鐘澤君， 李婷婷

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400715

文獻(xiàn)[1-2]提出了廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型， 該模型主要用于刻畫(huà)資產(chǎn)收益率的波動(dòng)規(guī)律． 文獻(xiàn)[3-4]將GARCH同多種傳統(tǒng)模型進(jìn)行實(shí)證比較， 結(jié)果表明GARCH能更為準(zhǔn)確地反映我國(guó)某些市場(chǎng)的波動(dòng)情況． 后續(xù)學(xué)者根據(jù)市場(chǎng)特征和需求的不同對(duì)GARCH進(jìn)行了推廣研究， 并演化出了一系列GARCH族模型[5]．

目前， 用于估計(jì)GARCH模型參數(shù)的方法多種多樣． 文獻(xiàn)[6]將類(lèi)極大似然(QML)法用于GARCH和ARMA-GARCH模型的參數(shù)估計(jì)； 文獻(xiàn)[7]將QML法擴(kuò)展到一系列多維GARCH類(lèi)模型， 且實(shí)證表明其能很好地刻畫(huà)匯率序列的波動(dòng)． 雖然文獻(xiàn)[8]指出QML估計(jì)對(duì)數(shù)據(jù)分布具有一定的容錯(cuò)性， 但其對(duì)異常值很敏感， 少量異常值就會(huì)對(duì)QML估計(jì)產(chǎn)生巨大的影響， 也即QML估計(jì)并不穩(wěn)健， 其次， QML法還要求序列4階矩存在， 而金融收益率時(shí)序列分布往往呈現(xiàn)出“尖蜂厚尾”的特點(diǎn)， 難以滿足該條件． 由此， 文獻(xiàn)[9]提出了較為穩(wěn)健的偏差絕對(duì)值最小(LAD)法． 文獻(xiàn)[10]提出了基于傳統(tǒng)GARCH模型的分位數(shù)回歸估計(jì)(QR)法， 并證明了該估計(jì)的一致性． 雖然QR估計(jì)一定程度上減少了數(shù)據(jù)尖峰厚尾所造成的估計(jì)誤差， 但風(fēng)險(xiǎn)水平的選取將直接影響到QR估計(jì)的結(jié)果． 因此， 文獻(xiàn)[11]將復(fù)合分位數(shù)回歸(CQR)應(yīng)用于估計(jì)高頻數(shù)據(jù)的GARCH參數(shù)， 數(shù)值模擬結(jié)果顯示CQR估計(jì)較QR估計(jì)更為精確有效． CQR通過(guò)綜合考慮多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)水平下的條件QR使得估計(jì)更為穩(wěn)健有效， 但應(yīng)對(duì)不同的市場(chǎng)損失情況應(yīng)當(dāng)賦予不同程度的損失， 故文獻(xiàn)[12]考慮加權(quán)復(fù)合分位數(shù)回歸(WCQR)法， 其通過(guò)極小化WCQR參數(shù)估計(jì)的漸進(jìn)方差得到權(quán)重值， 對(duì)于不同分位數(shù)回歸給予不同的權(quán)重， 以此得到更加穩(wěn)健有效的估計(jì)．

近年來(lái)， 受文獻(xiàn)[13]提出的兩步QR思想的啟發(fā)， 文獻(xiàn)[14]提出了GARCH模型的混合QR估計(jì)， 該估計(jì)主要分為兩步： 首先計(jì)算QML估計(jì)下的條件標(biāo)準(zhǔn)差擬合序列， 接著將此條件標(biāo)準(zhǔn)差擬合序列的倒數(shù)作為QR損失的權(quán)重得到估計(jì)， 數(shù)值分析表明混合QR估計(jì)可以削弱極端波動(dòng)的影響， 得到更為精確有效的估計(jì)； 文獻(xiàn)[15]還將上述混合QR估計(jì)用于探究GARCH-X誤差模型， 數(shù)值模擬顯示出該混合估計(jì)在大樣本下表現(xiàn)最優(yōu)． 本文進(jìn)一步將混合估計(jì)擴(kuò)展到CQR， 結(jié)合WCQR思想， 由此提出二次加權(quán)分位數(shù)回歸(BWCQR)技術(shù)． 數(shù)值模擬及實(shí)證分析表明利用BWCQR估計(jì)GARCH模型參數(shù)在一定準(zhǔn)則下相較已有估計(jì)技術(shù)更加合理有效．

1 模型及估計(jì)

1.1 GARCH模型的BWCQR估計(jì)

記yt表示某資產(chǎn)第t天的收益率， 則標(biāo)準(zhǔn)GARCH(p，q)模型為

yt=vtηt

對(duì)應(yīng)GARCH(p，q)模型的條件τk分位數(shù)為

(1)

