郭源源

摘? ? 要：初中數(shù)學(xué)更加注重知識的整體性和一致性，需要由點串線、由線鋪面，形成知識的結(jié)構(gòu)和體系，這就要求學(xué)生必須深入理解數(shù)學(xué)概念.而重邏輯、重思維、重關(guān)聯(lián)的概念教學(xué)，雖是提升學(xué)生數(shù)學(xué)理解的有效途徑，卻受制于學(xué)生的知識水平以及思維能力.因此，教師必須對不同學(xué)段的課標(biāo)、不同版本的教材進(jìn)行對比，緊扣相同課程領(lǐng)域內(nèi)不同知識之間的邏輯關(guān)系和層級關(guān)系，以及知識結(jié)構(gòu)之間的實質(zhì)性聯(lián)系，從關(guān)聯(lián)知識、關(guān)聯(lián)方法、關(guān)聯(lián)經(jīng)驗、關(guān)聯(lián)思維等視角，通過逐級升階的問題串，引導(dǎo)學(xué)生去理解概念，達(dá)成概念的內(nèi)化.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);概念教學(xué);知識關(guān)聯(lián);思維可視.

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的奠基石，是反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維形式，是形成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系的基本要素，其中蘊含著豐富的教育素材.李邦河院士說：“數(shù)學(xué)玩的是概念，而不是純粹的技巧.”在概念教學(xué)中，教師要注重梳理概念的來龍去脈，以便讓學(xué)生不僅能掌握概念的表征，還能理解概念的生成過程和應(yīng)用形式，既獲得知識寬度，又習(xí)得思維深度，避免所謂的“概念不牢，地動山搖”現(xiàn)象.就概念而言，越是基礎(chǔ)性的概念，其統(tǒng)攝性就越強，應(yīng)用范圍也越廣，學(xué)生從中領(lǐng)悟到的數(shù)學(xué)就越本質(zhì).但在實際教學(xué)中，概念課往往比較沉悶，教師講得乏味，學(xué)生學(xué)得無趣，追求“記得就行”.因此，如何順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，貼合學(xué)段的思維特點，實現(xiàn)目標(biāo)的高效達(dá)成，是教師設(shè)計概念課時需要思考和關(guān)注的問題.以下是筆者對人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》七年級上冊“直線、射線、線段”概念課的思考和設(shè)計，供同行參考、交流.

一、對比分析

（一）課標(biāo)學(xué)段對比分析

關(guān)于這三種線的認(rèn)識，初中學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)有了一定的認(rèn)知基礎(chǔ).

在第二學(xué)段（4～6年級），《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）對這部分知識的要求是：“（1）結(jié)合實例了解直線、射線、線段;（2）體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離.”

在第三學(xué)段（7～9年級），《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求是：“（1）會比較線段的長短，理解線段的和、差以及線段中點的意義;（2）掌握基本事實：兩點確定一條直線;（3）掌握基本事實：兩點之間線段最短;（4）理解兩點間距離的意義，能度量兩點間的距離.”

將這兩種要求進(jìn)行對比，可發(fā)現(xiàn)兩個學(xué)段的知識呈現(xiàn)看似重復(fù)，目標(biāo)要求卻是螺旋上升的.小學(xué)學(xué)段的思維特點以感性認(rèn)識為主，只需能從具體例子中認(rèn)識線段、射線、直線，知道它們的表示方法，結(jié)合圖形能說出它們各自在端點、延伸性、度量方面的特點，要求只停留在直觀經(jīng)驗層次.而初中階段要求從“了解、知道”上升到“理解、掌握”，從感性到理性，從具體到抽象.所以七年級該課時的目標(biāo)應(yīng)是概念屬性深化的教學(xué)[1].

