施家貴

【摘要】學生的認知發(fā)展是數(shù)學教學活動的基礎，立足學生認知的教學才是有效的.筆者以對《復數(shù)的三角表示》的教學為例，分析學生的認知基礎與認知難點，以四元五環(huán)的教學模式展開設計，通過設計合理的問題情境，引領學生經(jīng)歷知識發(fā)生與發(fā)展的過程，力求凸顯知識的本質(zhì)，以提高學生的思維水平.

【關鍵詞】高中數(shù)學;復數(shù);問題情境

1 問題提出

新課標指出，數(shù)學教學活動必須建立在學生認知發(fā)展和已有知識經(jīng)驗的基礎之上[1].有效的教學是要先了解學生原有知識的掌握情況，然后根據(jù)學生的知識儲備還原學生在學習新知識時的心理建構(gòu)，使學生能夠自發(fā)產(chǎn)生學習新知識的驅(qū)動力.因此，在數(shù)學課堂教學中，教師要靈活地使用教材，創(chuàng)設合適的教學情境，從學生的認知起始點出發(fā)，將課堂的教學內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體的學習任務，時刻關注學生的課堂生成，幫助學生實現(xiàn)對教學內(nèi)容的感知、抽象、概括、辨析、深化;設計相應的學習活動，讓學生能夠在課堂上不斷積累活動經(jīng)驗，從而使學生的認知邏輯與學科知識邏輯可以達到統(tǒng)一，從而提升學生數(shù)學素養(yǎng).

在新課標改革過程中，雖然很多教師加強對改革理念的學習，并努力嘗試在日常的課堂教學中滲透新理念.但在實際課堂中，由于課時的限制以及應試的要求，課堂上教師更注重講授，忽略了學生的學習和課堂的生成.這一現(xiàn)象的存在，本質(zhì)上就是因為教師對新課標理念的把握不到位，未能做到以學生為中心、以活動為中心進行教學.教師在教學活動中尊重學生個體，鼓勵學生參與課堂，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和習慣，促進教師能夠在遵循學生認知規(guī)律的基礎上更好地進行課堂教學活動，從而實現(xiàn)高效的數(shù)學課堂.本文以新教材增加的“復數(shù)的三角表示”為例進行基于學生認知的教學設計探究.

2 教學分析

2.1 教材變化

課程標準對課程內(nèi)容進行了調(diào)整，原來復數(shù)是選修模塊，新教材中復數(shù)被調(diào)整到必修模塊，可見復數(shù)在高中數(shù)學新教材中的地位得到了提高.在新舊教材中復數(shù)涵蓋的知識點基本上是相同的，但是在新人教A版中增加了“復數(shù)的三角表示”這塊內(nèi)容.復數(shù)的三角表示具有比較顯著的幾何特征，可以幫助學生在掌握復數(shù)的表示與運算本質(zhì)的同時，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.新教材有意按先三角函數(shù)、后向量、最后復數(shù)的順序?qū)⑷呓Y(jié)合在一起，促使學生體會到數(shù)與形之間的緊密關系，因此復數(shù)的三角表示對提升學生的抽象素養(yǎng)起到了不可小覷的作用[2].

復數(shù)的三角形式作為高中數(shù)學的選學模塊，在學生的知識內(nèi)容考查上不做硬性的要求，但是這塊內(nèi)容可以給學習能力好的學生做知識拓展，也是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的典型載體.但是筆者認為教師應該將復數(shù)的三角表示當成必修模塊進行教學，利用復數(shù)的三角表示進行一些復數(shù)的乘法和除法運算非常方便，能起到簡化計算的作用;另外，在解決平面向量、平面幾何和三角公式推導等相關問題時，復數(shù)的三角表示也能發(fā)揮它的重要輔助作用.基于此，筆者認為教師應重視復數(shù)的三角表示的教學，盡量讓所有學生都進行系統(tǒng)的學習.在復數(shù)的三角表示教學過程中，教師應該從學生的認知視角出發(fā)，不斷強化復數(shù)與向量、三角的聯(lián)系，完善學生的認知建構(gòu)，助力提升學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算等素養(yǎng).

2.2? 學生的認知分析

2.2.1 學生的認知基礎

學生在學習復數(shù)的三角形式之前，已經(jīng)掌握了平面向量、三角函數(shù)以及復數(shù)等基本內(nèi)容，一方面能夠正確處理復數(shù)與復平面上的點以及向量之間的一一對應關系，教師可以在此基礎上從復數(shù)的幾何意義入手引入復數(shù)的三角表示;另一方面學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)的定義及基本的三角恒等變換，為學生探究復數(shù)的三角表示奠定了扎實的基礎.

