羅夢(mèng)漪

【摘要】應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)一類(lèi)非常重要的題型，對(duì)學(xué)習(xí)者的理解以及分析問(wèn)題的能力要求較高，是日常測(cè)試以及中考的熱門(mén)考點(diǎn)，且相關(guān)習(xí)題占有較高分值.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中為使學(xué)生掌握不同應(yīng)用題題的解題技巧，提高學(xué)生解答不同類(lèi)型應(yīng)用題的能力，應(yīng)做好應(yīng)用題題型的總結(jié)，并做好解題示范，使其能夠在以后的解題中以不變應(yīng)萬(wàn)變，促進(jìn)應(yīng)用題解題能力以及數(shù)學(xué)成績(jī)的有效提升.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);應(yīng)用題;解題技巧

初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的題型較多，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可將其分為二元一次方程的應(yīng)用題、分式方程類(lèi)應(yīng)用題、不等式類(lèi)應(yīng)用題、三角函數(shù)應(yīng)用題、二次函數(shù)應(yīng)用題[1].不同類(lèi)型應(yīng)用題的解題思路、解題技巧有所不同，教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)做好相關(guān)解題技巧理論的灌輸，并展示如何運(yùn)用相關(guān)技巧解題，給學(xué)習(xí)者以后解題帶來(lái)良好啟發(fā).

1 二元一次方程類(lèi)應(yīng)用題解題技巧

二元一次方程的應(yīng)用題解題技巧為：認(rèn)真審題，在充分理解題意的基礎(chǔ)上尋找相關(guān)參數(shù)之間的邏輯關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇恰當(dāng)?shù)囊暯窃O(shè)出合理參數(shù)，構(gòu)建二元一次方程組，最終運(yùn)用二元一次方程組知識(shí)求解參數(shù).需要注意的是解答二元一次方程的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)確保最終的結(jié)果符合實(shí)際情況.教學(xué)實(shí)踐中為使學(xué)習(xí)者能夠全面地考慮問(wèn)題，把握解答二元一次方程類(lèi)應(yīng)用題的相關(guān)細(xì)節(jié)，實(shí)踐中可為學(xué)習(xí)者講解如下.

例題 小明為班級(jí)購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍，回校后向班主任匯報(bào)說(shuō)：“我買(mǎi)了兩種書(shū)，合計(jì)30本，單價(jià)分別為20元，24元.買(mǎi)書(shū)前的700元，現(xiàn)在還剩38元”.班主任算了一下說(shuō)：“你肯定搞錯(cuò)了”.

（1）班主任為什么說(shuō)小明搞錯(cuò)了？運(yùn)用所學(xué)進(jìn)行解釋;（2）小明拿出購(gòu)物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)其確實(shí)搞錯(cuò)了，其還購(gòu)買(mǎi)了一個(gè)筆記本，但筆記本的單價(jià)不清晰，僅辨認(rèn)出其為不滿10元的整數(shù)，如果單價(jià)為20元的書(shū)多于24元的書(shū)，則筆記本的單價(jià)是多少元？

該應(yīng)用題創(chuàng)設(shè)的情境較為常規(guī)，題意也較容易理解.其中該題的第一問(wèn)較為簡(jiǎn)單，構(gòu)建二元一次方程組，不難解答.第二問(wèn)難度較大，需要能夠大膽的設(shè)出參數(shù)，并根據(jù)題意確定參數(shù)之間的大小關(guān)系，通過(guò)分析、確定最終的結(jié)果.

對(duì)于問(wèn)題（1）根據(jù)兩本書(shū)的總本數(shù)以及所花的錢(qián)數(shù)，夠構(gòu)建二元一次方程，設(shè)20元，24元書(shū)籍購(gòu)買(mǎi)的本數(shù)分別為x，y，則可列出方程組x+y=3020x+24y=700-38，解得x=14.5y=15.5，x，y為整數(shù)，因此，可認(rèn)為小明搞錯(cuò)了.

對(duì)于問(wèn)題（2）設(shè)20元的數(shù)為a本，則24元的書(shū)為（30-a）本，筆記本的價(jià)格為b元，根據(jù)題意a>30-a，即，a>15.則依據(jù)總錢(qián)數(shù)可得20a+24（30-a）+b=700-38，解得a=14+2+b4>15，由b為不滿10的整數(shù)可知b=6，即，筆記本的單價(jià)為6元.

2 分式方程類(lèi)應(yīng)用題解題技巧

分式方程類(lèi)應(yīng)用題解題技巧為：認(rèn)真閱讀題干內(nèi)容，了解題干描述的情境，結(jié)合自身學(xué)習(xí)以及生活經(jīng)驗(yàn)確定題干中參數(shù)之間的潛在關(guān)系，確定以哪個(gè)參數(shù)列方程.求解列出的方程后還應(yīng)注重檢驗(yàn)結(jié)果是否正確.初中數(shù)學(xué)能夠運(yùn)用分式方程解決的應(yīng)用情境較多，如路程問(wèn)題、追擊問(wèn)題、工程量問(wèn)題等，因此，為提高解題正確率應(yīng)注重要求學(xué)習(xí)者牢記常見(jiàn)的應(yīng)用題情境以及相關(guān)公式，為盡快的找到解題突破口做好鋪墊.授課中可為學(xué)習(xí)者講解如下.

