高廷學(xué)

【摘要】眾所周知初中數(shù)學(xué)教學(xué)首要要求就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，只有形成數(shù)學(xué)思想，學(xué)生對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)才能事半功倍.本文將對數(shù)學(xué)思想在初中函數(shù)教學(xué)中的運用進(jìn)行探索，通過論述何為數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思想的重要性以及當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題，進(jìn)而探究如何在初中函數(shù)中運用數(shù)學(xué)思想，通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，開展數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想;函數(shù)教學(xué);初中教學(xué)

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對于學(xué)生的學(xué)習(xí)生涯而言是十分重要的，它對學(xué)生而言是今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個基礎(chǔ)階段，在這一階段應(yīng)該著重學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)[1].盡管數(shù)學(xué)成績是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個反映，但如何思考、如何獲得解題方法以及最終解出正確答案才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.正因如此，通過在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想是十分重要的，也是必要的，本文將對“數(shù)學(xué)思想在初中函數(shù)教學(xué)中的運用”這一點進(jìn)行論述.

1 數(shù)學(xué)思想

1.1 數(shù)學(xué)思想

既然談及數(shù)學(xué)思想在初中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，那么何為數(shù)學(xué)思想？東北師范大學(xué)博士研究生導(dǎo)師史寧中曾經(jīng)說過這樣一段話：“數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是要讓學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用教學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語言就是模型.”從史寧中教授的話中，我們不難看出：所謂的數(shù)學(xué)思想，就是身處于現(xiàn)實世界中，能夠用數(shù)學(xué)的理論和方法來分析和計算現(xiàn)實中的萬事萬物，從而以一種理性客觀的方式分析發(fā)生的現(xiàn)象.而遇到問題時，以這種數(shù)學(xué)思維思考問題并解決問題就是數(shù)學(xué)思想[2].

我們通常所說的等量替換、換元法、化歸思想等等，都是可以稱為數(shù)學(xué)思想方法.而我們從史寧中教授的話中也能夠看出抽象、推理以及模型也是數(shù)學(xué)思想.那么二者的關(guān)系是什么？首先他們都作為數(shù)學(xué)思想;其次，前者的思想是建立在后者之上而提煉出來的.比如說，我們在計算題目時，為什么會在計算時想到等量代換？那是因為通過大量的計算和總結(jié)，等量代換思想可以由其他基本的思想推理出來.所以說，在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)教學(xué)時應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想，也就是抽象、推理和模型思想，在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的其他數(shù)學(xué)思想.

1.2 數(shù)學(xué)思想的重要性

數(shù)學(xué)思想的重要性，換言之，就是為什么要讓學(xué)生具備數(shù)學(xué)思想.首先針對初中學(xué)生，初中數(shù)學(xué)是為他們奠定今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的階段，在這一時期，學(xué)生的思考模式和思維習(xí)慣將很大程度地決定今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難易程度[3].再者，數(shù)學(xué)思想是一種理性分析的思想，它是針對于數(shù)學(xué)題目的一種思維習(xí)慣，如果學(xué)生不具備這種思想，則學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上將會舉步維艱.

在處理一些極具抽象性題目的問題，學(xué)生會摸不著頭腦.比如說，小學(xué)數(shù)學(xué)多以應(yīng)用題為主，其題目類型貼切生活實際，而初中數(shù)學(xué)則更加抽象化，涉及函數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)模型，這就要求學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)思想，否則學(xué)生很難切入問題的關(guān)鍵點.

2 當(dāng)前數(shù)學(xué)思想教學(xué)存在的問題

2.1 對數(shù)學(xué)思想的不重視

當(dāng)前很多數(shù)學(xué)教學(xué)缺乏對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，而初中數(shù)學(xué)教學(xué)缺乏對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)是一個十分嚴(yán)重的問題.當(dāng)前很多的教學(xué)現(xiàn)狀就是依照課本的流程，按照課本的內(nèi)容對學(xué)生進(jìn)行“流程化教學(xué)”.而這種看似一條線的教學(xué)模式，卻很少摻雜對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，這就導(dǎo)致很多學(xué)生在遇到題目時，“一看就會，一做就廢.”很多老師把他歸結(jié)為學(xué)生做題太少、知識點掌握不夠熟練.但同時，許多時候是因為學(xué)生并沒有建立起數(shù)學(xué)思想，在遇到課本題目時，能夠輕松解決.可是當(dāng)變換題目中某幾個信息之后，學(xué)生再去做就會摸不著頭腦.