（二）不同教材對比分析

為了更好地設(shè)計教學(xué)，厘清知識點之間的邏輯關(guān)系，筆者對人教版、蘇科版、北師大版教材作了對比研究.“直線、射線、線段”是后續(xù)復(fù)雜幾何圖形的基礎(chǔ)，是初中幾何的入門，所以各版本教材都排在了七年級上冊，且內(nèi)容都涵蓋“三線的表示方法、兩個基本事實、線段大小和中點”等，但在內(nèi)容的編排順序、表述方法、知識關(guān)聯(lián)上存在著一定的差異，見表1.這是對比研究的重點，教師可從這些差異點上深入理解教學(xué)內(nèi)容，突破教學(xué)難點.

從表1可以看出，三版教材各有特點：人教版從“直線”開始，研究直線是繼而研究射線和線段的前提;蘇科版從“兩點之間線段最短”開始，從學(xué)生熟悉的經(jīng)驗出發(fā)，將這節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)系和拓展;北師大版延續(xù)了小學(xué)的路線，從生活中的例子入手，三線并列呈現(xiàn)，注重概念之間的比較.

二、問題思考

在以上對比中，筆者發(fā)現(xiàn)該節(jié)內(nèi)容中的概念特別煩瑣，知識關(guān)聯(lián)路線不明顯.此外，在實際教學(xué)中，大多數(shù)教師的教學(xué)設(shè)計也出入較大.因此，筆者針對這些問題，結(jié)合初中的目標(biāo)定位作了如下幾點思考.

（一）教學(xué)重點是什么

對于小學(xué)有過經(jīng)驗的知識板塊，初中教師在教學(xué)時，不僅要對初中內(nèi)容進(jìn)行全面的解讀，也要對小學(xué)的已有知識有一定的了解，這樣才能更加精準(zhǔn)地定位教學(xué)的重難點.有的教師將該課時的重點放在了直線、射線、線段的區(qū)別上，從端點、延伸性、度量情況去梳理各自的特點，或者將重點放在表示方法上.這些內(nèi)容人教版、蘇科版、北師大版在小學(xué)四年級都已全部編排過，初中教學(xué)的重點不應(yīng)是純粹的回憶和重復(fù).根據(jù)小學(xué)重直觀、重實例、重形象，初中重操作、重探究、重推理的課標(biāo)解讀，筆者認(rèn)為該課時的重點應(yīng)放在挖掘其內(nèi)在的“理”，以實現(xiàn)對三線的再認(rèn)識上，具體包括：（1）對表示方法中用兩個大寫字母的再認(rèn)識;（2）對“確定”一詞的再認(rèn)識;（3）對三線關(guān)系的再認(rèn)識;（4）對幾何概念課研究方法的再認(rèn)識.

（二）邏輯節(jié)點在哪里

小學(xué)的三線學(xué)習(xí)都是基于直觀，沒有邏輯關(guān)系，更多的是一種識記層面上的學(xué)習(xí)，所以它們的順序也就無足輕重.但是初中幾何是重推理的，該塊知識與前者最大的不同在于抽象出了一條基本事實“兩點確定一條直線”.而有了這條基本事實，就使得直線用兩個大寫字母表示有了一定的邏輯基礎(chǔ).這涉及對“點在直線上”的認(rèn)識：從“點”的類型來看，研究點與直線的位置關(guān)系就有了邏輯基礎(chǔ);從“直線”的整體來看，直線可以被點分割成幾個部分，于是產(chǎn)生了直線的下屬概念——射線、線段，使研究射線和線段有了邏輯基礎(chǔ)，其表示方法也是基于直線的決定要素.教師只有掌握了這樣的邏輯體系，才能對三線的概念有更精準(zhǔn)、更深刻的理解，教學(xué)設(shè)計的線路才會更清晰.

