朝治琴，張啟敏

(寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，銀川 750021)

近年來(lái)，極端氣候天氣的頻繁發(fā)生和工業(yè)廢棄物的排放[1]對(duì)生態(tài)環(huán)境質(zhì)量產(chǎn)生了極大的影響，這些因素也加重了患呼吸道疾病的風(fēng)險(xiǎn)[2]，因此引起了生態(tài)、醫(yī)療、數(shù)學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者的極大關(guān)注.例如BAKONYI等[3]研究了空氣中的釩、碳元素或可吸入顆粒與呼吸系統(tǒng)疾病惡化之間的相關(guān)性.LI等[4]構(gòu)建了綜合模糊模型研究了空氣污染對(duì)哮喘易感的影響.魏妮等[5]討論了大氣中污染物濃度對(duì)兒童常見(jiàn)呼吸道疾病的影響.周歷媛[6]給出了空氣污染物濃度越高，呼吸道疾病患者分布越密集，并闡述了隨著空氣污染物濃度的不斷增加，呼吸道疾病患者也會(huì)越來(lái)越多.此外也有實(shí)驗(yàn)和研究表明室外空氣污染的嚴(yán)重程度可以導(dǎo)致呼吸道等病毒感染的風(fēng)險(xiǎn)增加[7-9].

以上學(xué)者主要研究了大氣污染與呼吸道疾病的相關(guān)性，但未考慮如何設(shè)計(jì)控制策略來(lái)降低污染物濃度的變化和隨機(jī)噪聲對(duì)流行病的影響.事實(shí)上溫度、濕度、沙塵等隨機(jī)現(xiàn)象的經(jīng)常發(fā)生都會(huì)影響空氣質(zhì)量[10]，所以為了客觀、全面地了解呼吸道疾病性態(tài)，應(yīng)考慮這些因素對(duì)其產(chǎn)生的影響.另一方面控制污染物的排放是預(yù)防大氣污染的有效途徑[11]，而對(duì)呼吸道疾病的治療則是控制疾病傳播的重要手段[12].因此在模型中加入了控制因素對(duì)大氣污染和疾病的干預(yù).本文建立了污染環(huán)境中的流行病模型，研究空氣污染的變化和隨機(jī)噪聲對(duì)呼吸道疾病的動(dòng)力學(xué)行為.

1 模型建立

研究空氣污染和隨機(jī)干擾下呼吸道疾病動(dòng)力學(xué)時(shí)，通常采用SIS模型的建模方法.其中S是易感染個(gè)體數(shù)量，I是傳染個(gè)體數(shù)量.假設(shè)總?cè)丝跀?shù)為N，則易感個(gè)體的數(shù)量可以表示為N-I.呼吸道疾病傳播率函數(shù)用β(t)表示，空氣質(zhì)量指數(shù)用F(t)的函數(shù)表示.假定疾病的傳播率依賴(lài)于空氣污染水平，用β(F(t))表示，這是易感者與受感染個(gè)體發(fā)生潛在傳染性接觸的速率，它會(huì)隨F(t)值不斷變化.因此進(jìn)一步假定這種關(guān)系是線性的，即β(F(t))=βF(t).用μ(t)表示空氣清除率，假定污染物的流入速率為常數(shù)c.在模型中，由于β(t)以及μ(t)都會(huì)受到隨機(jī)擾動(dòng)的影響，因此將βF(t)和μ(t)分別用β(F(t))+δ1η1和μ(t)+δ2η2來(lái)表示，其中η1和η2代表白噪聲，δ1和δ2分別代表白噪聲η1和η2的強(qiáng)度.此外，用u1(t)表示控制污染物排放，用u2(t)表示人為對(duì)疾病的干預(yù)，例如治療、隔離、媒體宣傳、防護(hù)等.根據(jù)以上分析，可以得到各因素之間的關(guān)系，如圖1所示.

通過(guò)圖1，在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上考慮控制向量，得到下列污染環(huán)境中的流行病模型：

(1)

這里的B1(t)和B2(t)是獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).其中模型中所涉及的常數(shù)N，β，C，δ1，δ2均大于零.

2 有界性與穩(wěn)定性

對(duì)于模型(1)，需進(jìn)一步研究污染物濃度的有界性和疾病傳播的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).由于(1)式中的兩個(gè)方程是耦合的，首先分析F(t)的性質(zhì).在下列分析中，令μ1≤μ(t)≤μ2.

(2)

其中K(p)是依賴(lài)于p的常數(shù)，與初始值F0無(wú)關(guān)，即F(t)的p階矩有界.

證明定義V(F(t))=F(t)p，對(duì)F(t)∈R+，0

在區(qū)間[0,t]上對(duì)兩邊同時(shí)積分并取期望

可以得到

(3)

根據(jù)μ1≤μ(t)≤μ2，(3)式可以寫(xiě)為

(4)

再令x(t)=E(Fp(t))，可以得到

(5)

對(duì)于0

(6)

由方程解的性質(zhì)可以得到

令

則

所以方程(6)的解為

(7)

定理1給出了系統(tǒng)的有界性，基于這一性質(zhì)，下面給出系統(tǒng)穩(wěn)定的條件.

證明取I0∈(0,N)，那么對(duì)于所有的I>0，I(t)∈(0,N)成立.只需要對(duì)上述定理在區(qū)域Γ上給一個(gè)證明，這里的Γ={I∶0

(8)

此外

(9)

定義一個(gè)C2上的函數(shù)V∶[0,∞)×R+→R

(10)

其中k(t)是方程

(11)

的正數(shù)解.

直接計(jì)算可以得到

(12)

(13)

將(11)式代入(12)式可以得到

(14)

(15)

(16)

對(duì)于(16)式，當(dāng)r→∞時(shí)，有

(17)

即上述定理得證.

3 總 結(jié)