任利平　徐文彬　潘禹辰

【摘 要】基于CNKI數(shù)據(jù)庫的檢索，對(duì)177篇數(shù)學(xué)推理研究文獻(xiàn)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)我國中小學(xué)數(shù)學(xué)推理研究在近年來發(fā)展明顯，并逐步關(guān)注合情推理.研究?jī)?nèi)容主要包括：對(duì)數(shù)學(xué)推理本身內(nèi)涵方面的分析;通過劃分?jǐn)?shù)學(xué)推理能力水平來調(diào)查學(xué)習(xí)狀況、可能影響因素;分析教材中有關(guān)數(shù)學(xué)推理的內(nèi)容呈現(xiàn)情況;從教師、教學(xué)以及課程等方面提出促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)的策略.然而，當(dāng)前研究的理論分析中尚且存在定義模糊、理解片面等問題，進(jìn)而影響實(shí)證研究的開展效果，所以未來研究還需要厘清數(shù)學(xué)推理的基本問題，關(guān)注數(shù)學(xué)推理本身及其在全學(xué)段教學(xué)落實(shí)的整體性.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)推理;中小學(xué);核心素養(yǎng);合情推理;演繹推理

1 問題提出

推理是指直接或間接地從已知判斷得到新判斷，存在于生活和學(xué)校教學(xué)的各個(gè)學(xué)科之中.但是在學(xué)校教學(xué)科目中，推理更多在數(shù)學(xué)中被提及，數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生推理能力（尤其是邏輯推理）培養(yǎng)的意義受到普遍認(rèn)同，數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心能力之一.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》的頒布與高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，使得數(shù)學(xué)推理尤其是合情推理的地位凸顯.但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)仍然面臨著很多問題.在小學(xué)階段，教師雖關(guān)注到合情推理，但教學(xué)更多停留在合情推理的表層.數(shù)學(xué)推理不能僅僅停留在操作、觀察、嘗試、畫圖等簡(jiǎn)單的推理階段，要引發(fā)學(xué)生通過歸納、類比等方法進(jìn)行猜想、證明.數(shù)學(xué)推理既包括演繹推理，又包括合情推理，這兩種推理都應(yīng)當(dāng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中.數(shù)學(xué)推理對(duì)學(xué)生思維訓(xùn)練、創(chuàng)新能力培養(yǎng)具有重要意義，但推理教學(xué)還面臨諸多問題和挑戰(zhàn)，學(xué)生推理能力水平有待提高.針對(duì)這些現(xiàn)實(shí)問題，本研究希望從我國中小學(xué)數(shù)學(xué)推理研究的已有成果中，獲得啟發(fā).

2 研究概貌

以CNKI中國知網(wǎng)為檢索源，以“數(shù)學(xué)推理”為主題詞，分別對(duì)期刊文獻(xiàn)和碩博士論文進(jìn)行檢索，其中，文獻(xiàn)學(xué)科選取教育學(xué)類、心理學(xué)類、社會(huì)學(xué)類、數(shù)學(xué)、邏輯類期刊以剔除工農(nóng)醫(yī)科等無關(guān)文獻(xiàn).截止2021年7月15日，得到期刊文獻(xiàn)記錄438條，碩博士論文記錄226條.經(jīng)篩選以及閱讀補(bǔ)充，最終得到文獻(xiàn)共177篇，時(shí)間跨度為1997—2021年，其中，期刊論文109篇，會(huì)議論文4篇，學(xué)位論文64篇（含博士論文7篇）.

下面從年度分布、關(guān)鍵詞分布、來源分布三個(gè)方面對(duì)取樣論文進(jìn)行概貌分析.

2.1 年度分析

將177篇文獻(xiàn)按照發(fā)表年份整理，得到圖1所示的我國中小學(xué)數(shù)學(xué)推理研究的年度分布情況.可以看出，尤其近六年來，數(shù)學(xué)推理受到越來越多研究者的關(guān)注，研究數(shù)量總體呈上升趨勢(shì).2014年以前，文獻(xiàn)數(shù)量呈波動(dòng)狀態(tài)，而此后則出現(xiàn)了幾次明顯的增幅，這可能也與中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革有關(guān).具體而言，研究文獻(xiàn)的類型以期刊論文為主，學(xué)位論文僅在2020年有明顯居多的情況，而博士論文始終占了少數(shù).