（三）知識關(guān)聯(lián)有何用

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的生長點和延伸點，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系.”由此可知，初中數(shù)學(xué)更加注重知識的整體性和一致性，需要由點串線、由線鋪面，形成知識的結(jié)構(gòu)和體系.再看直線、射線、線段的內(nèi)容：從縱向看，是與小學(xué)已有認(rèn)知經(jīng)驗的上下關(guān)聯(lián);從橫向看，是與后續(xù)幾何概念的左右關(guān)聯(lián).向上關(guān)聯(lián)，尋根溯源;向下關(guān)聯(lián)，不斷深化.如此左顧右盼，建構(gòu)體系，最終就可形成邏輯連貫、一以貫之的概念教學(xué)套路.筆者認(rèn)為對于概念教學(xué)，教師應(yīng)有更高的立意，要緊扣相同課程領(lǐng)域內(nèi)不同知識之間的邏輯關(guān)系和層級關(guān)系，以及知識結(jié)構(gòu)之間的實質(zhì)性聯(lián)系，從關(guān)聯(lián)知識、關(guān)聯(lián)方法、關(guān)聯(lián)經(jīng)驗、關(guān)聯(lián)思維等視角去理解概念.

三、教學(xué)設(shè)計

基于三版教材的對比分析，結(jié)合上述的問題思考，筆者經(jīng)適當(dāng)?shù)捻樞蛘{(diào)整，巧設(shè)追問，形成了這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計.

（一）回顧舊知，關(guān)聯(lián)經(jīng)驗

問題1? ?觀察直線、射線、線段圖形（圖略），將它們分類并說說特征.

[師生活動]學(xué)生按直線、射線、線段將各圖形分類，并回顧各圖形在端點、延伸性、度量方面的特征.

追問：這些圖形在小學(xué)都學(xué)過，同學(xué)們試著結(jié)合上一章對點、線、面的認(rèn)識，談?wù)劤踔袔缀螆D形的學(xué)習(xí)需要研究哪些問題？

[師生活動]回顧上一章，學(xué)生說出：點動成線，線可以看成由無數(shù)個點組成.教師逐步引導(dǎo)，使學(xué)生提出問題：研究點與點、點與線、線與線的關(guān)系.然后基于問題，引出課題——再探“直線、射線、線段”.

設(shè)計意圖：基于小學(xué)的圖形特征設(shè)計問題，讓學(xué)生在回顧舊知的基礎(chǔ)上，順利地結(jié)合上一章的認(rèn)知經(jīng)驗，提出新的研究問題——“用點刻畫線”，明確這節(jié)課的研究方向.

（二）注重對比，關(guān)聯(lián)思維

問題2? ?點是構(gòu)成圖形的最基本元素，直線可以看成由無數(shù)個點組成的圖形，所以要得到一條直線的位置，理論上需要知道這無數(shù)個點的位置.同學(xué)們想想，能簡化決定直線的點的個數(shù)嗎？在學(xué)習(xí)單上畫畫看.

追問1：過一個點畫直線，能畫多少條？過兩個點畫直線，能畫多少條？同時過三個點（學(xué)習(xí)單上的三點不共線）畫直線，能畫多少條？

[師生活動]學(xué)生在學(xué)習(xí)單上過一個點畫出無數(shù)條直線，過兩個點畫出一條直線，同時過三個點（三點不共線）無法畫出直線.

追問2：“過兩個點畫直線”相比“同時過三點畫直線”有何不同？

追問3：“過兩個點畫直線”相比“過一點畫直線”又有何不同？

追問4：結(jié)合上述活動，說說你的發(fā)現(xiàn).

[師生活動]學(xué)生在追問2的對比中得到“有”和“沒有”的不同，體現(xiàn)存在性.在追問3的對比中得到“只有一條”和“有無數(shù)條”的不同，體現(xiàn)唯一性.在追問4中兼顧“兩個不同”的特征，提煉出：經(jīng)過兩點“有且只有一條”直線的基本事實，并用“確定”一詞簡述成句.

追問5：生活中有哪些實例可以用這條基本事實來解釋呢？

[師生活動]學(xué)生舉出可用這條基本事實解釋的生活實例.

