劉思嘉，陳 力，曹銘津，周東雷，樊 源，陳 欣

（1. 東南大學(xué)爆炸安全防護(hù)教育部工程研究中心，江蘇 南京 211189；2. 解放軍93204 部隊(duì)，北京 100068）

起波鋼筋是通過(guò)冷加工方式將普通受拉縱筋局部彎折后形成波形凸起的鋼筋，最初是為了改善鋼筋混凝土（reinforced concrete，RC）結(jié)構(gòu)在地震荷載作用下的塑性鉸形成機(jī)制。最早先由馮鵬等提出，并將其應(yīng)用在RC 梁底部反彎點(diǎn)處，目的是使RC 梁構(gòu)件能在地震作用下先于柱構(gòu)件破壞，實(shí)現(xiàn)了“強(qiáng)柱弱梁”以及塑性鉸的轉(zhuǎn)移。楊建翔等則進(jìn)一步對(duì)采用起波配筋RC 梁柱子結(jié)構(gòu)的抗連續(xù)性倒塌性能進(jìn)行了研究。

起波鋼筋除了具有轉(zhuǎn)移RC 構(gòu)件塑性鉸的能力之外，其在受荷拉直的過(guò)程中具有極強(qiáng)的變形性能，如圖1 所示。因此，陳力等提出了在RC 梁底配置起波鋼筋來(lái)提高RC 梁抗爆性能，并基于能量法推導(dǎo)得到了起波配筋混凝土梁（reinforced concrete beam with kinked rebar，KRC）在爆炸荷載作用下的抗力動(dòng)力系數(shù)無(wú)量綱計(jì)算公式。陳力等進(jìn)一步的落錘沖擊氣囊加載試驗(yàn)工作也充分證明：起波配筋能夠增加梁塑性鉸數(shù)量和提高梁體變形吸能能力，并顯著提高RC梁的抗沖擊性能。

圖1 傳統(tǒng)鋼筋與起波鋼筋示意圖Fig. 1 Kinked rebar compared with traditional rebar

爆炸荷載是一種峰值高、歷時(shí)短的強(qiáng)動(dòng)載，爆炸荷載作用下的構(gòu)件會(huì)發(fā)生快速變形。鋼材、混凝土等材料均具有應(yīng)變率效應(yīng)，其強(qiáng)度、彈性模量等力學(xué)性能指標(biāo)均隨應(yīng)變率提高而增大。然而，起波鋼筋在爆炸荷載作用下的快速拉伸變形效應(yīng)顯然與普通平直鋼筋有顯著不同，KRC 梁現(xiàn)有的抗爆研究成果均由擬靜力試驗(yàn)、低速落錘沖擊試驗(yàn)和理論推導(dǎo)得出，對(duì)起波鋼筋的快速拉伸效應(yīng)缺少研究。

為進(jìn)一步研究KRC 梁在爆炸荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)，建立抗爆設(shè)計(jì)方法，對(duì)起波鋼筋的快速變形性能進(jìn)行研究十分必要。研究發(fā)現(xiàn)，起波縱筋在被拉直的過(guò)程中，其彎折角度會(huì)發(fā)生巨大變化，彎折點(diǎn)的內(nèi)外表面應(yīng)變和應(yīng)變率差別較大，且其拉伸變形機(jī)制與彎折點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)彎矩有較大關(guān)聯(lián)，盡管已有大量文獻(xiàn)給出了平直鋼筋的應(yīng)變率效應(yīng)計(jì)算公式，但是僅以平直鋼筋應(yīng)變率效應(yīng)公式來(lái)計(jì)算起波鋼筋的快速變形效應(yīng)誤差很大。

本文中將針對(duì)起波鋼筋高速動(dòng)態(tài)拉伸力學(xué)性能開(kāi)展實(shí)驗(yàn)和理論研究，提出起波鋼筋等效應(yīng)變率的概念，揭示起波鋼筋的拉伸變形作用機(jī)制，建立起波鋼筋等效應(yīng)變率與平直鋼筋應(yīng)變率之間的關(guān)系，并進(jìn)一步討論各種因素對(duì)起波鋼筋快速變形性能的影響規(guī)律?；诘刃?yīng)變率建立的起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度動(dòng)力放大系數(shù)（dynamic increase factors，DIF）模型，可為工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 抗拉變形作用機(jī)制