2.2 關(guān)鍵詞分析

如圖2所示，在研究出現(xiàn)的高頻關(guān)鍵詞中，“合情推理”居于首位，這與本世紀(jì)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革中對(duì)合情推理能力重要性的明確有關(guān).研究中，合情推理或歸納推理是最受關(guān)注的推理類型，尤其在針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)推理的研究中，這種傾向更加明顯.同時(shí)，關(guān)注到“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”“核心素養(yǎng)”等關(guān)鍵詞的頻繁出現(xiàn)，近年來，不少研究者將數(shù)學(xué)推理基于此種視角下開展研究，而核心素養(yǎng)中的推理主要是邏輯推理，即演繹推理.

2.3 來源分布

從期刊論文所發(fā)表的期刊情況和學(xué)位論文所來自的高校情況來看，期刊論文集中在（數(shù)學(xué)）教育類核心及以上級(jí)別的期刊，學(xué)位論文主要產(chǎn)自師范類院校（具體參見圖3）.具體而言，（數(shù)學(xué)）教育研究界比較權(quán)威的《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》《課程·教材·教法》上發(fā)表了較多的研究成果，而學(xué)位論文主要由設(shè)有教育學(xué)重點(diǎn)學(xué)科的高校產(chǎn)出.總的來說，無論是期刊論文還是學(xué)位論文，其研究質(zhì)量從來源上看都有一定可靠性，具有較好的學(xué)術(shù)參考價(jià)值.

3 主要研究成果

目前，我國中小學(xué)數(shù)學(xué)推理的研究?jī)?nèi)容主要可分為四個(gè)方面：對(duì)數(shù)學(xué)推理本身的理論分析;對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力現(xiàn)狀的調(diào)查分析;教材中數(shù)學(xué)推理的內(nèi)容設(shè)置;數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)策略.

3.1 數(shù)學(xué)推理的理論分析

研究者主要分析了數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵與特點(diǎn)、分類、功能和過程.

3.1.1 數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵與特點(diǎn)

對(duì)于數(shù)學(xué)推理的概念界定主要立足于心理學(xué)和邏輯學(xué).在心理學(xué)上，數(shù)學(xué)推理被看作是一種思維過程.徐斌艷認(rèn)為，數(shù)學(xué)推理是指人們?cè)跀?shù)學(xué)觀念系統(tǒng)作用下，由若干數(shù)學(xué)條件，結(jié)合一定的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象形成某種判斷的思維操作過程[1].在邏輯學(xué)上，數(shù)學(xué)推理被界定為一種思維形式[2].呂世虎認(rèn)為，數(shù)學(xué)推理是由一個(gè)或幾個(gè)數(shù)學(xué)命題推導(dǎo)出另一個(gè)未知命題的思維形式[3].

數(shù)學(xué)推理不同于日常生活中的一般推理，也與解決其他學(xué)科問題時(shí)進(jìn)行的推理不同.首先，數(shù)學(xué)推理的對(duì)象是表示數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)符號(hào)[4]，如代數(shù)表達(dá)式、幾何元素符號(hào)等，這一般都與日常生活經(jīng)驗(yàn)無關(guān).其次，數(shù)學(xué)推理的依據(jù)來自問題所在的數(shù)學(xué)系統(tǒng).最后，數(shù)學(xué)推理具有邏輯性，其中的“前提”“結(jié)論”往往會(huì)隨著推理的進(jìn)行而相互轉(zhuǎn)化，推理的準(zhǔn)確性則依賴于靈活運(yùn)用已有的條件、公理定理等[5].數(shù)學(xué)推理的特點(diǎn)正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性.

3.1.2 數(shù)學(xué)推理的分類

研究者對(duì)數(shù)學(xué)推理的分類大多與課程標(biāo)準(zhǔn)的思路一致，即分為合情推理和演繹推理.合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納、類比、聯(lián)想、數(shù)據(jù)分析等方式推斷出某些新結(jié)論的思維過程.演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則進(jìn)行證明和計(jì)算，也可稱為命題推理和運(yùn)算推理[6].至于合情推理中所包括的歸納和類比兩種具體推理方式，其關(guān)系尚存爭(zhēng)議.史寧中認(rèn)為，可以將類比推理歸入到歸納推理.歸納推理是命題范圍由小到大的推理，類比推理是已知一類事物的屬性對(duì)另一個(gè)類中的事物的相似屬性進(jìn)行推斷[7]，是特殊的歸納推理.5831760F-8CE3-4ADD-9B8A-586364E6592E

此外，還存在一些不同的分類方法.譬如，依思維分為歸納推理、演繹推理、類比推理;依知識(shí)領(lǐng)域分為代數(shù)推理、幾何推理、統(tǒng)計(jì)推理[8];依所得結(jié)論的可信度分為論證推理（演繹推理）與合情推理（似真推理）[9];依推理形式正確與否分為形式正確或者結(jié)構(gòu)正確的邏輯推理（包括歸納、類比、演繹）和形式不正確或者結(jié)構(gòu)不正確的不合邏輯的推理[10].史寧中從思維方法的角度分析，將數(shù)學(xué)推理分為兩種：演繹推理和歸納推理[7].