GARCH模型的CQR估計(jì)[11]為

(2)

將文獻(xiàn)[12]提出的WCQR擴(kuò)展至GARCH模型

(3)

將文獻(xiàn)[14]提出的混合QR加權(quán)思想擴(kuò)展到CQR， 由此衍生出估計(jì)

(4)

將式(3)和式(4)相整合， 即可得到本文提出的BWCQR估計(jì)

(5)

1.2 假設(shè)及定理

在給出BWCQR估計(jì)的漸進(jìn)性質(zhì)之前， 須引入一些記號(hào)和模型假設(shè)： 記向量a的歐幾里得范數(shù)為‖a‖；C表示在不同的計(jì)算過(guò)程中不盡相同的任一正數(shù)； 定義矩陣A=(aij)的歐幾里得范數(shù)為‖A‖=∑i，j|aij|；V表示一廣義可積隨機(jī)變量； {St}表示一平方可積非負(fù)平穩(wěn)遍歷過(guò)程且滿足St∈Ft-1； 變量ρ滿足 0<ρ<1；ρτk(u)關(guān)于u的導(dǎo)數(shù)為ψτk(u)=τk-I(u<0)．

假設(shè)1模型的真值θ*為Θμ的內(nèi)點(diǎn)， 其中參數(shù)空間Θμ定義為

其中實(shí)數(shù)μ∈(0， 1)且使得θ*∈Θμ．

證明分別定義

本文主要證明定理2及推論3， 定理1不作詳細(xì)證明． 關(guān)于定理1可參考文獻(xiàn)[15]中定理1的證明， 分證四點(diǎn)即可：

4) 對(duì)任一θ#∈Θμ， 當(dāng)0時(shí)有其中B(θ#)={θ#∈Θμ： |θ#-θ|<}表示以θ#為中心為半徑的鄰域．

注1當(dāng)K=1，ω=1且vt=1時(shí)， 定理2退化為QR估計(jì)的漸進(jìn)性質(zhì)， 詳見(jiàn)文獻(xiàn)[10]定理2； 當(dāng)K=1且ω=1時(shí)， 定理2退化為混合QR的漸進(jìn)性質(zhì)， 詳見(jiàn)文獻(xiàn)[15]定理2； 當(dāng)ω=1且vt=1時(shí)， 定理2退化為CQR的漸進(jìn)性質(zhì)， 詳見(jiàn)文獻(xiàn)[11]定理2．

證明

(6)

注意到， 對(duì)?τ∈(0， 1)有ρτ(x)≤|x|． 由ρτ(x)的Lipschitz連續(xù)性及式(6)， 有

(7)

(8)

因此， 由式(8)及A.2有

2) 定義

由文獻(xiàn)[16]有等式

(9)

(10)

lk(θ)-lk(θ*)=dt(θk)[-ψτk(ηtk)+Btk]

(11)

據(jù)ψτ(x)的定義對(duì)其應(yīng)用Fubini定理及泰勒展開(kāi)有

(12)

引理2在假設(shè)1-3滿足的條件下， 有

證明引理2的證明同引理1的證明類(lèi)似

據(jù)文獻(xiàn)[17]定理3.1和式(9)易證K1n(δ)=op(|δ|)與K2n(δ)=op(|δ|2)．

引理3在假設(shè)1-3滿足的條件下， 有

其中

證明由式(9)有

(13)

對(duì)R1n(δ)泰勒展開(kāi)：R1n(δ)=-δTCn-δTK3n(θ′)δ， 其中

定義Btk=Btk1+Btk2， 其中

由中值定理、 文獻(xiàn)[10]A.2及假設(shè)3， 對(duì)?ζ>0

(14)

對(duì)K5n(δ)進(jìn)行放縮后

定理2證明結(jié)合引理1-3和定理1， 同文獻(xiàn)[15]中定理2的證明類(lèi)似即可證明該定理．

注2令

推論1證明矩陣C可分為4塊分塊矩陣

同樣可以將矩陣D分為4塊分塊矩陣

注意到， 在假設(shè)4及權(quán)重向量ω>0的條件下矩陣D，C均為嚴(yán)格正的可逆矩陣， 矩陣D-1CD-1的右下塊(p+q)× (p+q)維矩陣U為

其中

經(jīng)計(jì)算可得推論1成立．

1.3 參數(shù)估計(jì)步驟

將本文提出的BWCQR分為如下6個(gè)步驟：

2 數(shù)值分析

2.1 蒙特卡洛模擬

基于GARCH(1， 1)模型

利用蒙特卡洛數(shù)值模擬檢驗(yàn)本文所提BWCQR方法在有限樣本下相較QML，QR和CQR方法的穩(wěn)健性和有效性． 數(shù)值模擬模型參數(shù)選取如下：

