安徽省六安市霍邱縣教育局教研室 李永林 （郵編：237400）

安徽省六安市霍邱縣第一中學 梁 松 （郵編：237400）

數(shù)學的自然性是指數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在邏輯必然性. 普通高中數(shù)學教材主編劉紹學在《主編寄語》中指出：數(shù)學是自然的[1]. 事實上，數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，數(shù)學概念的形成，數(shù)學對象的研究思路探尋，數(shù)學問題的解決方法產(chǎn)生都是自然的.

數(shù)學教學需要遵循自然性原則. 基于數(shù)學自然性的教學，有利于學生提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的信心，理解數(shù)學本質(zhì)，訓練科學思維方法. 然而，在實際教學中，數(shù)學的自然性并沒有得到足夠的重視，依然存在“重結(jié)果，輕過程”、“重怎么做，輕怎么想”等現(xiàn)象.

如何將數(shù)學的自然性體現(xiàn)在實際教學中，教師需要深度思考知識的發(fā)生發(fā)展過程以及它們之間的相互聯(lián)系，要在立足學生認知基礎(chǔ)、遵循學生認知規(guī)律的前提下，設(shè)計自然而然的問題情境，并以之為載體，有序開展教學活動，讓學生從中感受到問題的發(fā)現(xiàn)和提出途徑是自然的，問題的分析和解決過程是自然的.

下面，以初中數(shù)學教學為例，從四個方面闡釋基于數(shù)學自然性的問題情境設(shè)計思路.

1 創(chuàng)設(shè)自然而然的問題情境，促進學科核心素養(yǎng)發(fā)展

數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析是數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng)，它們是在數(shù)學學習和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的. 以滬科版九年級數(shù)學上冊《23.1 銳角的三角函數(shù)》中關(guān)于“如何刻畫坡度？”內(nèi)容教學為例，通過設(shè)計如下自然而然的問題串，推進教學，形成并發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng).

問題1（展示圖1 和圖2）汽車爬坡能力是衡量汽車性能的重要指標之一，汽車爬坡能力是指汽車在滿載時所能爬越的最大坡度，圖中兩輛汽車都在爬坡[2]. 你能畫出幾何圖形表示爬坡過程中汽車的位置變化嗎？你能比較圖中兩坡的陡緩程度嗎？請說明.

圖1

圖2

問題2你能比較圖3 和圖4 兩坡的陡緩程度嗎？（圖中數(shù)字表示長度）

圖3

圖4

問題3你能比較圖5 和圖6 兩坡的陡緩程度嗎？（圖中小寫字母表示長度）

圖5

圖6

問題1 從學生生活實際（汽車爬坡）和已有基本活動經(jīng)驗（坡的陡緩程度與坡角的關(guān)系）出發(fā)，讓學生感受到數(shù)學源于生活，并應(yīng)用于生活.學生從實際情境中抽象出幾何圖形，直觀獲得“爬坡過程中，汽車既水平前進，又鉛直上升”和“對于水平前進同樣距離，坡若越陡，汽車鉛直上升就越高”等結(jié)論，發(fā)展數(shù)學抽象、數(shù)學建模和幾何直觀等核心素養(yǎng).

問題2 是對問題1 的定量分析，當水平距離相等時，比較坡的陡緩程度，只需比較鉛直上升高度大小，這是學生通過問題1 的解決，形成的已有認知. 當水平距離不相等時，如何比較坡的陡緩程度？解決這一問題，需要引導(dǎo)學生立足已有認知，緊盯“化未知為已知”目標，深入思考，讓學生自然而然地想到，利用相似形知識，將其轉(zhuǎn)化為“水平距離相等時，比較坡的陡緩程度問題”，培養(yǎng)學生化歸思想，發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng).

問題3 是對問題2 的一般化推廣，發(fā)展學生的邏輯推理核心素養(yǎng). 實際上，在問題2 解決的基礎(chǔ)上，問題3 可解決如下：

如 圖7 和8，在AC和A1C1上 分 別 取 點M和M1，使得AM=1，A1M1=1，過M作AC的垂線，交AB于點N，過M1作A1C1的垂線，交A1B1于點N1.

圖7

圖8

比較兩坡的陡緩程度，即比較線段MN和線段M1N1長度，易得△AMN∽△ACB，△A1M1N1∽△A1C1B1，由相似三角形性質(zhì)可得

學生解決了問題1、2、3，經(jīng)歷了完整的數(shù)學建模過程，發(fā)展數(shù)學建模核心素養(yǎng).

