李方紅

“學好數(shù)理化，走遍天下都不怕”的說法對數(shù)學的價值雖有夸大，但在培養(yǎng)學生抽象概括、邏輯推理、模型建構(gòu)、系統(tǒng)思維、質(zhì)疑批判、實踐創(chuàng)新等方面有著不可替代的作用。針對各級招生評價指標的導向和對數(shù)學啟蒙教育的過度重視與不當方法，有必要深度剖析，診斷是非，厘清數(shù)學啟蒙教育的正途。

一、數(shù)學啟蒙教育之“偏”

（一）玩游戲培養(yǎng)興趣

很多家長深知興趣對孩子成長的重要性，積木、拼圖、數(shù)獨、魔方、九連環(huán)、華容道……成了孩子數(shù)學啟蒙的工具。這些操作性與思維性結(jié)合的游戲?qū)ε囵B(yǎng)孩子的協(xié)調(diào)性、專注力、記憶力、推理能力等大有裨益，但認為孩子玩好這些游戲就是數(shù)學啟蒙則有失偏頗。數(shù)學教育有培養(yǎng)人力、傳承文化、服務生活的三重價值，[1]僅靠玩游戲培養(yǎng)學習力的做法，缺乏習慣引導、方法啟迪、精神涵養(yǎng)、性格潤育等，難以落實立德樹人的根本任務，也不能全面培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

（二）自然式放養(yǎng)

少數(shù)家長認為最好的教育就是基于自然主義的“放養(yǎng)教育”，孩子入學前，只要吃好、玩好、睡好、身體好就行。這樣可能會錯過孩子數(shù)感培養(yǎng)的關鍵期（3歲左右），[2]失掉為孩子后續(xù)正式學習打基礎的機會。自然主義并非不管不問、不導不引、不育不潤，而是指遵循兒童身心成長的自然規(guī)律。

（三）興趣班越早越好

很多家長擔心孩子輸在起跑線，在沒有厘清培養(yǎng)思路時，病急亂投醫(yī)，跟著大眾走，把孩子交給各種培訓機構(gòu)。社會上多數(shù)興趣班都是超前或超綱學習，且僅教知識，忽略學習方法、習慣的培養(yǎng)，漠視精神和興趣情感的熏陶，抹殺孩子的好奇心與求知欲。

（四）數(shù)學啟蒙就是教計算

很多家長認為孩子會20以內(nèi)加減運算，數(shù)學啟蒙教育就做好了。數(shù)學是研究數(shù)量關系與空間形式的學科，運算僅是其中一部分，運算的前置知識應是數(shù)和數(shù)量的關系，單純教計算，忽視前置知識基礎的孕育和計算的生長根基，無異于揠苗助長。

玩游戲、自然放養(yǎng)、早上興趣班、只教計算等走進了以偏概全、不明規(guī)律、揠苗助長、流于表面的誤區(qū)，其本質(zhì)是家長對教育教學規(guī)律和數(shù)學啟蒙基本方法的不明就里，所以亟待糾偏歸正。

二、和人教育理念下的數(shù)學啟蒙教育解構(gòu)

和人教育的核心理念是“和乎人性，和而不同，和美生活”，[3]強調(diào)一切教育教學活動都需遵循人成長的規(guī)律而展開，做到因材施教、因地制宜、因人而異、因時而變，將統(tǒng)一性與差異性、集體性與個性化有機整合，讓每個學生都成為最優(yōu)秀的自己，享受和美的幸福生活。這需要教育做到由表及里的追問與把捉，做到由此及彼的統(tǒng)一，擁有由近及遠的全局設計與終身發(fā)展的長遠視野。