例題 小明家和科技館相距1900米，一天騎步行去科技館看表演，走到路程的一半發(fā)現(xiàn)忘記帶門(mén)票，此時(shí)離表演開(kāi)始還有23分鐘，于是其立刻步行回家取票.然后騎車(chē)趕往科技館.若小明騎車(chē)到科技館比其步行到科技館少用20分鐘，且騎車(chē)的速度是步行的5倍，小明進(jìn)家取票的時(shí)間共用4分鐘.請(qǐng)你判斷小明能否在表演開(kāi)始前趕到科技館，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

通過(guò)審題可知該題需要構(gòu)建路程、速度、時(shí)間之間的分式方程.求出小明步行以及騎車(chē)的速度，而后結(jié)合剩余的時(shí)間、路程，通過(guò)計(jì)算進(jìn)行判斷.

設(shè)小明步行的速度為x米/分鐘，則騎車(chē)的速度為5x米/分鐘.根據(jù)步行、騎車(chē)的時(shí)間關(guān)系可列方程：1900x-19005x=20，解得x=76.經(jīng)檢驗(yàn)x=76是原分式方程的解，即，小明每分鐘步行速度為76米/分鐘.根據(jù)題意需要計(jì)算小明返回和騎車(chē)的總時(shí)間，即12×190076+19005×76+4=21.5分鐘，小于23分鐘，因此，小明能夠在表演開(kāi)始前到達(dá)科技館.

3 不等式類(lèi)應(yīng)用題解題技巧

初中數(shù)學(xué)講解的不等式主要為一元一次不等式，因此，相關(guān)應(yīng)用題也圍繞一元一次不等式知識(shí)設(shè)問(wèn).解答該類(lèi)應(yīng)用題技巧為：審題時(shí)把握構(gòu)建不同關(guān)系的關(guān)鍵詞，如“不多于”、“不少于”、“不超過(guò)”等.另外，如題干中涉及的參數(shù)為兩個(gè)時(shí)，應(yīng)明確哪個(gè)參數(shù)為主元，而后結(jié)合所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，尤其當(dāng)相關(guān)參數(shù)的取值范圍不確定時(shí)應(yīng)注重準(zhǔn)確劃分討論的界限進(jìn)行分類(lèi)討論.授課中為使學(xué)習(xí)者掌握上述技巧，增強(qiáng)其解答相關(guān)應(yīng)用的自信，可為學(xué)習(xí)者講解如下.

例題 某商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，每件A商品進(jìn)價(jià)比每件B商品多5元，且用800元購(gòu)進(jìn)A商品和用400元購(gòu)進(jìn)B商品的數(shù)量相同.若共購(gòu)買(mǎi)這兩種商品100件，且購(gòu)進(jìn)資金不少于800元，不多于850元，則商店有幾種購(gòu)進(jìn)方案？若銷(xiāo)售A商品的利潤(rùn)為m元，銷(xiāo)售B商品的利潤(rùn)為（6-m）元，則怎樣采購(gòu)才能獲得最大利潤(rùn)？（商品售價(jià)不低于成本價(jià)）.

該應(yīng)用題題干較為簡(jiǎn)單，但是對(duì)學(xué)習(xí)者的理解能力要求較高.解答該應(yīng)用題時(shí)需要明確先求解A、B兩件商品的進(jìn)價(jià)，而后根據(jù)“不少于”、“不多于”構(gòu)建不等式關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍.同時(shí)，寫(xiě)出有關(guān)利潤(rùn)的表達(dá)式，分析表達(dá)式中各參數(shù)的取值范圍，聯(lián)系一次函數(shù)性質(zhì)，求出其最大利潤(rùn).

根據(jù)題意先計(jì)算出每件A、B商品的進(jìn)價(jià)，而后列出對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系，便可確定購(gòu)進(jìn)方案.根據(jù)題意構(gòu)建有關(guān)利潤(rùn)的一元一次函數(shù)，借助一元一次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析.設(shè)每件A商品的進(jìn)價(jià)為a元，則每件B商品的進(jìn)價(jià)為（a-5）元，易得800a=400a-5，解得a=10，則每件A、B商品的進(jìn)價(jià)分別給為10元，5元.設(shè)購(gòu)進(jìn)A商品為x件，購(gòu)進(jìn)B商品為（100-x）件，即，800≤10x+5（100-x）≤850，解得60≤x≤70，因?yàn)閤只能為整數(shù)，則x的值為60到70之間的整數(shù)，共11個(gè)，即，共有11種購(gòu)進(jìn)方案.由銷(xiāo)售A商品的件數(shù)為x件，則銷(xiāo)售B商品的件數(shù)為（100-x），由單價(jià)、件數(shù)以及利潤(rùn)之間的關(guān)系可得總利潤(rùn)Q=mx+（6-m）（100-x）=（2m-6）x+600-100m，因m>0，則當(dāng)0