2.2.2 學生的認知難點

高一年級學生經(jīng)過一個學期的學習，抽象思維能力有了一定的提升，但是在學習過程中學生對知識的整合能力不強，缺乏應用意識和創(chuàng)造意識，在利用幾何圖形與三角之間的關系推導復數(shù)的三角形式時考慮得不夠完善，只是將這種表示形式當成結(jié)論記下來，對問題的本質(zhì)理解得不夠透徹，無法靈活地使用復數(shù)的三角表示解決問題，主要體現(xiàn)在以下兩點：一是復數(shù)的三角表示形式較為抽象，學生對復數(shù)三角表示的理解往往流于形式，學生沒有從形的角度去理解抽象復數(shù)的三角表示，導致三角表示的形式已發(fā)生混淆，對基本元素的把握容易發(fā)生偏差;二是在進行復數(shù)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為復數(shù)三角式時，學生只是按部就班地套用公式，不能真正體會復數(shù)三角形式的內(nèi)涵，遇到比較靈活的題目，學生就會無法剖析題目的本質(zhì)，難以下手.

3 基于學生認知的教學設計

考慮到學生的認知特點，教師從學生的舊有知識出發(fā)，用問題情境引領學生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，采用四元五環(huán)的教學模式進行《復數(shù)的三角表示》教學設計.

3.1 數(shù)學情境，感知復數(shù)的三角表示背景

問題1 我們之前學習了復數(shù)的概念與幾何意義，那么我們能不能從復數(shù)的幾何意義進一步來研究復數(shù)的其他表示形式？

追問1 復數(shù)a+bi（a，b∈R）的幾何表示方法有哪些？

復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）可以用有序?qū)崝?shù)對（a，b）唯一確定，與平面向量OZ=（a，b）一一對應.

追問2 既然復數(shù)可以用向量表示，而向量可以由它的大小和方向唯一確定，那么，我們能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數(shù)呢？

設計意圖 在該教學環(huán)節(jié)中，教師圍繞著復數(shù)的幾何意義設置了三個具有啟發(fā)性的問題，其中前兩個問題設置的是舊知情境，從復數(shù)的幾何表示方法出發(fā)，讓學生回顧了復數(shù)的概念和幾何意義，加強學生所學的復數(shù)的三角表示與幾何圖形之間的聯(lián)系，為新知識起到鋪墊或?qū)б饔?接著教師基于學生知識起點設置了問題3，學生無法直接回答從而引發(fā)認知沖突，激發(fā)學生學習知識的熱情，也讓學生獲得對復數(shù)的三角表示的最初感知.

3.2 數(shù)學探究，抽象復數(shù)的三角表示特征

問題2 向量的大小可以用模表示，那么向量的方向如何表示呢？

由圖1看出，向量的方向可以借助角θ也就是以x軸的非負半軸為始邊，以向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角來表示向量OZ的方向.

問題3 如何用向量的模和角來表示復數(shù)？為什么？

由圖1可知，在直角三角形中，a=rcosθ，b=rsinθ，

所以a+bi=rcosθ+irsinθ=r（cosθ+isinθ）.

追問1 若這個角是任意角，這個結(jié)論還成立嗎？

由三角函數(shù)的定義可知，當這個角為任意角時，這個結(jié)論仍然成立.

其中r=a2+b2，cosθ=ar，sinθ=br.

追問2 大家能不能用上面的結(jié)論來表示點Z在實軸或虛軸上對應的復數(shù)？

學生活動：

z=1=1（cos0+isin0）z

=-1=1（cosπ+isinπ），

z=i=1（cosπ2+isinπ2）z

=-i=1（cos3π2+isin3π2）.

設計意圖 復數(shù)的三角表示特征的探究過程始終圍繞著學生的知識起點——復數(shù)的幾何意義展開，教師在課堂抓住提問的生成資源點進行追問，通過不斷完善復數(shù)的三角表達形式來進行新知識的建構(gòu)，讓學生能夠充分理解復數(shù)三角表示的內(nèi)涵，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.接著學生用推導出的結(jié)論表示特殊位置上的復數(shù)，初步感知復數(shù)的三角表達形式，這樣既尊重學生的認知規(guī)律，也使學生在這個活動過程中反復利用幾何圖形探究復數(shù)的三角形式，促使學生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思維習慣.整個教學過程中，教師不以自我傳授和教師的經(jīng)驗作為教學的中心，而是用問題作為載體，啟發(fā)學生學會學習，真正考慮到學生的思維發(fā)展.

