孔嘉，汪孟珂,，伏吉慶，劉浩,，陸曉銘

(1.杭州電子科技大學(xué) 理學(xué)院,杭州 310018;2.中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院 磁參量計(jì)量實(shí)驗(yàn)室，北京 100029)

磁場(chǎng)精密測(cè)量技術(shù)具有十分重要的研究?jī)r(jià)值，被廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)[1]、軍事偵察技術(shù)[2]、地球物理學(xué)[3]和工業(yè)檢測(cè)[4]等領(lǐng)域.先進(jìn)的磁場(chǎng)測(cè)量方法和高性能的磁傳感器一直是世界各國(guó)重點(diǎn)研究領(lǐng)域.得益于現(xiàn)代原子物理和激光領(lǐng)域的快速發(fā)展，磁場(chǎng)的精密測(cè)量技術(shù)也得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展[5-7].原子磁力計(jì)是一種測(cè)量堿金屬原子蒸氣在磁場(chǎng)中的拉莫爾進(jìn)動(dòng)來對(duì)微弱磁場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量的儀器，其靈敏度可以與超導(dǎo)量子干涉儀[8]相媲美，而且在體積和成本上具有可小型化的優(yōu)勢(shì).在原子磁力計(jì)走向極致時(shí)，需要對(duì)其自身的量子噪聲，例如原子自旋噪聲開展研究，才有可能進(jìn)一步突破標(biāo)準(zhǔn)量子極限，提升測(cè)量靈敏度.自旋噪聲(Spin Noise)[9]是指熱平衡態(tài)自旋的隨機(jī)熱漲落.由于自旋噪聲非常微弱，不僅難以被探測(cè)到，還很容易被各種噪聲淹沒，使得信號(hào)分析面臨巨大的挑戰(zhàn).在量子精密測(cè)量中，有不同的信號(hào)分析方法來應(yīng)對(duì)不同種類的信號(hào)和噪聲問題.例如，可以進(jìn)行多次測(cè)量求平均[10]來減小恒定信號(hào)的測(cè)量誤差；再如，可以用貝葉斯信號(hào)恢復(fù)方法[11]來有效追跡隨時(shí)間演化的信號(hào)；此外，頻譜分析可以降低寬頻噪聲對(duì)特定頻率信號(hào)的影響，使得本來在時(shí)域上難于顯現(xiàn)的信號(hào)在頻域上清晰顯現(xiàn)出來.頻譜分析不僅在工程噪聲分析上有廣泛的應(yīng)用，在量子精密測(cè)量，比如量子噪聲分析[12]、量子干涉儀[13]、原子磁力計(jì)[14]等裝置中也有不可取代的地位.在原子系綜量子噪聲研究中，自旋噪聲譜是近年來新興的一種研究方法，不僅可以進(jìn)行噪聲分析，還可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)的標(biāo)定.

自旋噪聲譜(Spin Noise Spectroscopy，SNS)[15]是一種測(cè)量自旋在探測(cè)光傳播方向上投影漲落的光學(xué)技術(shù).通過探測(cè)系統(tǒng)在非激發(fā)條件下的自旋漲落,可以揭示系統(tǒng)在熱平衡狀態(tài)下的性質(zhì).自旋噪聲譜借助頻譜分析的方法中的快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)來對(duì)傳感器采集的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域上.在轉(zhuǎn)換時(shí)有許多參數(shù)選擇會(huì)對(duì)頻域信號(hào)產(chǎn)生影響.例如，采樣率、采樣時(shí)間、帶寬、窗口函數(shù)等.在大多數(shù)量子精密測(cè)量的頻譜分析中只關(guān)注功率譜的相對(duì)值，比如壓縮度只涉及相干態(tài)和壓縮態(tài)噪聲的比值，而并不關(guān)注噪聲本身大小的絕對(duì)值，那么此時(shí)窗口函數(shù)的選擇就對(duì)結(jié)果沒有影響.因而這也造成了窗函數(shù)在數(shù)據(jù)處理時(shí)非常容易被忽視的現(xiàn)象.原子磁力計(jì)中的大部分噪聲分析、參數(shù)標(biāo)定也都不需要頻域信號(hào)的絕對(duì)值大小.比如噪聲分析時(shí)，常常只關(guān)注系統(tǒng)噪聲、光子學(xué)噪聲、電子學(xué)噪聲之間的比值.而當(dāng)需要對(duì)磁場(chǎng)信號(hào)實(shí)時(shí)追蹤時(shí)，需要首先通過原子自旋噪聲譜來對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行可靠的校準(zhǔn)，而這時(shí)候如果忽略窗口效應(yīng)，就會(huì)得到不符合實(shí)際的參數(shù)大小，導(dǎo)致磁場(chǎng)估計(jì)偏差較大.

