孫中權(quán)

【摘要】 圓是日常生活中的常見圖形，是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，是中考試題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽的“嘉賓”，圓的性質(zhì)及其應(yīng)用值得我們深入研究.

【關(guān)鍵詞】 圓;三角形;數(shù)學(xué)競(jìng)賽

圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，因?yàn)閳A的獨(dú)特性質(zhì)常常出現(xiàn)在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中.垂徑定理、圓與多邊形的內(nèi)切外接、三角形的等面積公式、勾股定理等都是?？純?nèi)容，下面略舉幾例以窺一斑.

1 三角形的內(nèi)切圓

例1 在△ABC中AC=8，BC=6，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D.若△ABC，△ACD，△BCD的內(nèi)切圓的半徑分別是r1，r2，r3，則r1+r2+，r3的值是.

解 如圖1，AC=8，

BC=6，

∠ACB=90°，

所以AB=AC2+BC2

=10.

由題設(shè)易知

Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD.

于是AC2=AD·AB，

CD2=AD·BD，

從而AD=AC2AB=8210=6.4，

BD=AB-AD=10-6.4=3.6，

CD=AD·BD=6.4×3.6=4.8.

設(shè)△ABC，△ACD，△BCD的內(nèi)切圓分別為⊙O1，⊙O2，⊙O3，則由內(nèi)切圓的性質(zhì)知

r1=12（BC+AC-AB）=12（6+8-10）=2，

r2=12（AD+CD-AC）=12（6.4+4.8-8）=1.6，

r3=12（BD+CD-BC）=12（3.6+4.8-6）=1.2，

于是r1+r2+r3=2+1.6+1.2=4.8.

注 本題利用勾股定理和三角形相似及圓的切線長相等等性質(zhì)，將三個(gè)三角形的內(nèi)切圓的半徑分別求出即可.

2 多圓外切與最值

例2 圖2

如圖2，在邊長為2018的等邊△ABC內(nèi)有 n個(gè)依次外切的圓，記為⊙O1，⊙O2，…，⊙On，它們都與邊AB，AC相切.若⊙O1的半徑為1，則⊙On的半徑最大值.

解 作如圖所示的輔助線，顯然

O1A=2r1=2，

又r1+r2=2（r2-r1），

可得r2=3r1.

同理r3=3r2，…，rn=3rn-1，

又設(shè)m=（1+2）+2×3+2×32+…+2×3n-1，

則3m=（1×3+2×3）+2×32+2×33+…+

2×3n，

兩式相減得2m=2×3n，

解得m=3n.

顯然36<2018×32<37，

所以最多有6個(gè)圓，第6個(gè)圓最大，

半徑為r6=36-1r1=243.

注 本題涉及到一列后項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為同一個(gè)常數(shù)的數(shù)字求和問題，不等式問題，解題關(guān)鍵是找到相鄰兩圓半徑之間的關(guān)系.

3 三角形的內(nèi)切圓與外接圓

例3 已知二次函數(shù)y=x2-2與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，則△ABC內(nèi)切圓的半徑為，外接圓半徑為.

解 如圖，由題設(shè)可知A（-2，0），B（2，0），C（0，-2）.

則|OA|=|OB|=2，

|OC|=2，

|AB|=22.

在Rt△AOC 中，由勾股定理，得

AC=|OA|2+|OC|2

=（2）2+22

=6，

同理BC=6.

設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則

12（AC+BC+AB）·r=S△ABC=12·AB·OC，

即12·（6+6+22）·r=12×22×2，

解得r=226+2=3-1.

因?yàn)锳C=BC，

所以△ABC外接圓的圓心在y軸上，設(shè)其坐標(biāo)為（0，y），

則（y+2）2=y2+（2）2，

解得y=-12，

于是△ABC外接圓的半徑為

-12+2=32.

注 以二次函數(shù)為背景，考查了圓的最基本最重要的性質(zhì)——垂徑定理，三角形的內(nèi)切圓與外接圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).