段正路，段守惠,樊碧璇

(江西師范大學 物理與通信電子學院,南昌 330022 )

隨機共振(Stochastic resonance,SR)是指在非線性系統(tǒng)中，噪聲(隨機干擾)對系統(tǒng)輸出信號增強的一類現(xiàn)象.1981年BENZI等人[1]借助氣候雙穩(wěn)態(tài)模型合理地解釋了地球古氣候周期性變遷的難題，并在此基礎上提出隨機共振這一概念[2].此后，關于SR的研究多集中于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)[3-7]，其中，包括一些實驗驗證.1983年，F(xiàn)AUVE和HESLOT首次在實驗上，通過交流電路的SCHMITT觸發(fā)器證實了隨機共振現(xiàn)象[6]. 1988年，美國佐治亞理工大學MCNAMARA,WIESENFELD和ROY等人[7]在環(huán)形激光器中發(fā)現(xiàn)隨機共振現(xiàn)象.之后，微觀動力學系統(tǒng)以及生物微結構中的隨機共振引起了一定的關注[8-12].其中，2008年BURADA等人研究了布朗粒子在雙腔結構中的運動，發(fā)現(xiàn)體系的熵勢對其中的SR現(xiàn)象存在明顯的影響，并由此提出熵隨機共振[11].2010年GHOSH等人在BURADA的基礎上提出雙腔系統(tǒng)中的幾何隨機共振概念[12].雙腔系統(tǒng)中的SR對微小結構中的粒子，如細胞、納米小顆粒等的輸運，篩選與分離具有重要意義，因此激起了具有對稱雙腔結構SR現(xiàn)象的研究興趣.然而，微觀動力學系統(tǒng)中的SR可存在于多種幾何結構體系中，如三腔系統(tǒng)[13]，甚至更復雜的多腔系統(tǒng).盡管已有研究者提出了單穩(wěn)態(tài)[14]、三穩(wěn)態(tài)[15]以及多穩(wěn)態(tài)[16]的SR理論，但三腔或多腔系統(tǒng)的隨機共振卻少有研究.

受以上研究背景的啟發(fā)，基于單穩(wěn)態(tài)SR理論工作[14]，以及粒子在長通道中受熵勢影響的擴散現(xiàn)象[17]，本文研究了布朗粒子在一種新穎而簡單的T形腔室中的運動，并出于對布朗粒子在橫向不再具備雙穩(wěn)、以及多穩(wěn)態(tài)形式的受迫運動的好奇，參考雙腔熵隨機共振系統(tǒng)[11]，對T形腔中運動的布朗粒子施加一個橫向周期驅(qū)動以及一個縱向外力，利用朗之萬方程建立數(shù)值化模型，發(fā)現(xiàn)了T形腔室中的熵隨機共振現(xiàn)象.

1 理論模型

布朗粒子在漏斗狀T形結構中的運動，與ZWANZIG在文獻[17]中描述的粒子運動問題很相似，差別是此處用的是一個封閉的T形腔室，而不是開放的管狀通道，且研究的是粒子的受迫運動，而不是自由擴散.對二維T形結構中的布朗粒子施加橫向周期驅(qū)動F(t)，以及一個縱向力G，可以建立圖1所示模型，結構中底部兩側邊界向外傾斜，其斜率的大小滿足k=d/(xL-L).為了描述的簡便，可將T形腔室的底部結構稱為阱，阱兩側的邊界稱為阱側壁.

對圖1結構中布朗粒子的過阻尼運動，可以借助無量綱化朗之萬方程

(1)

獲得多粒子軌跡沿x方向的平均結果,

本文使用MATLAB軟件，在程序中用條件語句對T形結構邊界進行如下描述

約束粒子的運動范圍.要求粒子只能在T形結構內(nèi)部運動，本文采用反射邊界條件.

(2)

2 縱向力G引起的熵隨機共振

經(jīng)典雙腔熵隨機共振(Entropic stochastic resonance,ESR)要求一個額外的縱向力G作用在系統(tǒng)中的布朗粒子上.這是經(jīng)典雙腔ESR與幾何隨機共振之間的一個顯著差別.為此，首先探究T形結構中縱向力G對體系共振的影響.通過對比圖2(a)與(b)，可以發(fā)現(xiàn)漏斗狀T形系統(tǒng)中，縱向力G對體系表現(xiàn)出隨機共振現(xiàn)象至關重要，即使T形結構阱側壁的斜率遠大于1，在沒有縱向力G，即G=0時，體系依然不能呈現(xiàn)出SR現(xiàn)象.

由于圖2(b)顯示的隨機共振嚴格要求縱向力G的存在，且與結構關聯(lián)密切，而系統(tǒng)結構又可沿周期力F(t)在橫向等效為熵勢，根據(jù)文獻[11]這種隨機共振現(xiàn)象可視為熵隨機共振.

漏斗狀T形結構中熵勢的引入過程可以參考文獻[17,20]，在此引入其中的一些關鍵步驟.對外部場中粒子的自由擴散，引入如下二維Smoluchowski方程

(3)

其中，P(x,y,t)為粒子的概率密度分布，V(x,y)表示粒子所處的能量勢.在T形結構中G存在的情況下，V(x,y)可視為Gy.對(3)式進行積分，可以得到

(4)

其中，勢函數(shù)A(x)即為熵勢的理論形式.在G存在的情況下，其滿足如下形式

(5)

其中，Yu(x),Yi(x)分別對應結構的上邊界和下邊界.僅考慮T形結構中阱的等效熵勢，可以將(5)式化為

(6)

在圖3(a)中，漏斗狀T形結構中阱等效的熵勢表現(xiàn)出明顯的幾何依賴性，并且，改變T形結構中阱的斜率，并沒有影響熵勢的高度.在沒有縱向力G時，橫向的熵勢變化并不能引起體系的隨機共振(圖2(a)).引入的縱向力G后，結構等效的熵勢獲得了明顯增強(圖3(b)).由文獻[17]可知T形結構或其他結構中純粹的熵勢高低不表示粒子自由能的大小，僅表示結構對粒子擴散的一種阻礙.在將粒子的二維運動等效為一維運動的過程中，可將這種阻礙認為是熵勢對粒子擴散的減緩.

在漏斗狀T形腔中，沒有縱向力G時，結構的阻礙并不足以引起體系的隨機共振；而引入的縱向力G與體系的內(nèi)部幾何產(chǎn)生關聯(lián)，增強了結構對粒子響應F(t)的阻礙，導致體系呈現(xiàn)出了隨機共振.因此，根據(jù)文獻[11]，也可以理解為G對系統(tǒng)熵勢的增強，并導致了體系的熵隨機共振.

3 結 論

文章主要探究了受迫運動的布朗粒子在漏斗狀T形結構中的熵隨機共振現(xiàn)象.在沒有縱向力G的情況下，漏斗狀T形系統(tǒng)中無隨機共振現(xiàn)象.然而，在體系中引入G之后，可以觀察到明顯的熵隨機共振現(xiàn)象.改變G，周期驅(qū)動，以及體系結構，對系統(tǒng)中的SR現(xiàn)象都有明顯的影響.結合縱向力引起的能量勢以及體系結構引起的熵勢，揭示了體系中的熵隨機共振產(chǎn)生的機制. T形結構是一種典型的簡單結構，在其中發(fā)現(xiàn)熵隨機共振對不同微觀體系中隨機共振的研究都有參考意義，尤其在實際應用中可以為微觀粒子，如細胞、生物大分子、納米小顆粒等在狹長通道中的輸運，篩選與分離提供參考.