2 創(chuàng)設(shè)自然而然的問題情境，促進數(shù)學概念形成

數(shù)學概念是關(guān)于某一類數(shù)量關(guān)系和空間形式共同本質(zhì)屬性的表達. 它們的形成都有自然背景，數(shù)學概念教學要讓學生明確這個自然背景，只有弄清“概念從哪里來？”、“為什么學概念？”和“概念是什么？”的問題，學生才會感受到概念的形成是自然的，才能真正理解概念的本質(zhì). 下面以滬科版八年級數(shù)學上冊《函數(shù)》概念教學為例，闡述如何遵循自然理念.

教師在設(shè)計函數(shù)概念教學時，應(yīng)借助學生在函數(shù)方面的已有認知（第一學段（1－3 年級）的“探索簡單的變化規(guī)律”，第二學段（4－6 年級）“正比例、反比例”及“探索給定情境中蘊含的規(guī)律和變化趨勢”等.），設(shè)計如下問題串：

問題1已知長方形的長為a，寬為b，面積為S.

（1）若a=2，那么S與b成正比例，還是成反比例？對于S、b這兩個量，給出其中一個量，你能求出另一個量嗎？結(jié)果唯一嗎？

（2）若S=2，那么a與b成正比例，還是成反比例？對于a、b這兩個量，給出其中一個量，你能求出另一個量嗎？結(jié)果唯一嗎？

問題2現(xiàn)實生活中，有很多變量，它們之間的關(guān)系很微妙，值得我們?nèi)パ芯浚埶伎疾⒔鉀Q教材中的問題①、問題②、問題③.（問題①：熱氣球上升海拔高度與上升時間關(guān)系表；問題②：用電負荷曲線；問題③：汽車制動距離與車速之間的關(guān)系式.）

問題3請思考，上述問題①、②、③中的兩個量是怎樣變化的？有什么共性？

問題1 的設(shè)計意圖是讓學生在已有認知基礎(chǔ)上，感受即將研究的對象是小學所熟悉的知識，解決“函數(shù)從哪里來的？”的問題.

問題2 的設(shè)計是結(jié)合生活實際，利用表格、圖象、表達式刻畫兩個變量間的依附關(guān)系，目的是讓學生真切感受到正在學習的內(nèi)容是有用的，解決“為什么要學函數(shù)？”的問題.

問題3 的設(shè)計是讓學生感受數(shù)量的變化過程，以及兩個變量之間的依附關(guān)系，通過數(shù)學抽象，獲得函數(shù)的概念，解決“函數(shù)是什么”的問題.

3 創(chuàng)設(shè)自然而然的問題情境，促進數(shù)學對象的研究思路探尋

數(shù)學學習離不開對數(shù)學對象進行研究，要促使學生自主、深度參與到數(shù)學學習中去，就必需創(chuàng)設(shè)自然而然的問題情境，幫助學生構(gòu)建研究數(shù)學對象的路徑，讓學生明白研究數(shù)學對象是有“套路”的. 以滬科版八年級數(shù)學下冊《19.2 平行四邊形》教學為例，設(shè)計如下自然而然的問題串，促進數(shù)學對象的研究思路探尋.

問題1有關(guān)三角形的知識，我們學過了哪些？

問題2觀察圖9 中的圖片，從圖片中你發(fā)現(xiàn)了哪些幾何圖形？請畫出來. 判斷所畫的圖形是不是平行四邊形？若不是，請說明原因. 根據(jù)你的判斷，試著給出平行四邊形的概念.

圖9

問題3類比三角形，平行四邊形有哪些基本元素？觀察圖形，猜想一下，這些元素本身具有什么性質(zhì)？它們相互之間有什么樣的關(guān)系？

問題4（列舉出學生猜想出來的結(jié)論）這些結(jié)論是正確的嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例.

問題5能證明正確的結(jié)論就是平行四邊形的性質(zhì)，類比等腰三角形性質(zhì)和判定定理之間的關(guān)系，你能寫出平行四邊形的判定方法嗎？

問題6你寫出的這些判定方法是正確的嗎？若是，請證明；若不是，請舉反例.

問題1的設(shè)計，雖然在知識方面，三角形與要研究的平行四邊形關(guān)系似乎不大，但在研究的方法和思路上是類似的，也是幾何對象研究的基本“套路”. 教師要注意梳理學生回顧的知識，幫助學生理清研究三角形的脈絡(luò)：背景～三角形的概念～三角形邊的關(guān)系，三角形中角的關(guān)系，三角形的角平分線、中線、高線概念及性質(zhì)～三角形之間的相互關(guān)……. 借鑒于三角形的研究方法，平行四邊形及其他幾何對象的研究思路形成也就自然而然了.

問題2 的設(shè)計，學生經(jīng)歷從生活圖片畫出幾何圖形的過程，直觀獲得“哪些幾何圖形是平行四邊形”的結(jié)論，自然形成平行四邊形的概念(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形).