總的來說，數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)在于演繹推理[11]，但演繹推理的結(jié)論通常又需要?dú)w納推理、類比推理來證明，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)立足于演繹推理，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的歸納推理和類比推理能力.

3.1.3 數(shù)學(xué)推理的功能

數(shù)學(xué)推理對(duì)思維發(fā)展、命題的理解與闡述、猜想的驗(yàn)證，以及知識(shí)域的擴(kuò)展都起著重要作用.其中，又以在思維和理解上的功能為主[11]，這尤其在演繹推理與合情推理中彰顯.

在數(shù)學(xué)推理中，演繹推理與合情推理具有同等重要的作用，二者不可分割、相互聯(lián)系.課標(biāo)指出，合情推理幫助尋找思路，獲得初步猜想，為后續(xù)的研究提供了一個(gè)可能的結(jié)論，期間，大膽做出猜測(cè)的精神很重要;而演繹推理注重運(yùn)用事實(shí)和邏輯進(jìn)行嚴(yán)格論證，為的是確證猜想的正確與準(zhǔn)確，這則依賴于理性精神[9].但合情推理與演繹推理都存在一定的局限，合情推理是為了猜想、推斷，它的結(jié)論是或然性的，不一定為真，必須通過演繹推理進(jìn)行證明;演繹推理只能驗(yàn)證真理，一般不能發(fā)現(xiàn)真理，通過演繹推理很難獲得創(chuàng)新性的成果.只有將演繹推理與合情推理結(jié)合起來，才能經(jīng)歷推理的全過程，促進(jìn)學(xué)生推理能力的全面、深入的發(fā)展.

3.1.4 數(shù)學(xué)推理的過程

數(shù)學(xué)推理不是一個(gè)一蹴而就的過程，體現(xiàn)為學(xué)生在解決問題中經(jīng)歷的有邏輯的思維過程.對(duì)數(shù)學(xué)推理過程的研究分為兩個(gè)方面.一是從數(shù)學(xué)推理自身出發(fā)，經(jīng)歷猜想—進(jìn)行歸納—加以論證的重復(fù)過程[12].這也體現(xiàn)了合情推理與演繹推理在問題解決中相輔相成、循環(huán)往復(fù)的過程關(guān)系.閆龍敏認(rèn)為，數(shù)學(xué)合情推理的過程是：基于經(jīng)驗(yàn)的觀察;已有經(jīng)驗(yàn)的整理;猜想并得出結(jié)論[13].二是從數(shù)學(xué)推理的認(rèn)知過程出發(fā)，李興貴等人認(rèn)為，數(shù)學(xué)歸納推理需經(jīng)歷5個(gè)層層遞進(jìn)的認(rèn)知階段——“歸納五看”：個(gè)別的看、重復(fù)的看、想象的看、抽象的看和一般的看[14].也有研究者認(rèn)為，不同結(jié)構(gòu)成分的數(shù)學(xué)推理有著共同的認(rèn)知過程特征：確定問題類型、表述解決問題的策略、對(duì)問題信息進(jìn)行心理表征、分配解題策略、檢驗(yàn)和評(píng)估問題解決過程與結(jié)果[5].

已有研究對(duì)數(shù)學(xué)推理過程的理解實(shí)際隱含著把合情推理和演繹推理視為一個(gè)完整的推理過程，但很少明確提出.在實(shí)際教學(xué)中，存在認(rèn)為某一教學(xué)階段就教某一推理的錯(cuò)誤傾向，如小學(xué)就只適合教合情推理，初中才開始教給學(xué)生演繹推理.明確數(shù)學(xué)推理是一個(gè)完整連貫的從合情到演繹推理的過程，對(duì)于推理教學(xué)具有啟發(fā)意義.