數(shù)學(xué)思想沒有建立起來.相信許多老師會有這樣的經(jīng)歷：課堂提問學(xué)生解題方法時，稍微提醒學(xué)生就能把題目做出，可是缺乏老師的提醒學(xué)生就很難下筆.這就是相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想沒有建立起來，只是記住例題答案，而不知變通.所以說.在初中數(shù)學(xué)課堂注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)十分重要，而老師也應(yīng)該將數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)貫穿在每堂課中.

2.2 老師的主體地位過于突出

老師在教學(xué)中的主體地位過于突出也是當(dāng)前數(shù)學(xué)思想教學(xué)中存在的主要問題.這也是傳統(tǒng)教學(xué)方式根深蒂固的一個表現(xiàn).隨著對教學(xué)的不斷研究，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該更多地注重學(xué)生作為教學(xué)的“主體”地位[4].過分強調(diào)老師的主體地位，將直接導(dǎo)致課堂中大部分時間是老師在講述.而這恰恰忽略了“學(xué)生作為教學(xué)的主體地位”這一觀念.

如何才能建立數(shù)學(xué)思想？思想的建立是一個不斷思考、循環(huán)重復(fù)的過程，而這一思考過程只能由學(xué)生自身來完成，老師在這一過程中所起到的作用是循循善誘，起到“引導(dǎo)”的作用.而不是依賴于老師的思維慣性，使學(xué)生順著老師的想法去思考，而一旦在教學(xué)時選擇了后者，就會出現(xiàn)上文提到“一看就會，一做就廢”.主體地位的問題，換言之，也可以看作學(xué)生課堂的參與度的問題，老師要更多調(diào)動學(xué)生投入到課堂當(dāng)中，而不是單純地讓學(xué)生聽老師的講述，學(xué)生只有通過思考的過程，才能建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想[5].

3 如何在初中函數(shù)中運用數(shù)學(xué)思想

3.1 抽象思想

正如史寧中教授所說，數(shù)學(xué)基本思想分為抽象思想、推理思想以及模型思想.之所以強調(diào)抽象思想，是因為學(xué)生在接觸到數(shù)學(xué)問題時，許多并不是像初中幾何這種純數(shù)學(xué)模型，而是題干中隱含數(shù)學(xué)信息，需要學(xué)生進(jìn)行抽象提取.

題12011年開始運營的京滬高速鐵路全長1318km，設(shè)列車的平均速度為300km/h.請考慮以下問題：

（1）乘京滬高鐵列車，從始發(fā)站北京南站到終點站上海虹橋站，約需要多少小時（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？

（2）京滬高鐵列車形成y（單位：km）與運行時間t（單位：h）之間有何數(shù)量關(guān)系？

（3）京滬高鐵列車從北京南站出發(fā)2.5h后，是否已經(jīng)過了距始發(fā)站1100km的南京南站？

如題1所示，這是一個現(xiàn)實性數(shù)學(xué)問題.對于這種題目就需要學(xué)生具備抽象思想，從中提取關(guān)鍵信息，像路程等于速度乘時間，并借此建立一次函數(shù)表達(dá)式.老師在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)時，不能單純告知學(xué)生如何解題，而是要引導(dǎo)學(xué)生去分析題目，讓學(xué)生自己去思考，從而自身提煉題目內(nèi)涵.抽象的本質(zhì)就是由繁化簡，所以老師可以通過簡化題目內(nèi)容來幫助學(xué)生思考.比如，在講解這道題目時，可以通過互動的方式開展教學(xué)，像“京滬高速鐵路全長是什么？是路程.平均速度是什么？是速度.那我們要求什么？求時間.所以應(yīng)該建立什么關(guān)系？是路程等于速度乘時間.”通過這種將復(fù)雜問題簡單化以及與學(xué)生互動的方式，調(diào)動學(xué)生參與問題的思考，從而培養(yǎng)學(xué)生抽象能力.

3.2 推理思想

推理思想是建立在抽象思想之上的，需要學(xué)生對抽象出來的信息進(jìn)行分析，開展假設(shè)或者進(jìn)行一定的推導(dǎo)，從而進(jìn)行解決數(shù)學(xué)問題的思想.對于不同的題目，它體現(xiàn)的方式也是不同的.