設(shè)計意圖：先讓學(xué)生操作畫圖，變抽象為形象，便于學(xué)生理解相關(guān)知識.然后讓學(xué)生借助不同情形的比對，挖掘“確定”一詞的內(nèi)涵，凸顯“有”和“只有一條”的特征.這樣就同時體現(xiàn)了存在性和唯一性，能順利引導(dǎo)學(xué)生突破知識難點，并為后面學(xué)習(xí)表示方法打下邏輯基礎(chǔ).

（三）邏輯可視，關(guān)聯(lián)概念

問題3? ?小學(xué)學(xué)過直線的表示方法，如直線AB，你知道為什么用兩個大寫字母表示直線嗎？

[師生活動]教師引導(dǎo)學(xué)生用“兩點確定一條直線”解釋，使其對表示方法的認(rèn)識從識記層次上升到理解層次.

追問1：對于直線AB，從“點”看，點除了在直線上，還有別的情形嗎？自主探究點與直線的位置關(guān)系.

追問2：對于直線AB，從“線”看，直線被A、B兩點分割成了幾個部分，這樣又產(chǎn)生了哪些圖形？

追問3：借助直線的經(jīng)驗，說說決定射線、線段的條件是什么？怎樣用字母表示它們？為什么這樣表示？

追問4：如何認(rèn)識射線、線段與直線的關(guān)系？

[師生活動]對追問1，學(xué)生探究點與直線的兩種位置關(guān)系，并在教師的引導(dǎo)下學(xué)會用語言準(zhǔn)確表述這種關(guān)系.對追問2，學(xué)生從直線分割的角度理解射線、線段，并給出它們的定義.對追問3和追問4，教師引導(dǎo)學(xué)生分析梳理、關(guān)聯(lián)比較，形成新的認(rèn)識.

設(shè)計意圖：從直線的基本事實出發(fā)，著眼“點”和“線”兩個維度分析，分別指向點線位置關(guān)系和三線從屬關(guān)系的研究.整個環(huán)節(jié)都是基于邏輯和直觀設(shè)計的，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立概念體系，并最終完成對三線的再認(rèn)識.

（四）問題辨析，關(guān)聯(lián)方法

例1? ?已知直線l上有A、B、C三個點（圖略）.

（1）判斷下列說法是否正確：①線段AB與線段AC是同一條線段;②射線AC與射線BC是同一條射線;③射線BA與射線BC是同一條射線;④射線AB與射線AC是同一條射線;⑤線段AB與射線AB都是直線AB的一部分.

（2）圖中線段有幾條？射線有幾條？直線有幾條？

例2? ?畫圖與識圖.

（1）按要求畫圖：直線l經(jīng)過A、B兩點，點D不在直線l上，經(jīng)過點D的直線a與直線l相交于點C，作線段AD和射線DB（圖略）.

（2）寫出圖中能表示的直線、射線、線段，并用適當(dāng)?shù)恼Z句表述圖中點與直線、射線、線段的位置關(guān)系.

設(shè)計意圖：例1是通過對圖形“同一條”的理解，凸顯直線、射線、線段的決定條件，強化對概念表示方法和彼此關(guān)聯(lián)的理解.例2的讀句畫圖和識圖說句，分別從兩個方向訓(xùn)練學(xué)生幾何文字語言、符號語言、圖形語言之間的轉(zhuǎn)化能力，目的是提升學(xué)生數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確性和規(guī)范性.

（五）基于概念，關(guān)聯(lián)認(rèn)識

問題4? ?生活中除了有“直”的線，還有“彎”的線.如圖1所示，從A地到B地有3條路，走哪一條路較近？

追問1：從A地到B地能否修一條最短的路？如果能，在圖中畫出最短路線.

追問2：從A地到B地有幾條這樣的最短路線，為什么？

追問3：結(jié)合上述活動，說說你的發(fā)現(xiàn).

[師生活動]對追問1，學(xué)生畫出最短路線——線段AB.對追問2，學(xué)生思考“最短路線只有一條”的背后道理，并在教師引導(dǎo)下說出理由：因為兩點確定一條直線，直線唯一，所以兩點之間的部分就唯一，即線段AB唯一.對追問3，學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗，提煉出基本事實：兩點之間線段最短.

