潘竹樹　李平香

【摘 要】中學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)研究是社會關(guān)切的熱點(diǎn)之一，中學(xué)階段數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的扎實(shí)開展，可以為學(xué)生終身核心素養(yǎng)的形成奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).通過追根溯源，借助基本圖形，回到公理去的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力這五大學(xué)科能力.

【關(guān)鍵詞】追根溯源;基本圖形;關(guān)鍵能力

關(guān)鍵能力是指進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對與學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時，有效地認(rèn)識問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力.它是支撐終身發(fā)展和適應(yīng)時代要求的能力，是發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)、培育核心價值所必須具備的能力基礎(chǔ)[1].基本圖形是由公理拓展延伸出的結(jié)構(gòu)簡單的圖形，是公理的另一種呈現(xiàn)形式.基本圖形具有較強(qiáng)的生長性，可以為學(xué)習(xí)后續(xù)的學(xué)習(xí)起原理解釋、參考借鑒和輔助思考的作用.沿著“基本圖形”的邏輯鏈條不斷地“往回找根子”“回到公理去”，這個過程充滿著直觀想象、邏輯推理和創(chuàng)造性[2].

漢斯·弗賴登塔爾說過：“如果將數(shù)學(xué)解釋為一種活動的話，那就是必須通過數(shù)學(xué)化來教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)，通過公理化來教與學(xué)公理系統(tǒng)，通過形式化來教與學(xué)形式體系.”[3]數(shù)學(xué)化即建立數(shù)學(xué)模型解決問題，建立模型的經(jīng)驗(yàn)可分為直接經(jīng)驗(yàn)和間接經(jīng)驗(yàn).直接經(jīng)驗(yàn)的獲得比較容易，靠數(shù)學(xué)活動和日常生活經(jīng)驗(yàn)取得;間接經(jīng)驗(yàn)的獲得比較困難，靠學(xué)生原有的知識、借助資料或他人幫助獲得.教師利用基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生剖析、還原問題背后隱藏的數(shù)學(xué)原理，能幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想、積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.1 基本圖形與公理體系的有機(jī)聯(lián)系

什么是基本圖形？現(xiàn)行中學(xué)平面幾何課本中的概念，公理和定理所對應(yīng)的圖形都可稱為基本圖形[4].數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，研究空間形式離不開基本圖形，基本圖形是數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)具特色的元素，基本圖形之所以稱“基本”，是因?yàn)樗邆漭^強(qiáng)生長性，起基礎(chǔ)、支撐的作用，價值重大.公理是歐氏幾何體系的“起點(diǎn)”，是數(shù)學(xué)邏輯推理的基石，“回到公理去”的教學(xué)，能避免學(xué)生只知其然，不知其所以然，不知其何以所以然[5].

點(diǎn)是最基本的圖形，當(dāng)“一個點(diǎn)”生長成“兩個點(diǎn)”時，就會自然而然產(chǎn)生“兩點(diǎn)之間的最短距離是多少”等疑問，本文以“兩點(diǎn)之間，線段最短”公理為基礎(chǔ)，根據(jù)“兩定點(diǎn)不同的位置關(guān)系”延伸出如下兩個基本圖形.

基本圖形1 如圖1，當(dāng)兩點(diǎn)位于直線a的異側(cè)時，在直線a上求一點(diǎn)P，使得AP+BP最小.連結(jié)AB交直線a于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時，A、P、B三點(diǎn)共線，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，線段AP+BP=AB，此時AP+BP最小.

基本圖形2 如圖2，當(dāng)兩定點(diǎn)A、B位于直線a的同側(cè)時，在直線a上求一點(diǎn)P，使得AP+BP最小.作點(diǎn)B關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)B′，轉(zhuǎn)化為如上基本模型1，此時點(diǎn)P為所求作的點(diǎn).

