毛云長(zhǎng)

【摘要】所謂“數(shù)形結(jié)合”思想，其實(shí)就是一種研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，即具體結(jié)合數(shù)學(xué)問(wèn)題中所作出的題設(shè)與結(jié)論間的內(nèi)在關(guān)系，既分析出其數(shù)量關(guān)系，又揭示出其幾何意義，從而使得數(shù)量關(guān)系同幾何圖形更加巧妙的結(jié)合在一起，讓問(wèn)題更好的解決的一種思想方法.加強(qiáng)“數(shù)形結(jié)合思想”在教學(xué)中應(yīng)用，能更好地加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解、落實(shí)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解;初高銜接;數(shù)形結(jié)合

1 以形助數(shù)，確定方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

方程的解的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，可滲透數(shù)形結(jié)合思想“以形助數(shù)”使問(wèn)題直觀(guān).

例1 已知關(guān)于x的方程2x-1=ax-1.

（1）當(dāng)a=3時(shí)，求方程的解;

（2）分別求出下列條件下a的取值范圍：

①方程無(wú)解;②方程有唯一解;③方程有兩個(gè)解.

第（2）問(wèn)若用代數(shù)方法來(lái)解決，運(yùn)用的模型是：

關(guān)于x方程ax=b的解：當(dāng)a≠0 時(shí)方程有唯一解，當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程無(wú)解，當(dāng) a=0，b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解.即可得：當(dāng)x≥1時(shí)，原方程可化為：2x-1=ax-1，所以a-2x=a-1.

若 a=2，無(wú)解;若a≠2，x=a-1a-2，檢驗(yàn)：a-1a-2≥1即a>2時(shí)符合題意，a-1a-2<1 即a<2時(shí)，不符合題意，舍去.

當(dāng)x<1時(shí)，原方程可化為：2x-1=a1-x，所以a+2x=a+1.

若a=-2，無(wú)解;若a≠-2，x=a+1a+2，檢驗(yàn)：a+1a+2<1即a>-2時(shí)符合題意，a+1a+2≥1即a<-2時(shí)，不符合題意，舍去.

所以：①a≤-2或a=2;②-22.這個(gè)解法中很容易誤認(rèn)為a=2時(shí)方程無(wú)解，實(shí)際上，當(dāng)a=2時(shí)，方程有一個(gè)解.

如果這個(gè)問(wèn)題用圖象法，關(guān)于x的方程2x-1=ax-1的解就是函數(shù)y=2x-1 和函數(shù)y=ax-1圖象的交點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，如圖1：當(dāng)x<1時(shí)，函數(shù)y=ax-1圖象與直線(xiàn)y=2x-1有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)y=ax-1圖象與直線(xiàn)y=2x-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與a的取值有關(guān)，當(dāng)a=2時(shí)，直線(xiàn)y=ax-1與直線(xiàn)y=2x-1平行，當(dāng)a>2時(shí)，直線(xiàn)y=ax-1與直線(xiàn)y=2x-1有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a<2時(shí)，直線(xiàn)y=ax-1與直線(xiàn)y=2x-1沒(méi)有交點(diǎn);當(dāng)a<0時(shí)，如圖2：當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)y=ax-1圖象與直線(xiàn)y=2x-1沒(méi)有交點(diǎn)，但是當(dāng)x<1時(shí)，函數(shù)y=ax-1圖象與直線(xiàn)y=2x-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與a的取值有關(guān)，當(dāng)a=-2時(shí)，直線(xiàn)y=ax-1與直線(xiàn)y=2x-1平行，即圖象沒(méi)有交點(diǎn);但是當(dāng)a>-2時(shí)，直線(xiàn)y=ax-1與直線(xiàn)y=2x-1有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a<-2時(shí)，直線(xiàn)y=ax-1與直線(xiàn)y=2x-1沒(méi)有交點(diǎn)，綜上所述：

當(dāng)a<-2 時(shí)方程無(wú)解，當(dāng)-22時(shí)，方程有兩個(gè)解.

以形助數(shù)，不僅使得問(wèn)題直觀(guān)形象，并且有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，為今后高中學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

2 以形助數(shù)，求代數(shù)式的最值問(wèn)題

代數(shù)式的最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，教師若能引導(dǎo)學(xué)生理解該代數(shù)問(wèn)題所代表的幾何意義，以形助數(shù)，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象概念直觀(guān)化想必可取得較好的效果.

例2 已知 x≥0，y≥0且x+2y=1 ，求x2+y2 的最小值與最大值.

分析 若是用代數(shù)方法求解，多半是利用消元法，把x+2y=1轉(zhuǎn)化成x=1-2y帶入x2+y2，得到5y2-4y+1，然后轉(zhuǎn)化成 二次函數(shù)S=5y2-4y+1（0≤y≤12）的最大和最小值求解，這個(gè)問(wèn)題可以向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想，“以形助數(shù)”.如圖3，x+2y=1，x≥0，y≥0在直角坐標(biāo)系上表示一條直線(xiàn)段 AB，而 x2+y2則表示該條線(xiàn)段上的點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離x2+y2 的平方，故由圖可知，線(xiàn)段AB上的點(diǎn)距離原點(diǎn)最小的為線(xiàn)段OQ的長(zhǎng)，距離最大則為OA的長(zhǎng)，故到x2+y2最小值為55，最大值為1.

3 以形助數(shù)，求參數(shù)的取值范圍

有關(guān)含參數(shù)一元二次方程根的情況問(wèn)題，除了用根的判別式求解外，若能引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，借助函數(shù)圖象來(lái)解決，能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

例3 已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍;

變式1一元二次方程x2-2x+a=0的一根為x1，且12

變式2關(guān)于x的一元二次方程7x2-（a+3）x+a2-a-2=0的兩根為x1，x2，且0

例3關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+a=0我們可以運(yùn)用根的判別式Δ=b2-4ac>0，求出a≤1，從另外一個(gè)角度思考，x2-2x+a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即二次函數(shù)y=x2-2x+a的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=x2-2x+a的值小于等于0.而對(duì)于變式1和變式2，如果只是運(yùn)用代數(shù)的方法進(jìn)行解答，解法繁瑣不易理解，根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，由二次方程轉(zhuǎn)化到二次函數(shù)，對(duì)于變式1，將方程的根看作二次函數(shù)y=-x2+2x與直線(xiàn)y=a在12

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合思想方法的研究有助于學(xué)生從諸多“術(shù)”的實(shí)踐體會(huì)上升到“道”的層面認(rèn)識(shí)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，以幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，開(kāi)闊學(xué)生的視野，促進(jìn)學(xué)生思維層次不斷走向高端.