3.2 數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)研究

數(shù)學(xué)推理能力是學(xué)生在數(shù)學(xué)推理活動(dòng)中表現(xiàn)出來的思維能力，了解學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的現(xiàn)狀以及數(shù)學(xué)推理學(xué)習(xí)的困難，有助于進(jìn)一步探討教學(xué)干預(yù)方法.

3.2.1 數(shù)學(xué)推理能力的水平劃分

對(duì)于數(shù)學(xué)推理水平的研究多借鑒國外研究成果，根據(jù)學(xué)生思維由形象到抽象螺旋上升的認(rèn)知過程劃分能力等級(jí).PISA將推理能力分為三個(gè)水平：再現(xiàn)水平、聯(lián)系水平和反思水平[15].基于此，徐斌艷等人將數(shù)學(xué)推理能力分為：記憶與再現(xiàn);聯(lián)系與變式;反思與拓展[16].王小寧提出了對(duì)數(shù)學(xué)推理能力層級(jí)劃分的理論構(gòu)想：由高到低分為程序化水平、自動(dòng)化水平、直覺水平三個(gè)層級(jí).王驤業(yè)等人的劃分方式則考慮到了推理本身的過程與性質(zhì)，得到的五個(gè)水平為：不會(huì)推理;單純重復(fù)前提;自由聯(lián)想;推理基本正確，但概念不周延;推理出合乎邏輯的正確結(jié)論.這種觀點(diǎn)也在其他對(duì)小學(xué)生邏輯推理能力的研究中得以體現(xiàn)[17].從具體內(nèi)容領(lǐng)域上看，范希爾理論中的幾何學(xué)習(xí)思維水平包括五個(gè)等級(jí)：水平0——直觀;水平1——分析;水平2——抽象;水平3——演繹;水平4——嚴(yán)密[18].

鑒于對(duì)數(shù)學(xué)推理水平的劃分多是參考國外，對(duì)學(xué)生推理能力的測(cè)試也主要是運(yùn)用國外的一些測(cè)量工具，因而對(duì)數(shù)學(xué)推理認(rèn)知水平的理解還停留在經(jīng)驗(yàn)借鑒上，需要進(jìn)一步的本土化.

3.2.2 數(shù)學(xué)推理能力的影響因素

兒童推理水平存在個(gè)體差異，在不同的推理能力、同一推理能力的不同方面處在不同的層級(jí)，這受到了很多復(fù)雜的因素影響.已有研究對(duì)兒童數(shù)學(xué)推理能力影響因素的分析主要包括三個(gè)方面.一是學(xué)生自身因素，包括性別、年級(jí)、地區(qū)、認(rèn)知水平、動(dòng)機(jī)與態(tài)度、學(xué)業(yè)成就等.二是教師方面的因素，包括教師角色、教學(xué)態(tài)度、教學(xué)方式等.三是課程方面的因素，包括課程設(shè)置[19]（新授課、練習(xí)課、復(fù)習(xí)課所占比重）、課程內(nèi)容（教材推理能力的占重、偏重）等.不過，這些研究大多觸及表面，對(duì)某一因素進(jìn)行具體深入探討的研究較少，故而對(duì)于能夠在一定程度上通過教學(xué)或其他干預(yù)來減少影響的措施還沒有較成熟的結(jié)論.

3.3 教材中的數(shù)學(xué)推理

教材中有關(guān)推理內(nèi)容的編排與設(shè)置，可以體現(xiàn)其在教學(xué)中的地位與價(jià)值導(dǎo)向，又鑒于教材是教學(xué)和學(xué)習(xí)的主要依據(jù)，這也能在一定程度上反映實(shí)際的數(shù)學(xué)推理教學(xué)狀況.研究主要從三個(gè)方面來分析教材中的推理內(nèi)容.

一是不同推理在教材中的分布.有研究發(fā)現(xiàn)，推理貫穿于整個(gè)小學(xué)階段，而且歸納推理居于主導(dǎo)地位，類比推理次之[12].王雪晶對(duì)蘇教版小學(xué)教材的研究就驗(yàn)證了這種觀點(diǎn)，并且發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)推斷這一不確定性更強(qiáng)的推理方式出現(xiàn)的更少[20].