例如 以初中函數(shù)內(nèi)容為例，有一元二次函數(shù)y=x22-6x+21.題干讓討論圖象與x軸交點個數(shù).其實就這道題目而言，可以直接通過判斷Δ<0確定交點個數(shù)，但是這只是一個結(jié)論.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，所以老師要帶領(lǐng)學(xué)生去分析為什么與x軸沒有交點.且老師在帶領(lǐng)學(xué)生推理結(jié)果時，要更加廣泛化，通過對問題多角度分析從而幫助學(xué)生建立比較全面的推理思想，而不局限于單一角度，就這道題而言，可以通過判斷圖象開口方向，以及頂點位置來確定與x軸交點個數(shù)，也可以通過描點法畫出函數(shù)圖象來確定交點個數(shù)，甚至還可以通過圖象的變化曲線規(guī)律（也就是單調(diào)性）來確定圖象與x軸的交點個數(shù)（作為思維的拓展，而非強制性要求）.這種帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行題目過程的分析，就是對學(xué)生推理能力和推理思想培養(yǎng)的過程.

3.3 模型思想

數(shù)學(xué)模型思想就是指通過數(shù)學(xué)符號、式子、數(shù)學(xué)關(guān)系描述特定問題或具體實際關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).簡單來說，就是以數(shù)學(xué)表達(dá)式來總結(jié)現(xiàn)實生活規(guī)律.而在遇到問題時，要求學(xué)生具有建立數(shù)學(xué)模型的意識.同樣，對于圖1例題而言，在看到題目是考察路程、速度、時間三者關(guān)系之后，學(xué)生就應(yīng)該有意識地想到s=t·v.對于第二個例題而言，學(xué)生就應(yīng)該想到Δ=b2-4ac.而這種模型思想需要老師在教學(xué)時有意識地進(jìn)行引導(dǎo).通過讓學(xué)生對題目的不斷熟練，以及隨著抽象和思維能力的不斷提高，能夠快速地將數(shù)學(xué)題目向數(shù)學(xué)模型靠攏，從而提高做題效率，增加正確率.

例如 在初中數(shù)學(xué)的銳角三角函數(shù)部分，因為其涉及到圖形的內(nèi)容，所以對學(xué)生的模型思想要求就更高，像“直角三角形30°角所對直角邊等于斜邊的一半”、“銳角的正弦（sin A =∠A的對邊斜邊）”、“余弦（cos A = ∠A的臨邊斜邊）”以及“正切（sin A =∠A的對邊∠A的臨邊）”的概念還有“勾股定理（a2+b2=c2）”的應(yīng)用等等都需要學(xué)生牢記于心.在碰到題目和圖形時，能夠快速地將題干信息對應(yīng)到所學(xué)的模型當(dāng)中，從而進(jìn)行解題.比如圖1的題目，已知直角三角形、一條直角邊和斜邊，求三角函數(shù).這道題需要快速定位到直角三角形的正弦、余弦、正切的數(shù)學(xué)模型當(dāng)中，老師在進(jìn)行例題講解時，需要有意地強調(diào)這些數(shù)學(xué)模型，并不只是提出正余弦的概念名稱，需要把概念內(nèi)容也重復(fù)出來，這樣在課堂講解的同時，能夠幫助學(xué)生下意識地重復(fù)記憶這些模型.另外，還可以通過對題目進(jìn)行拓展延伸，讓同學(xué)進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)模型的記憶和理解.比如，就這道題而言，可以增加一問：在已知上方條件和前一問結(jié)果的前提下，請求解第三邊的長度.而求第三邊的長度可以通過∠B的正弦以及∠A的余弦進(jìn)行求解，還可以通過勾股定理求解.通過多角度的題目延伸加深學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解和記憶，從而培養(yǎng)學(xué)生的模型意識.

在直角△ABC中，∠C=90°，AB=10，

BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.

需要注意的是，這三種思想并不能夠完全分開，在教學(xué)時需要穿插進(jìn)行.特別是抽象與推理思想，抽象與模型思想是密不可分的.在推理的過程中，需要老師從已有的知識出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生抽象出題目的本質(zhì)信息加以解題.同時在構(gòu)建模型的過程中，往往需要通過復(fù)雜的信息抽象出信息中的關(guān)系，就像例題一中的時間、速度與路程之間的關(guān)系.通過推理判斷，從而找出正確的解題思路和解題方法.

5 結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中尤為重要，老師在開展數(shù)學(xué)思想教學(xué)時，要重視對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，要注意學(xué)生在教學(xué)中的“主體”地位，通過引導(dǎo)學(xué)生思考而非老師灌輸解題思路，從而讓學(xué)生在自身分析、解決問題的過程中逐步培養(yǎng)抽象、推理和模型思想，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]柴麗佳.數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（22）：40-41.

[2]謝美琴.數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用探索[J].第二課堂（D），2021（04）：23-24.

[3]馮敏.數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用探討[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（08）：139-140.

[4]田穎芳.模型思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用——以《一次函數(shù)》為例[J].新課程教學(xué)（電子版），2020（02）：114.

[5]景年山.數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（02）：84-85.