由于起波鋼筋經(jīng)過(guò)了局部預(yù)先彎折，其在拉直過(guò)程中的變形機(jī)制與普通平直鋼筋有很大不同。如圖2 所示，起波鋼筋在受力拉直過(guò)程中，鋼筋兩端沿軸心方向向外移動(dòng)，鋼筋的彎折截面位置將產(chǎn)生彎矩。

圖2 彎折位置受力示意圖Fig. 2 Forces at the bending position

為了降低成本，鋼筋起波通常采用冷加工，鋼筋彎折段會(huì)產(chǎn)生塑性損傷。在拉伸變形過(guò)程中，由鋼筋內(nèi)力產(chǎn)生的彎矩將會(huì)使彎折位置發(fā)生變形旋轉(zhuǎn)，而鋼筋的平直段彎矩很小。若將起波鋼筋整體視為一種單一材料，可以根據(jù)單軸拉伸試驗(yàn)得到起波鋼筋的等效應(yīng)力-等效伸長(zhǎng)率曲線（參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]中的圖，圖中的等效應(yīng)力為試驗(yàn)機(jī)拉力與鋼筋面積的比值，等效伸長(zhǎng)率為鋼筋伸長(zhǎng)量與拉伸計(jì)兩測(cè)點(diǎn)之間長(zhǎng)度的比值），則該曲線可以描述為“彈性段-平臺(tái)段-強(qiáng)化段-屈服段”四折線模型，如圖3 所示。因此當(dāng)拉伸力較小時(shí)，彎折位置彎矩較小，僅發(fā)生彈性變形，起波鋼筋整體處于彈性工作階段。隨著拉力不斷增大，彎折截面彎矩增大，根據(jù)經(jīng)典塑性力學(xué)理論，待彎折截面全部纖維進(jìn)入塑性后，彎折位置開(kāi)始發(fā)生塑性變形，起波鋼筋等效應(yīng)力-等效伸長(zhǎng)率曲線則由彈性段進(jìn)入平臺(tái)段。由此，本文中提出了起波鋼筋靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度計(jì)算方法，具體內(nèi)容見(jiàn)附錄。

圖3 起波鋼筋四折線模型Fig. 3 Four-line model of kinked rebar

起波鋼筋其實(shí)是一種微結(jié)構(gòu)，其拉伸變形機(jī)制與平直鋼筋不同，其拉伸力學(xué)性能受到起波形狀和鋼筋直徑的共同影響，很難用現(xiàn)有的平直鋼筋材料應(yīng)變率效應(yīng)公式來(lái)計(jì)算表征起波鋼筋的快速變形性能。起波鋼筋在受荷拉直過(guò)程中產(chǎn)生的快速變形效應(yīng)主要由彎折截面材料的應(yīng)變率效應(yīng)產(chǎn)生，由此本文中提出了起波鋼筋等效應(yīng)變率的概念，即將起波鋼筋整體視為一種等效材料，將鋼筋起波彎折位置截面的平均應(yīng)變速率定義為起波鋼筋等效應(yīng)變率。

2 等效應(yīng)變率計(jì)算方法

起波鋼筋端部沿軸向向外運(yùn)動(dòng)后，起波形狀變化示意圖如圖4 所示。如前所述，起波鋼筋在拉伸過(guò)程中，彎折位置發(fā)生變形旋轉(zhuǎn)，而鋼筋的其余平直段基本不發(fā)生彎曲變形，因此可以假設(shè)起波鋼筋在拉直過(guò)程中，其起波斜邊長(zhǎng)度不變，鋼筋端部每沿軸向拉伸運(yùn)動(dòng)d，其起波頂點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng)d，起波頂角α 也相應(yīng)增大dα，則d可表示為：

