公式和前n項和公式. 通過聽課，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的定義大都是教師寫在黑板上，然后對關(guān)鍵詞進(jìn)行強調(diào). 缺乏數(shù)學(xué)抽象的過程呈現(xiàn)和必要的時間投入，把生動的概念生成變成了學(xué)生的記憶. 長期以往，學(xué)生對概念學(xué)習(xí)就僅停留在識記層面，缺少了抽象概括能力和主動建構(gòu)能力. 在類比函數(shù)的解析式提出數(shù)列的通項公式后，為什么要再研究遞推公式和前n項和公式？很多教師在交流中提出了相似的困惑，從通項公式到遞推公式以及前n項和公式這條線沒有找清楚，也就導(dǎo)致課堂中一個個概念幾乎是蹦出來的，而非基于學(xué)習(xí)的需要自然生成的. 教材中在通項公式后，遞推公式前有四個例題，如何發(fā)揮例題的功能值得教師進(jìn)行思考，同樣在課本例5 后引出前n項和公式，再利用前n項和公式來推理通項公式. 作為本章要研究的重要概念，在一個單元里全部呈現(xiàn)，教學(xué)中需要教師充分理解邏輯線索，增強學(xué)生對核心概念產(chǎn)生的順序把握，要讓概念從合理變?yōu)樽匀?，學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗感才強，概念學(xué)習(xí)的興趣才濃.

2.4 例題的講解

本單元設(shè)置了5 個例題，依據(jù)課時劃分，第一課時講解例1 和例2. 課堂中教師容易把握，通過例1 來熟悉已知an求前5 項與圖象表示. 一方面是通過“求函數(shù)值”使學(xué)生熟悉通項公式的定義，另一方面幫助學(xué)生養(yǎng)成用函數(shù)的觀點與方法處理數(shù)列問題的習(xí)慣. 而例2 的處理，很多教師采取了不同的處理方式，按照課本方式講授，有種強加給學(xué)生的感覺. 也有讓學(xué)生自行去發(fā)表觀點，譬如引入分段函數(shù)形式來表達(dá)都可以. 但是具體在課堂中發(fā)散到什么程度存在把握不精準(zhǔn)情況. 對于第二課時的例3，大多數(shù)教師認(rèn)為這是在復(fù)習(xí)通項公式，只不過換了一種問法，方法未變. 對于例4 要求寫出數(shù)列的一個通項公式，與例2 相比難度可能更小，教學(xué)中教師認(rèn)為用它來引出遞推公式必要性不強. 既然要體現(xiàn)在實際中的應(yīng)用，有教師利用教材第10 頁的斐波那契數(shù)列來作為引例可能對學(xué)生的沖擊更強烈，似乎比教材的處理更有說服力. 例5 作為遞推公式的鞏固練習(xí)，非常有意義，能實現(xiàn)原有通項公式的功能，體現(xiàn)當(dāng)通項公式得不到時，找遞推公式加已知項也能求具體的項. 過渡到數(shù)列{an} 的前n項和定義. 教學(xué)中一直認(rèn)為缺少問題的驅(qū)動，有為了學(xué)而講之嫌. 縱觀5 個例題，自然存在疑問，能否減少例題數(shù)量？對于有相似重復(fù)的進(jìn)行合并，對例4 進(jìn)行重新設(shè)計，采用一題多問形式，對數(shù)列的前n項和起到一個啟下作用.

2.5 小結(jié)與練習(xí)

做好課堂小結(jié)不僅有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識和鞏固，更能開闊學(xué)生數(shù)學(xué)視野，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展[2]. 實際聽課中，發(fā)現(xiàn)存在兩種現(xiàn)象，一是以學(xué)習(xí)哪些知識？使用哪些方法？蘊含什么數(shù)學(xué)思想來總結(jié). 另外一種是呈現(xiàn)一個單元框圖，表達(dá)學(xué)到哪里，下一節(jié)學(xué)什么. 總體來說，缺乏為什么學(xué)，怎么學(xué)的說理過程. 更多是學(xué)了有什么用或者停留在一些時髦的詞上，缺少總結(jié)、提煉與升華.

相對而言，課堂的練習(xí)受限于課堂用時，教師大都未用，用也僅是課后作業(yè)來處理，實際效果甚微. 未能有效把過程評價，尤其是課中診斷利用起來，讓課本中原本生動豐富的資源閑置，練習(xí)的功能未能真正發(fā)揮作用，大家普遍認(rèn)為甚為可惜.