兩定點(diǎn)在直線同側(cè)和異側(cè)，延伸出的這兩個形式簡潔、結(jié)構(gòu)簡單的“基本圖形”，為學(xué)生學(xué)習(xí)“兩點(diǎn)間距離最短”提供思想、方法和路徑的支撐，我們定義其為“基本圖形”.2 基本圖形的初級、高級及綜合應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)在水平數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)上，進(jìn)行垂直數(shù)學(xué)化.水平數(shù)學(xué)化是指確定問題情境中的數(shù)學(xué)成分，從數(shù)與形兩方面進(jìn)行刻畫、描述和抽象，進(jìn)而給出形式化的表述.垂直數(shù)學(xué)化是指在水平數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)上，按照數(shù)學(xué)知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯，對數(shù)學(xué)材料進(jìn)行組織、整理和拓展，形成某種數(shù)學(xué)知識體系[6].基本圖形是從公理引申出來的基本結(jié)構(gòu)，是學(xué)生研究幾何圖形的基礎(chǔ)構(gòu)件，是水平數(shù)學(xué)化的體現(xiàn);基本圖形的應(yīng)用，是垂直數(shù)學(xué)化的綜合體現(xiàn).

2.1 基本圖形的初級應(yīng)用

教學(xué)過程中，必須考慮學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)知發(fā)展水平.學(xué)生前、后學(xué)習(xí)的點(diǎn)狀知識，如果能夠融匯貫通起來，就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織、再組織的過程.具備公理化教學(xué)條件的問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，把抽取出的圖形，與“基本圖形”進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)異同點(diǎn)，從根本上尋找到解決問題的方法與路徑，從而提高學(xué)生的邏輯推理能力、直觀想象能力和數(shù)學(xué)建模能力.

基本圖形1中，一條直線異側(cè)有兩定點(diǎn)，當(dāng)該直線上存在“一條定長的線段”時，又會產(chǎn)生什么情況呢？

如圖3，點(diǎn)A，B位于水平方向的直線a兩側(cè)，與直線a的距離分別等于1和3，點(diǎn)A，B的水平距離（東西方向）等于5，點(diǎn)C、D在直線a上，CD=2，求AC+CD+BD的最小值.提出問題 因?yàn)镃D為定值，所以把問題轉(zhuǎn)化為求AC+BD的最小值.

分析問題 如圖4，把點(diǎn)A向右平移2個單位至點(diǎn)A′，連結(jié)A′B交直線a于點(diǎn)D，把問題轉(zhuǎn)化為基本圖形1.

解決問題 如圖5，因?yàn)锳A′平行且等于CD，所以四邊形AA′DC為平行四邊形.過點(diǎn)B作BE⊥AA′交AA′的延長線于點(diǎn)E，在Rt△A′BE中，∠E=90°，A′E=3，BE=4，根據(jù)勾股定理，A′B=32+42=5，則AC+CD+BD的最小值等于7.圖3圖4圖5

基本圖形1中，一條直線異側(cè)有兩定點(diǎn)，當(dāng)“一條直線”平移成“兩條直線”，又會產(chǎn)生什么情況呢？

如圖6，兩水平放置的直線a，b間的距離為1，點(diǎn)A與直線a的距離等于1，點(diǎn)B與直線b的距離等于2，點(diǎn)A與點(diǎn)B的水平距離（東西方向）等于5，點(diǎn)C，D分別在直線a，b上，且CD⊥直線b，求AC+CD+BD的最小值.

提出問題 因?yàn)镃D為定值，所以把問題轉(zhuǎn)化為求AC+BD的最小值.

分析問題 如圖7，過點(diǎn)B作BE⊥直線b于點(diǎn)E，點(diǎn)B沿BE方向平移1個單位至點(diǎn)B′.連結(jié)AB′交直線a于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥b于點(diǎn)D，連結(jié)DB，則AC+CD+BD的值最小.

解決問題 把問題轉(zhuǎn)化為基本圖形1.圖6圖7

基本活動經(jīng)驗(yàn)就是讓學(xué)生學(xué)會如何思考問題，由此培養(yǎng)他們的思維，更進(jìn)一步則是要培養(yǎng)他們的直觀[7].沒有對基本圖形的深刻理解、對數(shù)學(xué)公理的追根溯源，就沒有辦法形成直觀感知，尋找到解決此類問題的一般路徑、思想與方法.數(shù)學(xué)基本思想與基本活動經(jīng)驗(yàn)的有機(jī)結(jié)合，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要手段.