圖4 起波形狀變化示意圖Fig. 4 Diagram of the shape change of kink

由于起波矢高=+，且鋼筋直徑為常數(shù)，因此d=d。

3 沖擊拉伸試驗(yàn)

3.1 試件設(shè)計(jì)

起波鋼筋的沖擊拉伸試驗(yàn)選取防護(hù)工程中常用的直徑為18 mm 的HRB400 鋼筋，試件如圖5 所示。共設(shè)計(jì)了3 組（共計(jì)36 根）鋼筋試件，各組起波矢高分別為40、50、60 mm，每組12 根試件，其中每3 根對(duì)應(yīng)4 種不同的拉伸速度，分別為2.5、5、10、15 m/s，其主要參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 試驗(yàn)工況Table 1 Test parameters

圖5 起波鋼筋試件Fig. 5 Specimens of the kinked rebars

考慮到?jīng)_擊拉伸試驗(yàn)機(jī)最大拉力為100 kN 的限制，為保護(hù)試驗(yàn)機(jī)，需對(duì)鋼筋兩端進(jìn)一步加工，減小鋼筋截面面積。本次試驗(yàn)對(duì)鋼筋的兩端進(jìn)行切削和打磨，制成直徑10 mm 的細(xì)螺紋鋼。由鋼筋屈服強(qiáng)度為400 MPa、極限強(qiáng)度為590 MPa，計(jì)算得到屈服拉力為31.4 kN、極限抗拉力為46.315 kN，符合拉伸試驗(yàn)機(jī)的使用要求。

考慮到起波矢高的影響，參考附錄中確定彈性極限強(qiáng)度的方法，代入圖5 中的試件設(shè)計(jì)參數(shù)，計(jì)算得到起波鋼筋的靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度σ 與抗拉力，見(jiàn)表2。結(jié)果表明，起波鋼筋的彈性極限抗拉能力均小于螺紋處10 mm 直筋的極限抗拉力，考慮到鋼筋的應(yīng)變率效應(yīng)，在動(dòng)態(tài)拉伸條件下，此試件設(shè)計(jì)方案能夠測(cè)得起波鋼筋彈性極限拉力。

表2 起波鋼筋的靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度和抗拉極限Table 2 Elastic ultimate strength and tensile capacity of the kinked rebar under static loading

3.2 加載系統(tǒng)

使用的INSTRON 高速動(dòng)力沖擊加載系統(tǒng)對(duì)起波鋼筋進(jìn)行高速拉伸試驗(yàn)。該加載系統(tǒng)采用先進(jìn)的液壓控制技術(shù)，可對(duì)試件以恒定速度進(jìn)行沖擊拉伸或壓縮，加載速度0.1～20 m/s、荷載量程0～100 kN。圖6(a)為試驗(yàn)裝置整體布置，圖6(b)為試驗(yàn)加載方案。

圖6 試驗(yàn)加載系統(tǒng)Fig. 6 Loading system

使用加速等待裝置確保作動(dòng)器達(dá)到穩(wěn)定的預(yù)期速度，加速等待裝置由純鋼套筒和實(shí)心桿組成（見(jiàn)圖7），實(shí)心桿允許在套筒中自由滑行一段距離。試件安裝時(shí)，分別將套筒與作動(dòng)器連接，鋼筋通過(guò)螺栓與實(shí)心桿連接。在鋼筋拉伸初期，套筒隨作動(dòng)器先于實(shí)心桿加速至預(yù)期速度，當(dāng)實(shí)心桿達(dá)到滑行距離極限（套筒底部）后，套筒牽拉實(shí)心桿和鋼筋按預(yù)期拉伸速度進(jìn)行加載。此方法可以有效保證鋼筋的拉伸速度穩(wěn)定。

圖7 加速等待裝置Fig. 7 Accelerated holding device

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

4.1 彈性極限強(qiáng)度

圖8 為各組起波鋼筋在各拉伸速度下的等效應(yīng)力-等效伸長(zhǎng)率散點(diǎn)圖，其中等效應(yīng)力由試驗(yàn)機(jī)測(cè)得的拉力除以鋼筋截面面積得到，等效伸長(zhǎng)率由伸長(zhǎng)量除以鋼筋原始標(biāo)距得到。

