楊再發(fā)

【摘要】 正方形是完美的四邊形，它的邊、角、對角線具有特殊的性質，知道邊長或對角線長都可以求出面積.在一些關于正方形的賽題中，沒有直接告訴邊長或對角線的長，需要我們求出面積.不妨根據(jù)條件求出邊長或對角線的長就能到達解決問題的目的.現(xiàn)舉例說明.

【關鍵詞】 賽題中;求正方形面積;技巧

1 用對角線長來求面積

例1 圖1

如圖1，正方形ABCD內(nèi)有兩點E，F(xiàn)，滿足AE=1，EF=CF=3，AE⊥EF，CF⊥EF，求正方形ABCD的面積.

解 過點C作CG⊥AE的延長線于G，連接AC，

因為AE⊥EF，CF⊥EF，

所以四邊形EFCG是矩形，

則EF=CG，CF=EG，

因為AE=1，EF=CF=3，

所以CG=3，EG=3，

則AG=AE+EG=1+3=4，

因為AC2=AG2+CG2，

所以AC2=42+32=25，

因為四邊形ABCD是正方形，

即2AB2=25，AB2=252，

所以正方形ABCD的面積是252.

例2 如圖2，已知四邊形ABCD是正方形，點E，F(xiàn)在正方形內(nèi)，且AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=9，EF=5，CF=3，求正方形ABCD的面積.

解 過點A作AG⊥CF的延長線于G，

因為AE⊥EF于E，

CF⊥EF于F，

所以四邊形AEFG是矩形，

所以AE=FG，EF=AG，

因為AE=9，EF=5，CF=3，

所以AG=5，F(xiàn)G=9，

則CG=CF+FG=3+6=12，

所以AC2=AG2+CG2=52+122=169，

因為四邊形ABCD是正方形，

所以AD2+CD2=AC2，

2AD2=169，

AD2=1692，

則正方形ABCD的面積是1692.

以上兩例還可以有相似三角形性質求出兩條線段長，再求出對角線的長來求出面積.

2 用正方形的邊長來求面積

例3 圖3

已知，如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點O，連接AO，BO，CO，且AO=17，BO=2，CO=5，求正方形ABCD的面積.

解 將△OBC繞點B逆時針旋轉90°到△EBA，

則OB=EB，

OC=EA，∠OBE=90°，

所以△BOE是等腰直角三角形，

即∠BOE=45°，

因為AO=17，BO=2， CO=5，

所以EA=OC=5，BE=2，

即OE=OB2+BE2=22+22=22，

因為（22）2+172=52，

即OE2+OA2=AE2，

所以△AOE是直角三角形，

則∠AOE=90°，

所以EO⊥OA，

過點B作BF⊥AO的延長線于F，

所以OE∥BF，

所以∠BOE=∠OBF=45°，

即△OBF是等腰之直角三角形，

因為OB=2，

即OF=BF=2，

則AF=AO+OF=17+2，

所以AB2=AF2+BF2

=（17+2）2+22

=21+234，

所以正方形ABCD的面積是21+234.

例4 如圖4，一個邊長為3cm，4cm，5cm的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點B重合，另外兩個頂點分別在正方形的兩條邊AD，DC上，求正方形的面積.

解 設BC=a，

因為四邊形ABCD是正方形，

所以∠C=∠D=90°，

所以BC=DC=a，

因為BE=4，

所以CE=16-CE2=16-a2，

即DE=BC-CE=a-16-a2，

因為32+42=52，

所以EF2+BE2=BF2，

即△BEF是直角三角形，

則∠BEF=90°，

所以∠DEF+∠CEB=90°，

因為∠CBE+∠CEB=90°，

所以∠CBE=∠DEF，

即△CBE∽△DEF，

所以EFDE=BEBC，

3a-16-a2=4a，

3a=4a-416-a2，

解得a2=25617，

所以正方形的面積是25617.

例5 如圖5，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAC交BD于E，BE=42-4，求正方形ABCD的面積.

解 因為四邊形ABCD是正方形，對角線AC，BD交于點O，

所以∠DAO=∠OAB=∠OBA=45°，

BD=2DA，

因為AE平分∠BAC，

所以∠OAE=∠BAE=225°，

因為∠DAE=∠OAD+∠OAE

=45°+225°

=675°，

∠DEA=∠OBA+∠BAE

=45°+225°

=675°，

所以DA=DE，

因為BE=42-4，

所以DE+BE=2DA，

AD+BE=2DA，

AD+42-4=2DA，

AD=42-42-1，

AD=4，

所以正方形ABCD的面積是16.

例6 如圖6，四邊形ABCD是正方形，線段EF，GH把正方形ABCD分割成四部分：正方形BEMH，正方形DFMG，矩形AEMG，矩形CFMH，且S正方形BEMH=75，S矩形CFMH=15，求S正方形ABCD.

解 設BH=a，CH=b，

則正方形ABCD的邊長是（a+b），

因為四邊形BEMH，四邊形DFMG是正方形，

四邊形AEMG，四邊形CFMH是矩形，

所以CF=HM=a，

GM=DF=MF=b，

因為S正方形BEMH=75，S矩形CFMH=15，

所以a2=75，ab=15，

即a2b2=152=225，

則b2=255a2=22575=3，

所以a=53，b=3，

則a+b=63，

所以S正方形ABCD=（a+b）2=（63）2=108.