學科育人價值不僅傳承文化，也要培養(yǎng)人力與服務生活，溝通數(shù)學與生活的聯(lián)系，讓學生體悟數(shù)學的應用價值，真正激發(fā)其學習內(nèi)驅(qū)力。學科育人科學規(guī)律、兒童身心發(fā)展規(guī)律、學生人力培養(yǎng)規(guī)律、數(shù)學學科發(fā)展規(guī)律構(gòu)成了數(shù)學啟蒙教育的理論根基?；谒拇笠?guī)律展開的教育設計與實施是啟蒙教育的基本原則，學科育人要回應人力培養(yǎng)、文化傳承、服務生活的綜合育人價值；身心發(fā)展規(guī)律是回答孩子身心發(fā)展的特點，啟蒙教育的方式方法呈現(xiàn)的是采取怎樣的策略與措施問題；人力培養(yǎng)規(guī)律回應怎樣讓學生從學會到想學、會學、學好的學習生發(fā)性問題，即怎樣才能學好數(shù)學，數(shù)學學習需要哪方面的關鍵能力與核心品格。如果把學科發(fā)展比作菜肴，學習機制就是做菜的基本功與方法，學科發(fā)展規(guī)律厘清了數(shù)學學科最核心的內(nèi)容、它們之間的關系，又如何在啟蒙教育階段予以適切滲透等問題。

學科育人是價值論探討，身心發(fā)展是啟蒙教育的實踐觀依據(jù)，促進學生養(yǎng)成良好的學習習慣，有序?qū)W習，實現(xiàn)兒童更好成長（單位時間內(nèi)更好地成長）；人力培養(yǎng)是學習的方法論闡釋；學科發(fā)展是學科成長的本體論解讀。四者相互生成，相互促進，共同為學生更好成長奠基。

從和人教育理論視野切入，基于數(shù)學啟蒙教育現(xiàn)實問題與歸正方向分析，數(shù)學啟蒙教育的總體歸正涉及以下四個方面。見圖1。

圖1 數(shù)學啟蒙教育的偏與正

三、數(shù)學啟蒙教育之“正”

（一）價值論：助力學生和美生活

數(shù)學啟蒙應從關注外顯結(jié)果的“偏”走向由外向內(nèi)，由表及里的生發(fā)性、根基性、內(nèi)隱性的啟蒙“正”途，應從外在驅(qū)動的興趣培養(yǎng)走向關注內(nèi)在生發(fā)的需求。讓學生感受數(shù)學的廣泛應用，感受其價值，激發(fā)探究數(shù)學的本源初心，讓學習變得真實而有趣。

數(shù)學的價值體現(xiàn)在趣、美、用三方面。[5]啟蒙階段，要讓幼兒走出家門、走出紙筆世界、走出社區(qū)、走進生活、走進社會，去感受數(shù)學的廣泛存在，體悟數(shù)學無處不在，隨處可用?；谟變旱恼J知能力與身心特點進行浸潤式啟發(fā)，基于浸入性、泛在性、啟發(fā)性、探索性等教育原則，即不刻意出示與營造，不講授解說，讓孩子去感受、體驗、探索、體悟。例如，1 歲時，父母把孩子帶到兒童樂園，他看到很多花、很多人……回到家，對比身邊人，爸媽可嘗試與孩子一起對話，今天兒童樂園人真多，家里人真少。在孩子充分感受后，家長可進行大小比較關系的啟蒙，是數(shù)學學科價值的原始啟蒙。

（二）實踐觀：實現(xiàn)兒童更好成長

孩子產(chǎn)生原始探究欲后，接下來應在浸潤基礎上積極引導，使其養(yǎng)成有序?qū)W習、科學學習的良好行為習慣。從行為主義分析，學習即行為程式的不斷優(yōu)化，包括各器官的協(xié)調(diào)參與，看、聽、思、做、說等行為的參與，不斷完善生理器官的機能，累積更優(yōu)的行為程式，實現(xiàn)自身成長。從認知建構(gòu)主義探析，學習是“情境-內(nèi)化-順應-平衡-外化”的認知建構(gòu)過程，關注情境的表象依附，強調(diào)新舊認知的聯(lián)系，注重讓學生不斷表達輸出等。從社會學視野檢視，學習包含系列社會化過程，教育學領域建立目標-課程-學習-評價-研究的系統(tǒng)學習結(jié)構(gòu)。金字塔及艾賓浩斯遺忘曲線等理論，指出復述表達、實踐、復習總結(jié)等習慣有利于學習效率與質(zhì)量的提升。