4 三角函數(shù)應(yīng)用題解題技巧

初中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的主要是銳角三角函數(shù)，主要有正弦、余弦、正切、余切[2].解答三角函數(shù)應(yīng)用題的技巧為：認(rèn)真審題、讀圖，明確要求解的問(wèn)題.同時(shí)運(yùn)用所學(xué)幾何知識(shí)嘗試著構(gòu)建直角三角形，必要情況下做出輔助線向銳角三角函數(shù)靠攏.求解參數(shù)時(shí)應(yīng)注意不同三角函數(shù)中線段之間的關(guān)系，不能搞錯(cuò).實(shí)踐中，為提高學(xué)習(xí)者解答三角函數(shù)應(yīng)用題熟練程度，積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，可在課堂上與學(xué)習(xí)者一起分析如下.

例題 在一次課外活動(dòng)中，小明測(cè)量小山AF的高度，如圖1，山底有一長(zhǎng)為60m的斜坡CE，通過(guò)測(cè)量斜坡CE的坡角為30°，小明從點(diǎn)E沿斜坡走到斜坡的中點(diǎn)D處，在D處測(cè)得山頂A的仰角為53°，坡頂C和小山的距離BC=100m，求小山AF的高度，結(jié)果精確到0.1m.（參考數(shù)據(jù)：tan53°≈1.33，3≈1.73）

審題后在明確要求解問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行逆向推理，尋找要求解的參數(shù).而后根據(jù)經(jīng)驗(yàn)作出輔助線輔助分析，尋找角度以及角度、線段之間的關(guān)系，認(rèn)真計(jì)算不難得出結(jié)果.

根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥FE于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GC和AD交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AB于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥CG于點(diǎn)Q，如圖所示，則四邊形PBQC和四邊形BFGC為矩形，DQ∥GE.根據(jù)題意∠CEG=∠CDQ=30°，∠HDQ=∠AHP=53°，則CG=12CE=30m，則CQ=QG=15m，DQ=3CQ=153m，HQ=DQtan53°=1.33×153≈34.51m，PH=BC=100m，AP=PHtan53°=100×1.33=133m，則小山的高AF=AP+HQ+QG=133+34.51+15≈182.5m.

5 二次函數(shù)類(lèi)應(yīng)用題解題技巧

二次函數(shù)類(lèi)應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)題型，解答該題的技巧為：在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，根據(jù)題干描述以及經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系.同時(shí)，因自變量范圍影響二次函數(shù)的取值，需要正確確定自變量范圍.教學(xué)實(shí)踐中為使學(xué)習(xí)者掌握上述解題技巧并在解題中靈活應(yīng)用，應(yīng)注重做好經(jīng)典例題講解，并組織學(xué)習(xí)者開(kāi)展專(zhuān)題訓(xùn)練活動(dòng).課堂上可為學(xué)習(xí)者展示如下習(xí)題，對(duì)其進(jìn)行訓(xùn)練：

例題 一土特產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每盒60元，為了解市場(chǎng)情況，準(zhǔn)備先試銷(xiāo)一段時(shí)間，試銷(xiāo)期間銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià)，且獲利不得高于40%.銷(xiāo)售量y（萬(wàn)盒）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為多少元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

解答該題需要在充分理解題意的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖象，聯(lián)系所學(xué)一次函數(shù)知識(shí)確定售價(jià)和銷(xiāo)售量之間的關(guān)系.同時(shí)，根據(jù)成本、利潤(rùn)、銷(xiāo)售量，構(gòu)建二次函數(shù)，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)便可求出最大利潤(rùn).

由圖采用待定系數(shù)法不難求出銷(xiāo)售單價(jià)和銷(xiāo)售量之間的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)題干描述找到自變量的取值范圍，而后根據(jù)利潤(rùn)、銷(xiāo)售價(jià)、銷(xiāo)售量之間的關(guān)系構(gòu)建二次函數(shù)，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求出最大利潤(rùn).將圖中的點(diǎn)（70，50）、（63，57）兩點(diǎn)代入得到y(tǒng)=-x+120，而60≤x≤60（1+40%），即，60≤x≤84，則其利潤(rùn)Q=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900（60≤x≤84），二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=90，其開(kāi)口向下，取值范圍在其左側(cè)，Q隨著x的增大而增大，則當(dāng)x=84時(shí)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為864萬(wàn)元.

6 結(jié)語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題類(lèi)型較多，實(shí)踐中既要為學(xué)習(xí)者認(rèn)真講解技巧，又要展示技巧的應(yīng)用.同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者做好聽(tīng)課總結(jié)，及時(shí)彌補(bǔ)學(xué)習(xí)中的不足，尤其結(jié)合專(zhuān)題訓(xùn)練活動(dòng)，鼓勵(lì)其將學(xué)習(xí)到的技巧應(yīng)用到實(shí)踐中，積累豐富的應(yīng)用題解題經(jīng)驗(yàn)，提高應(yīng)用題解題水平.

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