本文將系統(tǒng)地研究快速傅里葉變換過程中，窗口效應(yīng)在自旋噪聲譜進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定時(shí)會(huì)產(chǎn)生的影響，并給出實(shí)驗(yàn)上的修正關(guān)系.這將為后續(xù)利用自旋噪聲譜對(duì)原子系綜進(jìn)行標(biāo)定和分析提供便利的修正方案.

1 傅里葉變換中的窗口效應(yīng)

理論上，用快速傅里葉變換測(cè)量信號(hào)的頻率成分時(shí)，假定了時(shí)域信號(hào)時(shí)間長(zhǎng)度是無限的，或者測(cè)量的信號(hào)是周期性的.然而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，測(cè)量的信號(hào)大多是非周期的，而且對(duì)信號(hào)的觀測(cè)時(shí)間有限，相當(dāng)于截取了信號(hào)的一部分.這就導(dǎo)致采樣信號(hào)首尾不連續(xù)，在快速傅立葉變換后表現(xiàn)為原始信號(hào)中不存在的高頻分量，似乎一個(gè)頻率的能量會(huì)泄漏到其他頻率.這種現(xiàn)象被稱為頻譜泄漏[16]，它會(huì)導(dǎo)致精細(xì)的譜線擴(kuò)展成更寬的信號(hào).因此直接對(duì)信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換會(huì)產(chǎn)生頻譜泄露、導(dǎo)致頻譜失真.為了減小頻譜泄漏對(duì)信號(hào)的影響，通常使用窗口函數(shù)對(duì)輸入的時(shí)域信號(hào)加窗，再對(duì)加窗后的信號(hào)執(zhí)行FFT，以獲得更為準(zhǔn)確的頻譜曲線.

窗函數(shù)是由一個(gè)主瓣和多個(gè)小幅值的旁瓣組成的連續(xù)頻譜.主瓣位于時(shí)域信號(hào)的每個(gè)頻率分量的中心，旁瓣接近零.旁瓣的高度則表示窗函數(shù)對(duì)主瓣周圍頻率的影響.在實(shí)際應(yīng)用中，選取窗函數(shù)需要注意主瓣和旁瓣的幅值與展寬兩個(gè)參數(shù)，較高而窄的主瓣能夠提高分辨率，幅值較低的旁瓣能夠減小頻譜泄露.但通常窗函數(shù)難以同時(shí)滿足這兩點(diǎn)，當(dāng)主瓣寬度較窄時(shí),旁瓣幅值較高,頻譜泄漏較嚴(yán)重﹔當(dāng)旁瓣幅度較小時(shí)會(huì)使主瓣頻率范圍展寬.每個(gè)窗函數(shù)都有自己的功能特點(diǎn)，適合不同的應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)根據(jù)被分析信號(hào)的頻率性質(zhì)來選擇合適的窗函數(shù).