基于以上理論，讓幼兒建立縱向有序、橫向有質(zhì)的優(yōu)質(zhì)學習行為程式，預、學、結(jié)、練、用、創(chuàng)、展、評八環(huán)學習習慣就是對此的回應。[6]八環(huán)是學習過程的完整生態(tài)描述，是學生多種器官的協(xié)同參與，更切合高質(zhì)學習的基本程式。預，即學習的驅(qū)動、計劃、準備；學，即通過多元路徑、多種方式、多樣形式展開，如自主與合作、課內(nèi)與課外、發(fā)現(xiàn)與接受、意義與無意義、正式與非正式、線上與線下、主題與隨性學習等；結(jié)，即及時總結(jié)與梳理、自省與復述、實現(xiàn)過渡學習、建立系統(tǒng)認知網(wǎng)絡；用，即及時以用致學、以學致用、在做中學、在做中提升；創(chuàng)，即實踐研究與創(chuàng)新探索；展，即多參加各種展示自己的活動，在活動中交流互生，在活動中歷練成長。評，即最后的成長反饋與未來發(fā)展預見與建議咨詢。八環(huán)融合了一切做事行為的基本程式和良好習慣，即“預-規(guī)劃，學-思考，用-實踐與持恒，篤行與超越，結(jié)-總結(jié)”，八環(huán)也關注了對學生計劃、執(zhí)行、堅持與反思習慣的培養(yǎng)。

例如，幼兒3 歲左右，可與他們一起制作一本充滿童趣的學習冊，用來記錄其學到的知識與解決問題的方法，記錄他們數(shù)學學習的一些快樂瞬間，累積積極情感。[7]還可以在家里開一個我來講數(shù)學的小型宣講會，各個成員每周分享自己的學習收獲，與孩子一起制定詳細的獎勵制度，可采取代幣制鼓勵孩子的點滴發(fā)現(xiàn)與進步。

（三）方法論：優(yōu)化學生生長基因

學生在有序?qū)W習的基礎上，應追求高質(zhì)量學習，這需要把握數(shù)學的規(guī)律，為學生植入數(shù)學學習的優(yōu)質(zhì)基因?；谝?guī)律，探明“原點”與“根基”，播下良好的學習種子，這個種子就是數(shù)學學科發(fā)展，數(shù)學學習背后的科學精神、研究方法、數(shù)學思想（普適性的思考方法）、學習方法、解題方法等。掌握科學研究方法，如實驗法，用“猜想、實驗、結(jié)論、驗證、應用”可以探索很多數(shù)學規(guī)律，建立數(shù)學模型。小學階段，常見的研究方法包括調(diào)查、實驗、文獻、個案、實踐等。有求真創(chuàng)新的精神，便有探索的韌勁。

數(shù)學思想是建構(gòu)新知、問題解決、做題解題、生活實踐等的普適性思考方法，是對思考行為與方法的高度概括。如，轉(zhuǎn)化的思想，即把未知轉(zhuǎn)化成已知，通過已知解決未知，這個思考方法在學習平行四邊形面積、人類解決能源不足問題、對百分數(shù)的理解上都能用到。例如，今年收入比去年提高10%，即去年收入與今年收入的比是10：11，把百分數(shù)轉(zhuǎn)化成比。小學數(shù)學思想依據(jù)思想產(chǎn)生根源與適用范疇分成三類，本質(zhì)性思想、認識論思想、數(shù)學內(nèi)容板塊具化的方法論思想。模型思想、符號化思想屬于本質(zhì)性數(shù)學思想；認知論有操作、數(shù)形結(jié)合、推理、轉(zhuǎn)化與化歸、代數(shù)、變換、整體、類比、分類討論、枚舉、假設、極限、優(yōu)化、演繹推理等數(shù)學思想；函數(shù)、方程、集合、周期、概率統(tǒng)計等是各板塊具化的方法論思想。