2.2 基本圖形的高級應(yīng)用

離公理更遠(yuǎn)、表征更模糊的問題，則需要學(xué)生更高的數(shù)學(xué)理解力.數(shù)學(xué)理解力指學(xué)生運(yùn)用已有的知識、經(jīng)驗(yàn)去認(rèn)識未知事物的屬性、聯(lián)系，直至揭示其本質(zhì)及規(guī)律的一種能力，它是學(xué)生解決問題的核心能力[8].學(xué)生通過對問題抽絲剝繭，對尋找“來時的路”的探索，將極大提高揭示基本圖形本質(zhì)及其規(guī)律，培養(yǎng)運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力.

基本圖形2中，一條直線同側(cè)有兩定點(diǎn)，當(dāng)該直線上存在“一條定長的線段”時，又會產(chǎn)生什么情況呢？

如圖8，兩定點(diǎn)A，B位于水平方向的直線a同側(cè)，點(diǎn)A，B與直線a的距離分別等于1和2，點(diǎn)C，D在直線a上，線段CD=1，求四邊形ABDC周長的最小值.

提出問題 因?yàn)锳B，CD為定值，所以把問題轉(zhuǎn)化為求AC+BD的最小值.

分析問題 如圖9，作點(diǎn)B關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)B′，把點(diǎn)A向右平移1個單位至點(diǎn)A′，連結(jié)A′B′交直線a于點(diǎn)D，線段CD位置如圖，則AC+BD=A′D+B′D=A′B′最短.

解決問題 把問題轉(zhuǎn)化為基本圖形2.

一個定點(diǎn)（或兩個定點(diǎn)）在直線外，當(dāng)直線在某處產(chǎn)生彎折，基本圖形演變成“一個定點(diǎn)與兩條相交的直線”時，又會產(chǎn)生什么情況呢？

如圖10，定點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，分別在邊OA，OB上確定點(diǎn)C，D的位置，使得△PCD的周長最小.

如圖11，兩定點(diǎn)P，Q在△AOB內(nèi)部，分別在邊OA，OB上確定點(diǎn)C，D的位置，使四邊形PDCQ的周長最小.

解決問題

如圖10，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊OA，OB的對稱點(diǎn)P′，P″，把PC+CD+PD轉(zhuǎn)化為線段P′P″的長度解決問題.

如圖11，分別作點(diǎn)P，Q關(guān)于邊OB，OA的對稱點(diǎn)P′，Q′，把QC+CD+PD轉(zhuǎn)化為線段P′Q′的長解決問題.

以上兩種變式其本質(zhì)相同，追溯回到“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問題.

達(dá)到融會貫通的知識能做到舉一反三、聞一知十，遷移能力很強(qiáng)，可以在新情境中靈活、自動地與其它知識一起發(fā)揮作用[9].在尋找“來時的路”的過程中，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)解決問題的全過程，提高運(yùn)算求解能力和空間想象能力，實(shí)現(xiàn)融會貫通的同時，達(dá)成學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的再次提升.

2.3 基本圖形的綜合應(yīng)用

遷移原理表明，抓住本質(zhì)能促進(jìn)遷移的正效應(yīng);反之，思維定勢則會產(chǎn)生遷移的負(fù)效應(yīng).實(shí)踐表明，高認(rèn)知水平的變式訓(xùn)練是避免思維定勢的有效手段，借助基本圖形解決復(fù)雜問題，能降低學(xué)生解決問題的難度，培養(yǎng)學(xué)生的遷移與應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生高層次思維的發(fā)展.

如圖12，菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，把△ABD沿射線BD方向平移到△EFG，連結(jié)EC，F(xiàn)C.求EC+FC的最小值.

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、反思問題，質(zhì)疑與批判是學(xué)生創(chuàng)新的基礎(chǔ).

提出問題 如圖12，點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)為動點(diǎn)，沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗(yàn)怎么辦？

分析問題 把“一定兩動”，轉(zhuǎn)化為“兩定一動”.連結(jié)ED，因?yàn)樗倪呅蜤DCF為平行四邊形，所以DE=CF.把EC+FC的最小值轉(zhuǎn)化為CE+DE的最小值.