圖8 各組起波鋼筋等效應(yīng)力-等效伸長(zhǎng)率曲線Fig. 8 Equivalent stress-equivalent elongation curves of each group

如前所述，靜態(tài)拉伸情況下起波鋼筋的等效應(yīng)力-等效伸長(zhǎng)率曲線可描述成“彈性段-平臺(tái)段-強(qiáng)化段-屈服段”四折線模型。而在動(dòng)態(tài)拉伸條件下，根據(jù)觀察到的各組散點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以初步判斷高速拉伸時(shí)也可以用類似的模型來(lái)描述：等效應(yīng)力較小時(shí)，鋼筋彎折位置截面發(fā)生彈性應(yīng)變，且彈性段強(qiáng)度較低；待彎折位置截面產(chǎn)生塑性應(yīng)變后，起波鋼筋開(kāi)始發(fā)生大變形，以較小的強(qiáng)度進(jìn)入平臺(tái)拉直段。相對(duì)于文獻(xiàn)中的四階段模型，本試驗(yàn)的拉直段平臺(tái)現(xiàn)象并不明顯，且具有強(qiáng)化的趨勢(shì)，這主要是由于相對(duì)于靜載試驗(yàn)，沖擊拉伸試驗(yàn)所用鋼筋直徑較大所致。由于試驗(yàn)機(jī)最大拉力的限制，各組起波鋼筋拉伸過(guò)程只能最多量測(cè)到平臺(tái)拉直段，并不能量測(cè)試件拉直后（強(qiáng)化段-屈服段）甚至拉斷的整個(gè)過(guò)程。

對(duì)各組散點(diǎn)圖中處于兩個(gè)不同階段的散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，兩段不同斜率直線的連接點(diǎn)對(duì)應(yīng)的等效應(yīng)力值即為起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度。而彈性極限強(qiáng)度作為曲線的第1 個(gè)特征點(diǎn)，此后應(yīng)力沿“平臺(tái)-強(qiáng)化-屈服段”折線呈上升趨勢(shì)。若能定量地確定各因素對(duì)彈性極限強(qiáng)度的影響，則可揭示各因素對(duì)起波鋼筋整個(gè)動(dòng)態(tài)抗拉性能的影響規(guī)律。表3 為提取出的各組起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度，以下討論各因素對(duì)彈性極限強(qiáng)度的影響。

表3 各組起波鋼筋的彈性極限強(qiáng)度Table 3 Elastic ultimate strengths of the kinked rebars

4.2 拉伸速度

由表3 中數(shù)據(jù)可知，在起波矢高相同的情況下，起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度明顯隨拉伸速度的增大而增大。當(dāng)起波矢高=40 mm 時(shí)，隨著拉伸速度的增大，彈性極限強(qiáng)度由127.66 MPa 增大至255.40 MPa，增大了1 倍；當(dāng)起波矢高=50 mm 時(shí)，隨著拉伸速度的增大，彈性極限強(qiáng)度由92.49 MPa 增大至261.14 MPa，增大了1.82 倍；當(dāng)起波矢高=60 mm 時(shí)，隨著拉伸速度的增大，彈性極限強(qiáng)度由71.99 MPa 增大至175.61 MPa，增大了1.44 倍?？梢园l(fā)現(xiàn)，起波鋼筋在快速變形的情況下存在明顯的應(yīng)變率效應(yīng)。

4.3 起波矢高

由式（8）可知，在相同的拉伸速度下，起波矢高不同時(shí)，起波鋼筋的等效應(yīng)變率也不同，因此，起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度同時(shí)也受到起波矢高的影響。