一般情況下，不額外加窗與使用矩形窗(Rectangle)在幅值和能量上結(jié)果是一樣的.因而在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換時(shí)，默認(rèn)使用矩形窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行截取.特點(diǎn)是主瓣集中，旁瓣較高，會(huì)使變換中帶進(jìn)高頻干擾和泄漏.不考慮信號(hào)幅值精度，只關(guān)注精確的頻率，可選用矩形窗，例如測(cè)量物體的振動(dòng)頻率.漢寧窗(Hanning)，又稱升余弦窗.函數(shù)表達(dá)式為W(n)=0.5(1-cos(2πn/N))，0≤n≤N,窗口長(zhǎng)度L=N+1.其窗旁瓣顯著減小，在兩端都為逐漸減少到零，消除了所有的時(shí)域信號(hào)不連續(xù)性，頻譜泄漏被消除的很好.但其主瓣加寬，頻率分辨力下降.漢寧窗口可以滿足大部分應(yīng)用的需求[17].如果測(cè)試信號(hào)有多個(gè)頻率分量，頻譜表現(xiàn)較為復(fù)雜，就可以選擇漢寧窗.海明窗(Hamming)，也叫作漢明窗，函數(shù)表達(dá)式為W(n)=0.54-0.46cos(2πn/N),0≤n≤N.海明窗與漢寧窗都是余弦窗，只是加權(quán)系數(shù)不同，使旁瓣達(dá)到更小.但其旁瓣衰減速度較慢，因此信號(hào)中仍然有輕微的不連續(xù)性，在抵消最近的旁瓣方面做得更好.布萊克曼窗(Blackman)，是二階升余弦窗，函數(shù)表達(dá)式為W(n)=0.42-0.5cos(2πn/(L-1))+0.08cos(4πn/(L-1)),0≤n≤M-1，其中，M=N/2，當(dāng)N為偶數(shù);M=(N+1)/2，當(dāng)N為奇數(shù).所得頻譜具有寬峰值，但旁瓣壓縮良好.等效噪聲帶寬比漢寧窗要大一點(diǎn)，波動(dòng)小一點(diǎn).頻率識(shí)別精度最低，但幅值識(shí)別精度最高，有更好的選擇性.常用來檢測(cè)兩個(gè)頻率相近幅度不同的信號(hào).平頂窗(Flattop)在頻域有非常小的通帶波動(dòng)，比其他窗口更接近信號(hào)的真實(shí)幅度.由于在幅度上有較小的誤差，所以這個(gè)窗可以用在校準(zhǔn)上.平頂窗的函數(shù)表達(dá)式為W(n)=a0-a1cos(2πn/(L-1))+a2cos(4πn/(L-1))-a3cos(6πn/(L-1))+a4cos(8πn/(L-1)),0≤n≤L-1.其中參數(shù)a0=0.215 578 950；a1=0.416 631 580；a2=0.277 263 158；a3=0.083 578 947；a4=0.006 947 368.

加窗計(jì)算通常會(huì)衰減原始時(shí)域信號(hào)的幅值與能量，因此對(duì)于最后的結(jié)果還需要加上修正系數(shù)[18]，不同窗口函數(shù)的修正系數(shù)不同.理論上講，修正系數(shù)應(yīng)使加窗后幅值與同樣長(zhǎng)度的矩形窗相等.從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)來標(biāo)定銣原子自旋噪聲譜中窗函數(shù)的修正系數(shù)

K=A/A′,

(1)

其中,A和A′分別為不加窗(或矩形窗)和加窗后測(cè)得的信號(hào)大小.

2 自旋噪聲譜實(shí)驗(yàn)

銣原子自旋噪聲實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，主要包括探測(cè)光源、原子氣室控溫裝置、磁場(chǎng)控制線圈以及自旋噪聲信號(hào)探測(cè)系統(tǒng).在控制探測(cè)光功率等其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)不變的情況下，將原子氣室的溫度從59 ℃逐步升高到110 ℃，在穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)量原子氣室的自旋噪聲譜，觀察溫度對(duì)自旋噪聲信號(hào)的影響.在不加窗的情況下進(jìn)行快速傅里葉變換，并對(duì)頻譜信號(hào)進(jìn)行洛倫茲線型擬合，得到自旋噪聲譜的幅值、線寬、信噪比等信息.以探測(cè)光功率3 mW，溫度為100 ℃時(shí)測(cè)量結(jié)果為例，給出了時(shí)域信號(hào)如圖2所示.

傅里葉變換后的自旋噪聲譜如圖3所示，其中灰線為采用洛倫茲函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后結(jié)果.擬合方法為洛倫茲曲線擬合，擬合表達(dá)式

(2)

其中,參數(shù)y0是噪聲基底，A是信號(hào)幅值，ν0是信號(hào)中心頻率，γ是信號(hào)半峰全寬(Full Width Half Maximum，F(xiàn)WHM).為探究銣原子自旋噪聲信號(hào)中的窗口效應(yīng)與修正關(guān)系，在3 mW光功率條件下，采集了不同溫度下的自旋噪聲信號(hào)，并對(duì)每一組數(shù)據(jù)采用不同窗函數(shù)來進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.