問題3 的設(shè)計，類比三角形的基本元素，自然獲得平行四邊形的基本元素有邊、角、對角線等.學生類比三角形的研究方法，研究平行四邊形的邊、角、對角線關(guān)系，獲取一些結(jié)論.

問題4 的設(shè)計，學生交流結(jié)論，相互評判，無論是證明還是舉反例，目的是培養(yǎng)思維的嚴謹性，發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng).

問題5 的設(shè)計，師生辨析，總結(jié)出平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形對邊相等；平行四邊形對角相等；平行四邊形對角線互相平分. 類比等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理的關(guān)系，引導(dǎo)學生從性質(zhì)定理的條件和結(jié)論來研究平行四邊形的判定方法，符合學生的認知基礎(chǔ)和認知規(guī)律.

問題6 的設(shè)計，與問題4 一樣，培養(yǎng)思維的嚴謹性，發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng).

上述問題串的設(shè)計自然而然，層層推進. 學生利用直觀感知、類比等手段，掌握研究幾何對象的基本“套路”，體會知識的產(chǎn)生發(fā)展自然而然.

4 創(chuàng)設(shè)自然而然的問題情境，推進數(shù)學性質(zhì)探究

很多數(shù)學性質(zhì)的獲得，需要經(jīng)歷猜想、驗證、歸納等探究過程. 探究過程必須是自然推進的，要立足學生的認知基礎(chǔ)、遵循學生的認知規(guī)律、符合數(shù)學特點，要讓學生明確“為什么有結(jié)論”和“有什么樣結(jié)論”. 大多數(shù)的數(shù)學探究過程就是問題的解決過程，設(shè)計自然而然的問題情境，是探究過程自然、順利推進的保證. 下面以滬科版八年級數(shù)學下冊《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》教學為例，闡述設(shè)計怎樣的問題串，自然推進數(shù)學探究.

問題1請大家各自寫出一個一元二次方程，并用求根公式求解.

問題2求根公式揭示了一元二次方程系數(shù)與根之間的關(guān)系，本質(zhì)是通過一元二次方程系數(shù)的運算求出方程的根. 解下列方程并觀察所得根與方程系數(shù)有何關(guān)系？用自己的語言敘述出來.

（1）x2－5x+6=0 （2）x2+2x－24=0

（3）x2+6x+8=0

問題3若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠1)有解，那么你在問題2 中所發(fā)現(xiàn)的關(guān)系對于它是否仍然成立？舉例說明.

問題4若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根x1、x2，則該根與方程系數(shù)的關(guān)系是怎樣的？并證明.

問題1 的設(shè)計意圖是通過利用求根公式解一元二次方程，促使學生意識到一元二次方程的系數(shù)與根有關(guān)系，激發(fā)學生探究這種關(guān)系的欲望，解決“為什么有結(jié)論”的問題.

問題2 的設(shè)計是從特殊到一般，通過根的運算獲得“若方程x2+px+q=0 有兩實數(shù)根x1、x2，則x1+x2=－p，x1·x2=q”的結(jié)論，體現(xiàn)由簡單到復(fù)雜，由具體到一般的研究思路，也是符合學生認知規(guī)律的.

問題3 的設(shè)計目的是讓學生產(chǎn)生認知沖突，問題2 所獲得的關(guān)系是有局限性的，對于二次項系數(shù)不為1 的一元二次方程不適用，很容易舉例說明，新的問題也隨之自然產(chǎn)生：二次項系數(shù)不為1 的一元二次方程，若有根，則根與方程各項系數(shù)有什么關(guān)系呢？學生的思維很自然地被引導(dǎo)到更一般的研究對象.

問題4 的設(shè)計目的是幫助學生獲得一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有了問題2、3 的結(jié)論，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系就水到渠成、自然而然，解決的是“有什么樣結(jié)論？”的問題. 證明結(jié)論，目的是引導(dǎo)學生利用邏輯推理來說明結(jié)論的正確性，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣，也更有利于對數(shù)學結(jié)論的理解和把握.

上述探究過程是在學生已有的認知基礎(chǔ)上，對“一元二次方程”的性質(zhì)進行探究，“為什么有關(guān)系”、“有什么樣的關(guān)系”等問題都是學生在探究過程中自然發(fā)現(xiàn)并解決的，也是數(shù)學自然性的體現(xiàn).

總之，數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，它有著自身的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，數(shù)學教學要遵循這個規(guī)律，設(shè)計出既符合數(shù)學學科發(fā)展的邏輯順序，又符合學生心理發(fā)展特點的問題情境，發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)，真正落實立德樹人根本任務(wù).