3 優(yōu)化策略

3.1 站在高處看導(dǎo)入

中學(xué)數(shù)學(xué)教材主要通過教材中的數(shù)學(xué)史、閱讀材料、所用情景案例、插圖等來展示國家的優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化[3]. 教材的封面斐波那契螺旋線和本章的章頭圖本身就是很好的數(shù)學(xué)史素材，教學(xué)中不僅要讓學(xué)生關(guān)注到美，更要提出值得研究的數(shù)學(xué)問題. 在實際教學(xué)中，教師能從章頭圖中通過三角形數(shù)、正方形數(shù)和五邊形數(shù)提出研究對象數(shù)列. 如果從激發(fā)學(xué)生興趣角度，基本能達(dá)到效果. 但是從統(tǒng)領(lǐng)本章內(nèi)容看，這幅圖還可以進(jìn)一步挖掘，設(shè)置以下問題引出本章研究對象.

問題1在沙灘上用石子畫出這些圖形的目的是用來計數(shù)的，請你分別寫出每張圖所用的石子數(shù)（定義數(shù)學(xué)對象，引出數(shù)列概念）.

問題2通過觀察，每類圖形對應(yīng)的數(shù)和序號有一定的關(guān)系，你能猜想這種關(guān)系嗎（引出通項公式）？

問題3除了猜測這種序號和數(shù)之間的直接關(guān)系，你還能觀察出存在什么關(guān)系（如前后數(shù)的關(guān)系，提出遞推公式）？

問題4請你算一算畫出沙灘上的圖形，總共需要多少顆石子（自然提出每個數(shù)的和，涉及到數(shù)列求和問題）？

作為起始課，如果教師能分析到這個程度，單元知識結(jié)構(gòu)就基本建構(gòu)出來，有利于學(xué)生洞察到需要學(xué)習(xí)的主線，從整體上把握本章所學(xué)內(nèi)容. 再看本節(jié)三個情境導(dǎo)入，為什么不像老版教材那樣分類呈現(xiàn)，那樣設(shè)置是不是更好地起到承上啟下作用？本輪課改大的背景是強調(diào)基于真實情境提出問題，作為一線教師要基于理解課標(biāo)要求再去看教材，絕非簡單地給幾個光禿禿的按照順序排列的數(shù)，來歸納和抽象定義. 所以教材中三個情境是站在現(xiàn)實情境、科學(xué)情境和數(shù)學(xué)情境的視角，表明數(shù)列存在于生活的方方面面，是真實的存在且值得研究的數(shù)學(xué)對象. 當(dāng)教師本身站在一定的高度看教材導(dǎo)入，就能更加把握教學(xué)的度，能堅持正確的育人導(dǎo)向.

3.2 想在深處悟結(jié)構(gòu)

作為教師，要通過不斷地理解教材，抓準(zhǔn)教學(xué)中的邏輯結(jié)構(gòu)，有效設(shè)計實施教學(xué)策略. 實現(xiàn)在重點處作強調(diào)，在難點上有突破，切實以提高教學(xué)效益為目的. 對于本單元來說，如何結(jié)合教材建構(gòu)整體知識結(jié)構(gòu)，一方面以知識線索為導(dǎo)向，如先歸納數(shù)列的定義，再研究數(shù)列的表示，接著提出通項公式，再引出遞推公式，最后提出數(shù)列{an}的前n項和公式. 另一方面可以從教材中的例題和練習(xí)中獲得啟示，通過例1 掌握利用通項公式求項，例2 可以依據(jù)前幾項觀察、歸納、猜想一個通項公式. 本課時的練習(xí)也是緊緊圍繞項和通項公式的正反兩個角度關(guān)系來設(shè)計問題. 例3 作為第二課時的引例，目的是復(fù)習(xí)知識、鞏固方法. 在此基礎(chǔ)上提出一個實際情景問題例4，利用所學(xué)知識解決問題，引出遞推公式. 例5 接著給出一個遞推公式去求解項，實現(xiàn)用遞推公式來代替通項公式的意圖. 在數(shù)列{an}的前n項和公式出來后，給出一個思考題，實現(xiàn)用數(shù)列{an}的前n項和Sn來求通項公式. 對應(yīng)課時的練習(xí)也緊緊圍繞給定遞推公式來計算項或者再由項來猜想通項公式，還有利用給定數(shù)列{an}的前n項和Sn求{an}的通項公式. 通過以上分析，教學(xué)中就可以師生合作產(chǎn)生以下知識結(jié)構(gòu)圖，幫助理解數(shù)列研究的重點.