添加窗函數(shù)擬合后，光場(chǎng)噪聲和原子噪聲大小如圖4所示.隨著溫度的增加，光場(chǎng)噪聲幾乎沒有變化，說明光場(chǎng)噪聲不受溫度影響.原子噪聲幅值隨溫度有明顯變化，溫度越高時(shí)，原子噪聲幅值信號(hào)越強(qiáng).對(duì)比不同窗函數(shù)選擇下的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)加窗對(duì)光場(chǎng)噪聲和原子噪聲幅值確實(shí)有衰減，且不同的窗口函數(shù)衰減因子不同.

如圖5所示，對(duì)加窗前后的FWHM和信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)對(duì)比結(jié)果發(fā)現(xiàn)，加窗對(duì)信號(hào)線寬和信噪比幾乎沒有影響.FWHM標(biāo)定了原子系綜的相干壽命，SNR標(biāo)定了光與原子相互作用的耦合強(qiáng)度.從分析結(jié)果來看，這兩個(gè)參數(shù)的擬合可以在任意窗函數(shù)情況下來完成，且不需要修正.

自旋噪聲譜中共振峰下的積分面積也會(huì)給出原子系綜中的重要信息，比如原子密度.光學(xué)深度較大的情況下，原子密度很難用原子吸收譜的方法來標(biāo)定.這時(shí)自旋噪聲譜就是一個(gè)很好的方法.在一些量子噪聲分析和磁場(chǎng)信號(hào)追蹤的研究中，原子密度標(biāo)定的準(zhǔn)確性會(huì)直接影響測(cè)試結(jié)果.對(duì)自旋噪聲譜的積分面積進(jìn)行了測(cè)量和分析，發(fā)現(xiàn)它強(qiáng)烈依賴于窗函數(shù)的選擇.如圖6所示，若不對(duì)窗口效應(yīng)進(jìn)行修正將得到錯(cuò)誤的原子密度估計(jì).

3 窗口效應(yīng)修正關(guān)系

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和方程1 的定義，測(cè)得了銣原子自旋噪聲譜信號(hào)在不同窗口函數(shù)條件下的修復(fù)系數(shù).修正系數(shù)分別為：hanning,2.67；hamming,2.51；blackman,3.28；flattop,5.75.將這組修正系數(shù)應(yīng)用到銣原子自旋噪聲譜分析中，如圖7所示，可以看出各個(gè)參數(shù)在不同窗口下的表現(xiàn)基本都恢復(fù)到同一水平，且與矩形窗(即不加窗口函數(shù))時(shí)的表現(xiàn)一致.尤其是對(duì)積分面積的修復(fù)較好，可以方便地測(cè)得系統(tǒng)在不同溫度下對(duì)應(yīng)的原子密度值.

4 結(jié) 論

本文以銣原子氣室的自旋噪聲譜為例，對(duì)快速傅里葉變換中窗函數(shù)選擇帶來的譜線變化進(jìn)行了分析.在59 ℃到110 ℃的原子溫度情況下，采集得到原子自旋在恒定磁場(chǎng)作用下的自旋噪聲信號(hào).通過快速傅里葉變換的方法得到自旋噪聲譜后進(jìn)行了洛倫茲線性擬合，以得到各參數(shù)的標(biāo)定結(jié)果.在光功率等實(shí)驗(yàn)參數(shù)不變的情況下，可以看出溫度越高，原子數(shù)密度越高，原子自旋信號(hào)幅度越大，信噪比越好，但線寬更寬，相干壽命變短.這一變化趨勢(shì)不隨頻譜分析以及窗函數(shù)選擇而改變.同時(shí)線寬(原子相干壽命)和信噪比(噪聲相對(duì)值大小)也不受窗函數(shù)選擇的影響，可以在任意窗函數(shù)下進(jìn)行標(biāo)定.而噪聲的絕對(duì)值，和噪聲譜積分面積的大小受窗函數(shù)選擇的影響較大.給出了實(shí)驗(yàn)上的修正系數(shù)：hanning,2.67；hamming,2.51；blackman,3.28；flattop,5.75.修正后能夠恢復(fù)信號(hào)幅值，不同窗函數(shù)恢復(fù)結(jié)果大致相同.這展示了數(shù)據(jù)處理時(shí)會(huì)引入的潛在人為誤差，也解決了在利用自旋噪聲譜進(jìn)行原子密度估計(jì)時(shí)，常常會(huì)因數(shù)據(jù)處理導(dǎo)致密度不唯一的問題，也為密度估計(jì)提供了便利的修復(fù)系數(shù).