設(shè)計意圖：將此條基本事實后置，理由有三.首先，它與前面三線的概念、表示方法等主要內(nèi)容關(guān)聯(lián)不大.其次，它必須基于“兩點確定一條直線”的邏輯展開，因為若不能解釋兩點間線段唯一的問題，何來線段“最短”一詞？所以追問2對學(xué)生厘清邏輯關(guān)系、理解基本事實是有幫助的.最后，此條基本事實涉及線的大小比較，放在最后，為下一課時的研究，既作鋪墊，也指方向.

（六）反思小結(jié)，關(guān)聯(lián)方向

問題5? ?學(xué)習(xí)了這節(jié)課之后，同學(xué)們注意思考下列問題.

（1）這節(jié)課你收獲了哪些知識？經(jīng)歷了怎樣的研究路徑？感悟了哪些思想方法？

（2）在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，你還想繼續(xù)研究什么內(nèi)容？你要如何研究？

設(shè)計意圖：從知識內(nèi)容、研究路徑、思想方法三個層面對這節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生不僅能夠關(guān)注到三線知識，還能體會到幾何的研究路徑，并能初步感悟到一些常用的數(shù)學(xué)思想方法.在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生展望后續(xù)的學(xué)習(xí)，并從知識關(guān)聯(lián)、方法關(guān)聯(lián)、路徑關(guān)聯(lián)等方面為后面的圖形學(xué)習(xí)提供路線，讓幾何學(xué)習(xí)有結(jié)構(gòu)有體系.這正是幾何起始課的價值所在.

四、小結(jié)

這節(jié)課是基于學(xué)生已有的認(rèn)知水平設(shè)計的，從構(gòu)成圖形的基本元素點、線出發(fā)，研究了點和直線的種種聯(lián)系，得到了確定直線的條件，并在這一邏輯基礎(chǔ)上認(rèn)識了射線和線段.第一課時總體來說以定性把握為主，展望后續(xù)的教學(xué)，需要對線段與線段的關(guān)系、射線與射線的關(guān)系、直線與直線的關(guān)系進(jìn)行定量研究.第二課時中，線段與線段之間的大小比較的教學(xué)，可以將上述問題4中“把彎曲的線拉直比較大小”作為情境引入，然后過渡到疊合法和度量法的定量研究;角的概念教學(xué)可以從射線與射線的關(guān)系（組成角）引入，研究“角的定義—角的表示方法—角的大小比較與運算”，研究方法一脈相承.平行和垂直是直線與直線關(guān)系的展開，教學(xué)中研究位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，亦是定性到定量的體現(xiàn)[2].

筆者認(rèn)為，重邏輯、重思維、重關(guān)聯(lián)的概念教學(xué)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)理解的有效途徑.概念課的教學(xué)設(shè)計應(yīng)從章節(jié)整體上把握教學(xué)內(nèi)容，分析知識點之間的邏輯體系，遵從“研究什么—如何研究—為什么這樣研究”的邏輯順序.備課時，教師從全章的視角出發(fā)，厘清知識的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在邏輯，這是教師備好課的前提;教學(xué)時，教師要以學(xué)生已有的認(rèn)知水平為起點，明確學(xué)生學(xué)習(xí)該課知識還缺少什么，以學(xué)定教，順學(xué)而教，并實時關(guān)注學(xué)生的思維狀態(tài)，以達(dá)成思維可視，這是教師上好課的核心;反思時，教師要感悟內(nèi)容學(xué)習(xí)中的通性通法，注重知識的前后貫通，思考其內(nèi)在關(guān)聯(lián)，并搭建知識的結(jié)構(gòu)與體系，這是教師提升課的關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣旭凱，吳增生.在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上整體設(shè)計教學(xué)活動——“直線、射線、線段”教學(xué)課例研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019（6）：68-70.

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