3.3 做在細(xì)處生概念

教授概念的最佳狀態(tài)是學(xué)生體會和總結(jié)出關(guān)鍵特征. 教學(xué)中要讓學(xué)生通過情境剖析，體驗分析、歸納、概括、數(shù)學(xué)表達(dá)和辨析的完整過程，在過程中建立對概念清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識. 在本單元概念中，數(shù)列的概念獲得是極其重要的. 上版教材中學(xué)生是通過觀察給定的幾組有序數(shù)來抽象出數(shù)列的概念，這種抽象概念的過程缺乏細(xì)節(jié)分析，學(xué)生只能體會出是按一定次序排列的一列數(shù)，無法讓學(xué)生對概念的理解更深刻和細(xì)致. 為了體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)，新版教材中強化了細(xì)節(jié)處理，以王芳身高數(shù)據(jù)和月亮可見部分的數(shù)為例，用集序號與取值于一身的符號hi，si等刻畫數(shù)列中的項，這樣處理相比之前有利于學(xué)生概括“具有確定順序的一列數(shù)”的結(jié)論，也讓學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)列中的數(shù)的順序不可交換. 為了進(jìn)一步增強學(xué)生的抽象思維和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，課本中通過一個思考活動設(shè)置，再來讓學(xué)生實踐和體驗用數(shù)學(xué)語言刻畫這一對應(yīng)關(guān)系，讓數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升有實踐的土壤和路徑. 同樣對于遞推公式的出現(xiàn)，一方面利用例題情境來發(fā)現(xiàn)相鄰項的關(guān)系，另一方面課本中也設(shè)置了一個閱讀材料，給出研究數(shù)列的項的取值規(guī)律的一般性策略，實現(xiàn)方法的普適性說明. 后面數(shù)列{an}的前n項和概念出現(xiàn)，也做了細(xì)節(jié)的鋪墊，通過閱讀框中的表述，把學(xué)生的注意力緊緊抓住，讓學(xué)生明白研究對象提出的必然性. 日常教學(xué)中，只要教師能著眼于大結(jié)構(gòu)、細(xì)邏輯來設(shè)計教學(xué)，數(shù)學(xué)的課堂會是優(yōu)質(zhì)、高效的，學(xué)生的素養(yǎng)落地就能得到落實.

3.4 落在實處促能力

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是傳授數(shù)學(xué)知識，更重要的是發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、完善學(xué)生的認(rèn)知體系[4].章建躍老師說過“數(shù)學(xué)育人要依靠數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式，數(shù)學(xué)育人要以使學(xué)生切實掌握“四基”、提高“四能”為基本之道.”本單元學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生遵循研究一個數(shù)學(xué)對象的基本路徑，即“事實—概念”來學(xué)習(xí)數(shù)列的相關(guān)概念，積累研究套路和基本經(jīng)驗. 在學(xué)生經(jīng)歷完整的概念學(xué)習(xí)中，強化用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問題、用數(shù)學(xué)思維思考問題和用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)問題的能力. 學(xué)生通過例題、練習(xí)的訓(xùn)練，一方面能鞏固數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用，夯實基礎(chǔ)為目的. 另一方面學(xué)生的推理和運算能力得到發(fā)展和提升，學(xué)生的理性思維得到逐步發(fā)展，科學(xué)精神得到培養(yǎng).常說教學(xué)容不得花架子，需要師生扎扎實實地上好每節(jié)課，把數(shù)學(xué)的思考、思維和表達(dá)結(jié)合教材的內(nèi)容，做好有效的呈現(xiàn)和整合，用“數(shù)學(xué)的方式”來發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人力量.

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的靈魂，作為一線教師既要思想上重視，更要行動上重視. 要在理解概念的生成上下功夫，要在教材的理解和理解教學(xué)上下功夫，期待師生合作共進(jìn)，追尋從合理走向自然的概念課堂新樣態(tài)，讓數(shù)學(xué)育人的力量更有力.