二是推理在不同知識(shí)領(lǐng)域的體現(xiàn).譬如，教材中關(guān)于推理內(nèi)容的分布可能不均勻，人教版教材就集中于“數(shù)與代數(shù)”[12].王秋歌研究了合情推理在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域中的呈現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”中主要涉及到整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)等知識(shí)點(diǎn);“圖形與幾何”中主要涉及到圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的測(cè)量、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形的位置等知識(shí)點(diǎn);而“統(tǒng)計(jì)與概率”并沒有成為推理教學(xué)的重點(diǎn)[21].5831760F-8CE3-4ADD-9B8A-586364E6592E

三是推理在不同教學(xué)活動(dòng)的體現(xiàn).譬如，新授知識(shí)教學(xué)時(shí)，合情推理體現(xiàn)在例題情境或問題串中，而解決問題的教學(xué)活動(dòng)則是在課后習(xí)題、整理與復(fù)習(xí)中需要用到合情推理[20].

教科書中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)推理思想，但已有研究對(duì)其挖掘不夠.針對(duì)小學(xué)階段的研究，主要探究合情推理在教材中的體現(xiàn)，而沒有關(guān)注到演繹推理.對(duì)合情推理的研究也較為簡(jiǎn)單，多是量化的比重分析或片段的內(nèi)容分析.

3.4 數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)策略

已有研究對(duì)數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)十分關(guān)注，從教師、教學(xué)和教材三方面提出了策略.就教師而言，首先，在教師素養(yǎng)上，教師要充分學(xué)習(xí)各種不同的推理，提高自身的推理能力[22].其次，教師要樹立以推理為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)觀，有意識(shí)地在教學(xué)中向?qū)W生傳授推理的思想[23]，要關(guān)注學(xué)生，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力意識(shí)[24].此外，教師要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)自己的思考與結(jié)論進(jìn)行反思的意識(shí)[25];在教學(xué)中兼顧多種推理形式，并給學(xué)生自己進(jìn)行“推理”的機(jī)會(huì)[26].教師在學(xué)生數(shù)學(xué)推理中所扮演的角色是情境創(chuàng)設(shè)者、引導(dǎo)鼓勵(lì)者、傾聽交流者、監(jiān)控促進(jìn)者[27].錢學(xué)鋒認(rèn)為，精心設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)、從猜想到證明的完整探究過程，以及充分的說理與適當(dāng)?shù)慕處熆偨Y(jié)，將有助于學(xué)生推理能力的提升[28].

就教學(xué)而言，研究者論及教學(xué)內(nèi)容、模式、活動(dòng)和實(shí)施等方面.尹淑英認(rèn)為，要在數(shù)學(xué)的四大板塊教學(xué)中全面滲透合情推理能力的培養(yǎng)，拓寬培養(yǎng)渠道，并創(chuàng)建一套適合小學(xué)生合情推理能力培養(yǎng)的實(shí)踐模式，讓學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)—猜想（最初的猜想）—猜想（更可靠的猜想）—猜想（幾乎可靠的猜想）[22].林曉峰提出創(chuàng)設(shè)情境—觀察、實(shí)驗(yàn)—猜想—驗(yàn)證/反駁—證明—應(yīng)用的合情推理課堂教學(xué)模式[29].王世寶認(rèn)為，可在課堂教學(xué)，包括概念教學(xué)、命題教學(xué)或者證明教學(xué)等教學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展學(xué)生的推理能力[30].李全香認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施歸納推理可以例子為指引[31].

在教材方面，鑒于數(shù)學(xué)本身的學(xué)科特性，且推理又是一種蘊(yùn)涵了邏輯性的教學(xué)內(nèi)容，其系統(tǒng)性應(yīng)當(dāng)與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律結(jié)合起來，作為教材編寫的依據(jù)[32].王曉輝、赫曉玲建議在教材修訂中能體現(xiàn)“創(chuàng)設(shè)情境—進(jìn)行探究—?dú)w納猜想—建立數(shù)學(xué)模型—推理論證—應(yīng)用”的模式，使形式與內(nèi)容統(tǒng)一[33].具體來說，現(xiàn)在的教材大多是采取演繹的方式講解數(shù)學(xué)概念，還需要用歸納的方法呈現(xiàn)一些定義、公式、定理[7].但是，課程內(nèi)容的刪減與添加應(yīng)確保演繹推理占據(jù)足夠的份額[11].根據(jù)學(xué)生邏輯思維能力層級(jí)發(fā)展的特點(diǎn)，對(duì)于小學(xué)低年段的學(xué)生來說，觀察、猜測(cè)等直覺性或直觀性的活動(dòng)應(yīng)當(dāng)作為重點(diǎn)，使推理思想萌芽其中，而對(duì)于小學(xué)高年級(jí)和初中生則有必要將更多的嚴(yán)格證明滲入其中[20].4 研究結(jié)論與展望

基于上述對(duì)文獻(xiàn)的概貌分析和內(nèi)容分析，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)推理的關(guān)注度逐漸上升，研究兼及理論與實(shí)踐兩方面，不過也有值得繼續(xù)探究的問題.