若將起波鋼筋結(jié)構(gòu)整體視為一種材料，則可通過(guò)起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度DIF（動(dòng)態(tài)拉伸條件下起波鋼筋的彈性極限強(qiáng)度與靜態(tài)拉伸下彈性極限強(qiáng)度的比值）來(lái)定量描述其動(dòng)態(tài)拉伸力學(xué)性能。然而，其快速拉伸變形的力學(xué)效應(yīng)受到起波矢高、鋼筋直徑和拉伸速度的共同影響，單獨(dú)以起波鋼筋的等效工程應(yīng)變率來(lái)描述其應(yīng)變率增強(qiáng)效應(yīng)是不全面的，而以等效應(yīng)變率作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)則可以避免等效工程應(yīng)變率的不足?？紤]到當(dāng)拉伸加載時(shí)為靜態(tài)，DIF 必為1，同時(shí)參考Johnson-Cook 材料本構(gòu)模型中考慮應(yīng)變率效應(yīng)的因式 ( 1+ln ε˙) 的自然對(duì)數(shù)形式，可假設(shè)彈性極限強(qiáng)度DIF 隨等效應(yīng)變率的變化規(guī)律為：

由圖9 中的曲線可以看出，在等效應(yīng)變率為0～99.76 s的范圍內(nèi)，彈性極限強(qiáng)度DIF 隨著起波矢高的增大而增大；但當(dāng)?shù)刃?yīng)變率增大至一定值后（99.76 s），起波矢高為50 mm 時(shí)DIF 最大。分析可以發(fā)現(xiàn)，彈性極限強(qiáng)度DIF 受起波矢高的影響有兩方面的趨勢(shì)：一方面為靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度，根據(jù)附錄中確定靜態(tài)極限強(qiáng)度的方法，當(dāng)動(dòng)態(tài)彈性極限強(qiáng)度σ相同時(shí)，隨著起波矢高的增大，靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度減小，DIF 相應(yīng)增大，DIF 與起波矢高呈正相關(guān)；另一方面為等效應(yīng)變率，根據(jù)式(8)，相同拉伸速度下，隨著起波矢高的增大，等效應(yīng)變率減小，對(duì)于同種材料而言，DIF 相應(yīng)減小，DIF 與起波矢高呈負(fù)相關(guān)。

圖9 起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度DIF-等效應(yīng)變率曲線Fig. 9 DIF-equivalent strain rate curves of the kinked rebars

彈性極限強(qiáng)度DIF 受以上兩種因素（一種正相關(guān)因素，一種負(fù)相關(guān)因素）的共同影響，當(dāng)?shù)刃?yīng)變率較小時(shí)，正相關(guān)因素起主要作用，此時(shí)DIF 隨起波矢高的增大而增大。待等效應(yīng)變率達(dá)到一定值后，負(fù)相關(guān)因素起主要作用，起波矢高60 mm 的DIF 反而小于起波矢高50 mm 的DIF。由此存在一個(gè)最優(yōu)起波設(shè)計(jì)矢高，使得在高應(yīng)變率下（本次試驗(yàn)大于99.76 s）起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度DIF 達(dá)到最大。

4.4 彈性極限強(qiáng)度DIF 計(jì)算模型

由上述分析可知，在構(gòu)建起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度DIF 計(jì)算模型時(shí)，需考慮DIF 受到等效應(yīng)變率和靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度兩種因素的共同影響。根據(jù)附錄和式(8)可知，這兩種因素又與起波矢高相關(guān)，因此可將DIF 計(jì)算模型中的變量、與起波矢高建立擬合關(guān)系，從而體現(xiàn)DIF 受到等效應(yīng)變率和靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度兩種因素的共同影響。提取出的、值如表4 所示，擬合結(jié)果如下：

表4 三組DIF 擬合公式中的 a 、 b 值Table 4 Values of a and b of the three groups of the kinked rebars

綜上所述，若已知起波矢高和等效工程應(yīng)變率的具體數(shù)值，由式(12)可得到起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度的DIF 值，彈性段極限強(qiáng)度即可確定。