數(shù)學學習方法，指基于學科特性，基于學習本質(zhì)規(guī)律，高質(zhì)學習機制的系列學習方法。解題方法聚焦具體的解題程式，小學階段可按思維分層，看得見、推得出、想得明三類。操作、嘗試、畫圖、舉例、枚舉、代入、假設、感覺、生活經(jīng)驗等讓數(shù)學解題更直觀、看得見的方法；推理、對比、排除、正反推、公式是等較為抽象的方法，通過對信息的深度解構(gòu)深究數(shù)理本質(zhì)的解題方法是最抽象的方法。

幼兒啟蒙教育時，家長要對方法論有系統(tǒng)的認識，但不可直接告知，要采取潤的方式讓孩子在具體的情境、學習中體悟。

（四）本體論：夯實數(shù)學發(fā)展基礎

數(shù)學啟蒙教育的載體與外化成果集中表現(xiàn)為對數(shù)學認知與知識結(jié)構(gòu)的探究與掌握，是過程與結(jié)果的統(tǒng)一，即研究數(shù)學規(guī)律，學會相關知識，了解相關文化，體悟相關方法，學會相關應用等。數(shù)學啟蒙還能讓學生研究與掌握數(shù)學學科內(nèi)容“原生性”的根基知識。

小學數(shù)學分成四大板塊，即數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐。數(shù)與代數(shù)是基礎與前置知識，是數(shù)學啟蒙教育的核心內(nèi)容，包括“數(shù)、代數(shù)式、數(shù)量關系、數(shù)的運算”四部分，小學階段將這些內(nèi)容在每冊書中呈螺旋上升安排，即按“整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、代數(shù)、百分數(shù)、負數(shù)”有序遞升編排，數(shù)量關系按“大小比較關系、和的關系、差的關系、倍數(shù)關系、相除關系”有序呈現(xiàn)，數(shù)的運算按“加法、減法、乘法、除法、混合運算”漸進設計，且將其在每冊中分步呈現(xiàn)。運算是數(shù)量關系的符號表征（如3 與2 和的關系，合起來是多少，用加法符號及運算過程來表征）。其中數(shù)的認識要注意“基數(shù)與序數(shù)、數(shù)量與分率（百分數(shù)）、正數(shù)與負數(shù)、整數(shù)與分數(shù)小數(shù)、數(shù)與字母代數(shù)、有理數(shù)與無理數(shù)”等的關系與區(qū)別，只有理解數(shù)的含義，才能理解數(shù)量關系與數(shù)的運算。啟蒙階段，在學科知識內(nèi)容、學科發(fā)展基礎方面，應重點關注幼兒的數(shù)感、數(shù)量關系與基本運算的表象建立，即理解數(shù)表示什么意思，關系與運算是什么意思，是怎么有序產(chǎn)生的。

幼兒階段重在啟蒙，不是習得系統(tǒng)的知識。實踐操作中，要注重潤化、表象、思考、表達，循序漸進、點到為止。數(shù)有兩種基本含義，一是基數(shù)，二是序數(shù)?；鶖?shù)表示數(shù)量多少，序數(shù)表示順序。序數(shù)是數(shù)量集合后的一種順序表示，如第一名，第二名，第三名。生活中數(shù)量多少與對應數(shù)字組成對應關系的建立就是最初的數(shù)感，數(shù)的觀念與表象建立的過程經(jīng)歷情境——操作——替物——圖示——符號——抽象（概念）——應用的基本過程。