提出問題 點(diǎn)C，D為定點(diǎn)，點(diǎn)E為動點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為什么基本圖形？

分析問題 轉(zhuǎn)化為基本圖形2.

提出問題 基本圖形2有定直線，本圖沒有出現(xiàn)定直線，怎么化無為有？

分析問題 如圖13，點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是過點(diǎn)A，與射線BD平行的直線l.

提出問題 問題化歸為直線l同側(cè)有兩定點(diǎn)C，D，根據(jù)基本圖形2，怎么確定點(diǎn)E？

解決問題 作點(diǎn)D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)D′，連結(jié)D′C交直線l于點(diǎn)E，則EC+FC的最小值等于線段D′C的長度，△CDD′是頂角∠CDD′=120°、腰長CD=2的等腰三角形，計(jì)算略.

此題最大的亮點(diǎn)有兩點(diǎn)：第一，化“一定兩動”為基本圖形2中的“兩定一動”;第二，把基本圖形2中的“不存在的直線”根據(jù)軌跡“化無為有”.

數(shù)學(xué)抽象本質(zhì)上就是探索表面上不同問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，找出共同的數(shù)量關(guān)系和空間形式，得到能夠解決問題的共性的方法和思想[10]從而培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的關(guān)鍵能力.3 基本圖形應(yīng)用研究的方法與路徑

基本圖形具有較高價值，在實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生要排除復(fù)雜的圖形中的干擾因素，去偽存真認(rèn)清基本圖形，作法可遵循如下一般路徑展開（圖14）.

遵循如上一般路徑，學(xué)生經(jīng)歷基本圖形應(yīng)用的全過程，在解決問題的過程中，能逆向溯源，回到公理去，找到解題的依據(jù)，這是一個深度學(xué)習(xí)的全過程.學(xué)生了解知識的“發(fā)生—發(fā)展—應(yīng)用”過程，通過“回到公理去—基本圖形—綜合圖形”，知識體系從無到有、從模糊到清晰、從簡單到復(fù)雜，體驗(yàn)與感悟知識體系的建構(gòu)過程，從而構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的一般路徑.

杜威曾說過，知識如果不能內(nèi)化到學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)中去，這種知識本質(zhì)上就沒有什么意義.抽象出的基本圖形，是幫助學(xué)生更容易應(yīng)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”這一公理，通過變式讓學(xué)生體驗(yàn)到“形變神不變”這一本質(zhì)，通過變式訓(xùn)練提升數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，從“終點(diǎn)”溯源而上，找到“起點(diǎn)”，在由始至終的過程中提升思維品質(zhì)，再由始至終把知識內(nèi)化到學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中去.關(guān)鍵能力的建構(gòu)過程，起關(guān)鍵作用的還是基本圖形內(nèi)、外表征理論，推進(jìn)基本圖形的教學(xué)和與之協(xié)同的思維訓(xùn)練，使關(guān)鍵能力落地生根.4 結(jié)束語

回歸基本圖形的教學(xué)，就是培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維，幫助學(xué)生在面對全新數(shù)學(xué)情境時，能從紛繁復(fù)雜的已有知識中，調(diào)取出與全新問題有關(guān)的基本圖形，運(yùn)用基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)，找到問題解決的思想、方法和路徑.

“研究對象在變，‘研究套路’不變，思想方法不變”，這樣的研究思路、方法體現(xiàn)了基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)的力量[2].追根溯源能提高學(xué)生的境界，合理延伸能拓展學(xué)生的邊界，拓展應(yīng)用能打開學(xué)生的眼界.探求回歸基本圖形的教學(xué)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光提出問題、用數(shù)學(xué)的思維分析問題、用數(shù)學(xué)的語言解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

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作者簡介 潘竹樹（1976—），男，福建泉州人，中學(xué)高級教師，福建省中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人;主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究;發(fā)表論文10余篇.

李平香（1975—），女，福建三明人，中學(xué)高級教師，福建省中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人;主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究;發(fā)表論文30多篇.

基金項(xiàng)目 福建省泉州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“初中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的實(shí)踐研究”（課題編號：QG1451-106）;教育部福建師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心開放課題“初中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)路徑研究”（課題編號：KCA2022145）.