3.3 數(shù)學體悟，概括復數(shù)的三角表示要義

問題4 所有的復數(shù)都可以表示為z=

r（cosθ+isinθ）嗎？

所有的復數(shù)都有唯一向量與它相對應，故所有的復數(shù)都可以表示為z=r（cosθ+isinθ）.

問題5 這種表示形式中r表示什么？其范圍呢？

r表示復數(shù)z的模，因此r≥0

問題6 θ的幾何意義又是什么？

θ表示以x軸的非負半軸為始邊，以向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角.

問題7 那現(xiàn)在大家一起來總結(jié)其結(jié)構(gòu)特征，概括復數(shù)的這種表示形式？

一般地，任何一個復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式.其中，r是復數(shù)z的模;θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）的輻角.r（cosθ+isinθ）叫做復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）的三角表示式，簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，a+bi（a，b∈R）叫做復數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式[3].

師生活動 教師引導學生概括復數(shù)的三角形式要義，得出嚴謹?shù)亩x.

設計意圖 教師通過問題4引導學生認識到所有的復數(shù)都能用復數(shù)的三角形式來表示，體會復數(shù)三角表示的普適性;通過問題5、6強化r和θ的幾何意義，促使學生更深刻地把握復數(shù)的三角形式的基本要素;通過問題7讓學生從結(jié)構(gòu)形式上把握事物的本質(zhì)，概括出簡約的文字語言.教師在課堂上留給學生足夠的時間去體悟、歸納復數(shù)的三角表示的要義，讓新知識通過學生的理解納入認知結(jié)構(gòu)中，而沒有直接將結(jié)論拋給學生進行記憶，提高學生對知識的探索和理解能力，培養(yǎng)了數(shù)學核心素養(yǎng).

3.4 數(shù)學應用，深化復數(shù)的三角表示理解

例1 分別指出下列復數(shù)的模和一個輻角，畫出它們對應的向量，并把這些復數(shù)表示成代數(shù)形式：

cosπ+isinπ;（2）6（cos11π6+isin11π6）.

例2 畫出下列復數(shù)對應的向量，并把這些復數(shù)表示成三角形式：

12+32i;（2）1-i.

師生活動 總結(jié)復數(shù)的代數(shù)式與三角式互相轉(zhuǎn)化的方法與步驟.

共同點：畫出對應的向量;

三角式轉(zhuǎn)代數(shù)式：熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值求解.

代數(shù)式轉(zhuǎn)三角式：結(jié)合三角函數(shù)定義，

①利用公式r=a2+b2，求出復數(shù)的模;

②利用cosθ=ar，或sinθ=br，結(jié)合復數(shù)對應點所在位置確定復數(shù)的一個輻角.

設計意圖 經(jīng)歷前面環(huán)節(jié)的學習后，學生對復數(shù)的兩種表示方式的基本要素和結(jié)構(gòu)已經(jīng)有了較為深入的理解，此時教師根據(jù)學生的認知水平設置這兩道例題，讓學生抓住表示形式的基本要素進行思路探尋，經(jīng)歷并總結(jié)復數(shù)的兩種表示式之間的互化，認識到兩種結(jié)構(gòu)形式既有各自的特征又相互聯(lián)系，并再次感受復數(shù)的三角表示的產(chǎn)生發(fā)展及應用過程，加深對復數(shù)三角表示的再認知.

總之，在課堂教學中需要教師以學生認知作為教學的起點，設計合理的問題情境，不斷地用問題驅(qū)動促使學生進行積極的思考，彰顯知識本色，提高學生的數(shù)學抽象水平.

參考文獻：

[1]張春莉.學習者視角下的學習歷程分析[M].北京：北京師范大學出版社，2019，11.

[2]閏洪德.基于數(shù)學抽象過程中的問題驅(qū)動探析——以“復數(shù)的三角表示（第一課時）”教學設計為例[J].數(shù)學通訊，2020（8）：19-21.

[3]課程教材研究所.普通高中教科書 數(shù)學必修第二冊A版[M].北京：人民教育出版社，2020.