生活中有計數(shù)的需要，最初用石子一一對應計數(shù)，但不便捷，后來發(fā)展到結(jié)繩、記號或畫圈，最后發(fā)明了用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個數(shù)字表示對應的數(shù)量。10個阿拉伯數(shù)字就是一種符號抽象，再進一步到概念抽象。0～9 這10 個阿拉伯數(shù)字比作英語里的基本字母，到了10，這個數(shù)量異常關鍵，若繼續(xù)發(fā)明其他數(shù)字來表示無限的數(shù)量顯然太麻煩，這個發(fā)明的過程不要直接講解，讓孩子去探索、嘗試。或者與數(shù)學家達成共識，順勢引導；或者偏離，適時啟發(fā)。原來到了10，數(shù)學家發(fā)明了十位，即新的計數(shù)單位“十”。數(shù)位就像更高級別的座位一樣，數(shù)字0～9 坐在那里，升級了，就表示0 個10、2 個10 等。數(shù)位與計數(shù)單位之間的進率要通過形象的比喻，以及豐富的表象讓學生慢慢建立。數(shù)位比作座位，計數(shù)單位比作賦予這個座位的不同權(quán)力。國王坐在皇位上，可號令天下，臣子坐在對應座位，只能執(zhí)行決定，出謀劃策等。個位是最低級的座位，上面的權(quán)力是數(shù)字幾就表示幾個1，十位比個位高一個級別，權(quán)力是數(shù)字幾就表示幾個10，且隨著個位上臣子的功績提升，若滿10，即10 個1，就向上十位進一，變成一到十位。這樣用10 就表示了10個，同樣的12表示1個10和2個1，表示12，依此類推。

“數(shù)字是數(shù)的組成基礎，包括0～9這10個數(shù)字；數(shù)位是數(shù)字的座位，計數(shù)單位是對應座位上數(shù)字的權(quán)力，個位上，表示幾個1，十位上，表示幾個10；下一數(shù)位上的數(shù)字若滿10，則升級到上一數(shù)位上用數(shù)字1表示?！奔窗选皵?shù)位、計數(shù)單位、滿10 進1”這樣的一套十進位值制記數(shù)法轉(zhuǎn)化成學生可借助生活經(jīng)驗聯(lián)系的形象化認知，依托不同的數(shù)及對應數(shù)量物體的反復感知，讓學生真正建立清晰的表征理解。

家長只需在生活中找各種數(shù)量（先認識10以內(nèi)的量）的物體，讓孩子直觀感受量，再一一對應畫圈，用對應的數(shù)表示數(shù)量，讓其慢慢體會數(shù)可以表示多物的量，一物多量用多數(shù)表示。數(shù)量關系包括大小比較、和、差、乘、除等。這些關系的內(nèi)容（結(jié)果）計算產(chǎn)生了數(shù)的運算。啟蒙一定要加強對四則運算及各運算表示含義的理解和體驗。通過操作、畫圖、符號、表達、應用，從形象到抽象漸進過度，從理解到計算慢慢衍生，從計算到解決問題逐步推進，從數(shù)學到生活適切融入，切不可急功近利，囫圇吞棗，拔苗助長。

1.加法運算。加法是求兩個數(shù)和的關系而誕生的一種運算。正確的引導方法是讓孩子經(jīng)歷“合起來需要——合起來是多少的問題解決——合起來符號表示——加法含義”這樣形象到抽象漸進的過程。例如，今天媽媽買了3 個蘋果，奶奶又帶來5 個，一共多少個？孩子想的辦法一般是動手操作，把3 個蘋果和5 個蘋果合起來，數(shù)一數(shù)，媽媽可以追問，如果不合起來，你能解決嗎（最近發(fā)展區(qū)不斷激發(fā)孩子思維進階）？小朋友冥思苦想，通常會想到畫圈代替合起來。如果不畫圈呢？用數(shù)和符號來表示，3在這里表示3個蘋果，5表示5個蘋果，加號表示合起來，等號表示得多少，8表示結(jié)果，孩子在經(jīng)歷這個過程建立豐富的表象后，便能將實際合起來的過程與加法算式符號抽象建立對應聯(lián)結(jié)。小學階段只有四則運算，解決問題難度的提升主要體現(xiàn)在三個方面：一是數(shù)的變化。六年級還會有加法運算的解決問題，變成了分數(shù)、小數(shù)之間的運算；二是多種運算的融合。表現(xiàn)為多步運算，習題設計中要利用“你想要的偏不給”的策略，需要先通過其他運算求中間條件。例如，一年級的一道解決問題：男生22人，女生20人，一共多少人。此題在三年級變化為男生22人，女生比男生少2人，班級一共多少人。求總數(shù)，先要知道女生人數(shù)，偏不給，那就先求女生人數(shù)。這樣由一步變成了兩步；三是情境的復雜性。一年級都是花草，六年級便是家國天下。