(i) 分別考慮擾動(dòng)項(xiàng)序列ηt服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0， 1)，t(5)分布和t(3)分布；

(ii) 樣本容量分別取n=300，500，1 000和1 500進(jìn)行300次重復(fù)抽樣；

(iii) 復(fù)合分位數(shù)回歸模型中K值取5，9和19， QR估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)水平取0.3，0.5和0.7；

(iv) 本文采用估計(jì)量的偏差(Bias)、 標(biāo)準(zhǔn)差(SD)和均方誤差(MSE)作為估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．

表1 GARCH(1，1)模型的不同估計(jì)的比較，ηt～N(0， 1)

續(xù)表

表2 GARCH(1，1)模型的不同估計(jì)的比較，ηt～t(5)

表3 GARCH(1，1)模型的不同估計(jì)的比較，ηt～t(3)

分析結(jié)果得到：

(i) 無(wú)論擾動(dòng)序列的分布如何， 對(duì)任一估計(jì)， 隨著樣本量n的增大， MSE愈??；

(ii) 各類(lèi)復(fù)合分位數(shù)估計(jì)對(duì)K值的敏感程度不強(qiáng)；

(iii) 樣本規(guī)模n一定時(shí)，K越大， MSE越小， 也即K取19時(shí)各類(lèi)復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)最優(yōu)；

(iv) 當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布時(shí)， QMLE最優(yōu)；

(v) 當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從重尾分布時(shí)， 總體而言， BWCQR估計(jì)明顯優(yōu)于WCQR1， 略?xún)?yōu)于WCQR2， 且隨著K的增加BWCQR估計(jì)的競(jìng)爭(zhēng)力愈強(qiáng)．

2.2 實(shí)證分析

選取上證和滬深300股指作為研究對(duì)象， 實(shí)證區(qū)間為2015年1月5日至2021年5月11日， 共計(jì)1 544個(gè)樣本數(shù)據(jù)． 記pt為第t交易日的收盤(pán)價(jià)，rt為百倍對(duì)數(shù)收益率：rt=100×(lnpt-lnpt-1)．

表4給出rt序列的描述性統(tǒng)計(jì)分析值． 均值大于0， 說(shuō)明股指整體趨勢(shì)上行， 且序列不服從正態(tài)分布、 不獨(dú)立同分布． 綜上所述， 足以表明rt序列具有典型的高峰厚尾特征． Ljung-Box檢驗(yàn)Q統(tǒng)計(jì)量和ADF檢驗(yàn)表明序列具有明顯的長(zhǎng)記憶性且平穩(wěn)．

表4 股指收益率序列描述性統(tǒng)計(jì)信息

本文選用GARCH(1， 1)對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行建模分析， 采用向前一步滾動(dòng)窗口預(yù)測(cè)方法， 并將2015年1月5日至2020年1月23日作為初始滾動(dòng)窗口． 本文對(duì)rt分別采用QMLE， MLE-t和BWCQR19進(jìn)行擬合， 對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列的ARCH-LM檢驗(yàn)通過(guò)率列于表5． 表5結(jié)果符合數(shù)值模擬結(jié)論， BWCQR估計(jì)明顯優(yōu)于QMLE和MLE-t．

表5 標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列的ARCH-LM檢驗(yàn)通過(guò)率

進(jìn)一步， 上證指數(shù)全序列和滬深300股指全序列在BWCQR估計(jì)下的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列的自相關(guān)(ACF)圖和偏自相關(guān)(PACF)圖， 如圖1，2所示， 可見(jiàn)BWCQR估計(jì)下股指的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列是白噪聲序列， 這再次驗(yàn)證了BWCQR估計(jì)的優(yōu)良性．

圖1 BWCQR估計(jì)下上證股指標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列

圖2 BWCQR估計(jì)下滬深股指標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出了GARCH模型的BWCQR估計(jì)并探究其大樣本性質(zhì)． 數(shù)值模擬結(jié)果顯示： 當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)序列服從正態(tài)分布時(shí)， QML估計(jì)略?xún)?yōu)于BWCQR估計(jì)； 當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)序列服從厚尾分布時(shí)， BWCQR估計(jì)明顯優(yōu)于傳統(tǒng)估計(jì)． 我們將提出的BWCQR擬合分析上證和滬深股指波動(dòng)系統(tǒng)， 結(jié)果表明BWCQR估計(jì)能更為合理有效地刻畫(huà)股指時(shí)序的波動(dòng)規(guī)律．