5 結(jié) 論

通過(guò)理論分析與動(dòng)態(tài)拉伸試驗(yàn)相結(jié)合的方法，研究了起波鋼筋的高速拉伸動(dòng)力性能，揭示了起波鋼筋快速拉伸變形機(jī)理，確定了起波鋼筋靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度計(jì)算方法，并由此建立了起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度DIF 計(jì)算模型，可為進(jìn)一步推動(dòng)起波配筋技術(shù)在防護(hù)工程上的應(yīng)用提供理論依據(jù)。主要結(jié)論有：

（1） 高速拉伸條件下，起波鋼筋的動(dòng)態(tài)變形機(jī)制與靜態(tài)拉伸情況相似，彎折截面的屈服狀態(tài)決定了起波鋼筋的彈性極限拉伸強(qiáng)度；

（2） 起波鋼筋快速變形情況下的力學(xué)性能存在應(yīng)變率效應(yīng)，其彈性極限強(qiáng)度隨拉伸速度的增大而顯著提高，本文中提出的等效應(yīng)變率可以較好地描述起波鋼筋的應(yīng)變率效應(yīng)；

（3） 起波矢高對(duì)起波鋼筋彈性抗拉極限強(qiáng)度DIF 有增大和減小的雙重影響，在高應(yīng)變率情況下存在一最優(yōu)起波矢高，使得起波鋼筋彈性抗拉極限強(qiáng)度DIF 最大。

從附錄中確定起波鋼筋靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度計(jì)算方法可知，起波鋼筋靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度除了與起波矢高有關(guān)，與起波間距之間也有一定的關(guān)系。本文中僅討論了起波矢高對(duì)起波鋼筋彈性極限強(qiáng)度DIF 的影響，下一步工作將通過(guò)試驗(yàn)研究進(jìn)一步考慮起波間距的影響。

圖10 中給出了起波鋼筋從開(kāi)始受力到彎折位置開(kāi)始發(fā)生塑性變形的整個(gè)過(guò)程。起波鋼筋為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，取一半進(jìn)行受力分析，由于在彎折位置發(fā)生塑性變形之前整個(gè)鋼筋形狀并不發(fā)生改變，因此起波頂角截面處邊界按固支邊界處理，如圖10(a)所示。起波鋼筋端部在受到軸力之后，起波處的各個(gè)截面都受到彎矩與軸力的共同作用。各個(gè)截面受到的軸力相同但起波頂角處截面所受的彎矩最大，因此在整個(gè)彎折位置發(fā)生塑性變形之前，起波頂角處截面首先成為第1 個(gè)塑性鉸，進(jìn)入全截面屈服，如圖10(b)所示。

圖10 起波鋼筋發(fā)生塑性變形過(guò)程Fig. 10 The plastic deformation process

由圖解法，如圖11 所示，綠色曲線為式(17)代表的軸力與彎矩共同作用的極限狀態(tài)方程，黑色曲線為式(18)代表的加載方程，兩條曲線交點(diǎn)的、值即為起波頂角處截面成為第1 個(gè)塑性鉸時(shí)的彎矩與軸力值。但此時(shí)求得的名義應(yīng)力并非起波鋼筋的彈性極限強(qiáng)度。如圖10(c)所示，在起波頂角處截面成為第1 個(gè)塑性鉸之后，鋼筋端部有向上翹曲的趨勢(shì)，由于端部受拉伸儀器夾具限制，其彎折部分還不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)變形，此時(shí)夾具將會(huì)對(duì)端部有一個(gè)向下的支持力，的出現(xiàn)將導(dǎo)致起波底角處截面成為第2 個(gè)塑性鉸。只有在出現(xiàn)第2 個(gè)塑性鉸后，彎折部分才能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)變形，即由第2 個(gè)塑性鉸出現(xiàn)時(shí)刻所求得的名義應(yīng)力為起波鋼筋的彈性極限強(qiáng)度。

圖11 第2 個(gè)塑性鉸出現(xiàn)后起波鋼筋的受力分析Fig. 11 Force analysis of the steel bar after the second plastic hinge appears