2.減法運算。減法是加法的逆運算，表示從總數(shù)中去掉一部分，求剩下多少。包括典型的去掉求剩下問題，求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）多少。例如，媽媽今天煮了10個湯圓，爸爸吃了4個，碗里剩下幾個。孩子通過動手操作、畫圖，用10表示總數(shù)，“-”表示去掉，4表示4個，“=”表示得，6表示剩下6個。減法算式僅是一種符號表征，讓學生知道“-”表示去掉，“=”表示得數(shù)是多少。學生開始只能通過“操作、畫圖、扳手指”等形象化的計算來理解運算，最后總結(jié)哪兩個數(shù)組合得10，并背誦湊10的數(shù)對?！耙痪乓痪藕门笥?，二八二八手拉手，三七三七一起走……”這是形象到抽象的思維升級過程，也是“操作——圖示——符號表征——理解符號含義——多法計算——口訣記憶”的過程，切不可拔苗助長，不經(jīng)歷探索與表征理解，直接讓孩子背口訣。

3.乘法運算。乘法是幾個相同加數(shù)相加的簡便計算，即特殊加法的簡便計算。7×3=表示3 個7 的和是多少，7 個3 的和是多少。包括典型的求幾個幾的問題，以及求一個數(shù)的幾倍（實際上也是幾個幾），六年級是求一個數(shù)的幾分之幾。

4.除法運算。除法是乘法的逆運算。2×6=12 12÷2=（），人教版小學數(shù)學教材安排二年級上冊學習除法，12÷2=（）的生活原型是共有12 個蛋糕，平均分成2 份，求每份是多少？或12 個蛋糕，每2 個為1 份，能平均分成幾份？除法運算本質(zhì)是表示平均分。兩種分法，一是平均分成幾份，求每份多少。二是每多少個為1份，能平均分成幾份。如何理解除法是乘法的逆運算，可以通過實物合與分的直觀例子來理解。如每盤5 個餃子，有3 盤，一共多少個？求3 個5，5×3=15（個）。反過來，一共有15 個，平均分成3 盤，每盤多少個？15÷3=5。（除法的計算基礎是乘法，即用積除以其中一個因數(shù)。）

綜上，四則運算之間的關系如圖2。

圖2 小學階段數(shù)學四則運算關系

5.四則混合運算。二年級開始四則混合運算，四年級學習運算定律?；旌线\算要注意“運算順序、運算定律、運算規(guī)范”。順序是基礎，定律是為了簡算，簡算是運用運算定律進行變式湊整。

數(shù)感與數(shù)的運算是小學數(shù)學四大板塊內(nèi)容的根基石，也是數(shù)學認知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)的原生點，是數(shù)學學科自身發(fā)展的邏輯基礎，也滲透著數(shù)學研究的方法論基本原理，是數(shù)學啟蒙教育的內(nèi)容載體，數(shù)學啟蒙的外顯結(jié)果。

價值論基于立體育人的內(nèi)驅(qū)力激發(fā)與行為發(fā)起，實踐觀基于幼兒身心特點的行為縱向組織，方法論基于學習機制與數(shù)學學科生發(fā)機制的行為橫向優(yōu)化向高質(zhì)學習，本體論基于學科發(fā)展的原生點而展開學習過程的認知載體與數(shù)學學習成長與否的外顯結(jié)果，是學好與成長的外顯指標。四者有序回應了想學、在學、會學、學好更好成長的深度學習問題，對應的價值論、實踐觀、方法論、本體論全生態(tài)地展露了數(shù)學學習的全生長鏈條。鏈接“趣美用價值體悟；八環(huán)有序?qū)W習習慣；精神、研究方法、數(shù)學思想、數(shù)學學法、解題方法等內(nèi)隱學力；數(shù)感與數(shù)運算的原點認知結(jié)構(gòu)”恰是數(shù)學學科自身發(fā)展與學生學習由內(nèi)及外的生長態(tài)。數(shù)學啟蒙將真正實現(xiàn)以生活為情境，在有序行動中潤化精神、思想與方法，夯實人力基礎與學科發(fā)展基礎，助力學生更好成長。