4.1 進(jìn)一步明晰數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵與外延，深化理論研究

已有研究較為關(guān)注數(shù)學(xué)推理的價(jià)值與功能，對(duì)其整體上的把握較為準(zhǔn)確，但是多從邏輯學(xué)和心理學(xué)上進(jìn)行闡述，對(duì)于推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體意義闡述不清，尤其中小學(xué)教師可能沒有認(rèn)識(shí)或片面認(rèn)識(shí)推理的價(jià)值.需要進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵和外延，增加數(shù)學(xué)角度的理解，可以給出數(shù)學(xué)推理的操作性定義，從而幫助指導(dǎo)教學(xué).在數(shù)學(xué)推理的分類上，普遍分為合情推理和演繹推理，但對(duì)其內(nèi)涵，尤其是二者關(guān)系理解不清，需要明確不同類別下的數(shù)學(xué)推理在具體教學(xué)中的體現(xiàn).這些對(duì)數(shù)學(xué)推理本身的基本探討將成為后續(xù)實(shí)證研究以及教師教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ).

4.2 系統(tǒng)全面地研究整體的數(shù)學(xué)推理，關(guān)注從合情到演繹的過渡

隨著新課標(biāo)對(duì)合情推理的強(qiáng)調(diào)，越來越多的研究關(guān)注合情推理，提出降低演繹論證推理的難度，甚至認(rèn)為在小學(xué)階段沒有演繹推理的教學(xué).實(shí)際上，合情推理并不停留在猜想、操作;演繹推理也并不僅僅是三段論格式的證明，二者是一個(gè)統(tǒng)一的整體.在教學(xué)中要把握好二者的關(guān)系，在不同階段，應(yīng)以不同的方式讓學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過程.研究尤其要關(guān)注，如何實(shí)現(xiàn)從合情推理到演繹推理的過渡，以及如何借助合情推理的手段輔助演繹推理的證明，以便在教學(xué)具體實(shí)施中合理把握推理的層次和教學(xué)方式.

4.3 淡化不同學(xué)段的研究重點(diǎn)傾向，促進(jìn)數(shù)學(xué)推理教學(xué)與研究的連貫性

目前，小學(xué)階段數(shù)學(xué)推理的研究多是對(duì)合情推理、類比推理、歸納推理單一的研究，初高中階段數(shù)學(xué)推理的研究主要是對(duì)演繹推理的研究，研究?jī)?nèi)容在學(xué)段上表現(xiàn)出差異.同時(shí)，整體的研究?jī)A向于中學(xué)生，這表現(xiàn)出研究者對(duì)數(shù)學(xué)推理認(rèn)識(shí)的片面性.為此，從合情到演繹的完整過程來看待數(shù)學(xué)推理，那么從小學(xué)（甚至學(xué)前）到高中（再到高等教育）都將納入研究之中，在不同學(xué)段中都會(huì)涉及不同的推理培養(yǎng)，只是可能在推理類型上會(huì)有所側(cè)重.此外，教學(xué)研究還應(yīng)避免經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，依據(jù)行動(dòng)研究甚至實(shí)驗(yàn)研究來提供可行且可靠的建議.

總之，當(dāng)前我國中小學(xué)數(shù)學(xué)推理研究已觸及對(duì)數(shù)學(xué)推理本身的分析，以及對(duì)學(xué)習(xí)、教學(xué)、課程等現(xiàn)實(shí)情況的探討，未來研究有必要重點(diǎn)關(guān)注從全階段的教育過程中實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的層級(jí)式發(fā)展.

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作者簡(jiǎn)介 任利平（1993—），女，河南駐馬店人，南京師范大學(xué)教育學(xué)碩士，小學(xué)教師;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.徐文彬（通訊作者）（1966—），男，安徽宣城人，教授，博士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.潘禹辰（1998—），女，江蘇蘇州人，南京師范大學(xué)教育學(xué)碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

基金項(xiàng)目 全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度國家一般項(xiàng)目“中小學(xué)STEM教育基本理論與本土實(shí)踐問題研究”（編號(hào)：BHA180126）.5831760F-8CE3-4ADD-9B8A-586364E6592E