如圖12 所示，取出從起波底角至端部長(zhǎng)度的平直段鋼筋進(jìn)行受力分析，設(shè)出現(xiàn)支持力之后軸力為，起波底角處截面彎矩為，起波頂角處截面彎矩為，可得到以下關(guān)系式：

圖12 端部支持力出現(xiàn)后起波鋼筋受力分析Fig. 12 Force analysis after the occurrence of end support force

式中：為鋼筋標(biāo)距，為起波間距。

聯(lián)立式(19)～(20)，消去以及歸一化之后，得到下式：

再由圖解法，如圖12 所示，綠色曲線為式(17)代表的軸力與彎矩共同作用的極限狀態(tài)方程，紅色曲線為式(22)代表的底角處截面加載方程，由兩條曲線求得交點(diǎn)為點(diǎn)(,)。在起波底角處截面由純受軸力狀態(tài)向受軸力、彎矩共同作用狀態(tài)轉(zhuǎn)變過(guò)程中（即圖12 中由點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)），對(duì)于起波頂角處的截面，由于的出現(xiàn)，該處截面的軸力與彎矩的比例關(guān)系也發(fā)生改變，但頂角截面仍維持塑性極限狀態(tài)，其在圖12 中的代表點(diǎn)同時(shí)移動(dòng)至點(diǎn)。

因此經(jīng)上述分析，圖12 中的點(diǎn)()即為起波鋼筋靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度點(diǎn)，由求得的名義應(yīng)力：

式中：σ為鋼筋屈服強(qiáng)度。

式(23) 即為起波鋼筋的靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度。由此方法計(jì)算得到文獻(xiàn)[1]中各種起波鋼筋試件的靜態(tài)極限強(qiáng)度，并與文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果如表5 所示。因試件F10-60 彈性極限強(qiáng)度試驗(yàn)值與理論計(jì)算值的誤差與其他試件相比出入很大，且該試驗(yàn)值并不滿足彈性極限強(qiáng)度受起波間距的影響規(guī)律，將該數(shù)據(jù)剔除。

從表5 可知，理論值與試驗(yàn)值誤差范圍為9.6%～31.3%，原因在于式(22)中的σ是鋼筋屈服強(qiáng)度。起波鋼筋在預(yù)制過(guò)程中起波頂角處截面中性軸以上的纖維受到拉力作用，中性軸以下的纖維受到壓力作用，并且都是加載到一定程度產(chǎn)生塑性變形之后卸載形成預(yù)制起波形狀。之后，在受到軸力作用時(shí)，起波鋼筋受荷拉直相當(dāng)于反向加載的過(guò)程，此時(shí)起波頂角處截面中性軸以上的纖維受到壓力作用，中性軸以下的纖維則受到拉力作用（同理，起波底角處截面也是反向加載）。在“加載-卸載-反向加載”的過(guò)程中，鋼筋材料存在包辛格效應(yīng)，即反向的屈服應(yīng)力的絕對(duì)值比初始屈服應(yīng)力小。

因此，考慮到鋼筋材料的包辛格效應(yīng)，需要對(duì)鋼筋屈服強(qiáng)度進(jìn)行一定的折減，本文中取σ=0.8σ。修正后的強(qiáng)度和誤差見(jiàn)表5，從表5 可知，試件F10-45 誤差最大，為37%，這是由于計(jì)算得到的理論值比試驗(yàn)值小，實(shí)際上，由于鋼材的包辛格效應(yīng)，計(jì)算得到的理論值應(yīng)比試驗(yàn)值大，所以本數(shù)據(jù)的測(cè)試結(jié)果存疑，可以剔除。而修正后其余試件的靜態(tài)屈服強(qiáng)度誤差均在2.4%～14.1%之間。因此取0.8 的折減系數(shù)可以較好地考慮鋼材包辛格效應(yīng)的影響。修正后的起波鋼筋靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度計(jì)算公式為：

表5 起波鋼筋靜態(tài)彈性極限強(qiáng)度理論值與試驗(yàn)值對(duì)比Table 5 Comparison between the theoretical and experimental values of the static elastic ultimate strength