張舒

【摘要】數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象性與邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題時(shí)難免遇到問(wèn)題，打擊學(xué)生解題自信心.在初中數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮數(shù)學(xué)思想優(yōu)勢(shì)，可有效簡(jiǎn)化題目難度，提升學(xué)生解題效率.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;解題策略

1 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 提升學(xué)生解題水平

數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)科中研究的基本對(duì)象，二者在相應(yīng)的條件下可相互轉(zhuǎn)化.一般中學(xué)數(shù)學(xué)研究基本為數(shù)與形，正因數(shù)與形的緊密聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合.部分圖形過(guò)度簡(jiǎn)單，單純觀察無(wú)法看出圖形規(guī)律，此時(shí)需要為圖形賦予角度與邊長(zhǎng).換言之，數(shù)形結(jié)合將圖形與數(shù)字相結(jié)合并在圖形中標(biāo)注所有運(yùn)算、數(shù)字關(guān)系以及研究對(duì)象間的邏輯關(guān)系，以可視化呈現(xiàn)抽象數(shù)字，提升學(xué)生解題效率與解題自信心.

例1 某學(xué)校組織競(jìng)賽，共有25人參與競(jìng)賽，大賽設(shè)置A、B、C三道題目，參賽者至少選做一道題，根據(jù)題目回答情況得知，未能解答A題的人中可成功解答B(yǎng)題的人數(shù)為解答出C題人數(shù)2倍，只解答出A題人數(shù)比其余人數(shù)中解答出A題多1人，在所有只解答一道題參與學(xué)生中，有一半學(xué)生不能解答出A題，請(qǐng)問(wèn)只成功解答B(yǎng)題共有多少參賽者？

解析 單從文字分析具有難度較大，尤其對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較大的學(xué)生而言，難以理清題目邏輯關(guān)系，對(duì)此，可在解題中引入數(shù)形結(jié)合方式，即將以圖形關(guān)系表示文字邏輯關(guān)系.以圖1所示：

根據(jù)圖1可得知，運(yùn)用三個(gè)大圓A、B、C表示解出A、B、C三道題目人數(shù)，圖中相互重疊部分則表示能同時(shí)解答出A、B、C三道大題或其中兩道題目參數(shù)人數(shù)集合，運(yùn)用a、b、c、d、e、f、g進(jìn)行表示，每個(gè)學(xué)生至少解出一題得出：a+b+c+d+e+f+g=25①

由未解答出A題學(xué)生中解答出B題人數(shù)是解答出C題人數(shù)2倍，得出：b+f=2（c+f）②

只解答出A題學(xué)生比余下解答出A題學(xué)生多一人，得出：a=d+e+g+1③

只解答出一題學(xué)生中有一半學(xué)生未解答出A題，列式：a=b+c④

由②可得：b=2c+f，f=b-2c ⑤

由⑤代入數(shù)式①：a+2b-c+d+e+g=25⑥

以③、④代入⑥：2b-c+2d+2e+2g=24⑦

同時(shí)，3b+d+e+g=25⑧

數(shù)式⑧×2-數(shù)式⑦得4b+c=26⑨

因?yàn)閏≥0，所以b≤6.5.

運(yùn)用數(shù)式⑤+⑨將c消去，得f=b-2（26-4b）=9b-52，

因?yàn)閒≥0，所以b≥952，

因?yàn)閎表示人數(shù)，所以b=6.

只解答出B題學(xué)生有6人.

2 運(yùn)用整體思想 提升學(xué)生解題水平

整體思想是初中眾多數(shù)學(xué)思想之一，其應(yīng)用相對(duì)廣泛，可以說(shuō)貫穿初中數(shù)學(xué)解題，在高效解題中發(fā)揮著不可小覷作用.近年來(lái)，中考命題重心即整體思想，所謂整體思想即基于整體角度處理問(wèn)題，有整體設(shè)元、整體變形、整體代換等多種表現(xiàn)形式.所以，初中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用整體思想解題，拓寬解題思維，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)目標(biāo).

例2 已知12x2-4x+1=36x2-2x，求x值.

解析 上述題目涉及方程問(wèn)題解答，如果在解答中從常規(guī)思路著手，則需將等式右側(cè)分母去除，式子兩側(cè)需同時(shí)乘以6x2-2x并進(jìn)行整理.該式子未知數(shù)最高項(xiàng)為四次，等式略顯復(fù)雜，影響后續(xù)計(jì)算效率.基于式子整體層面觀察方程結(jié)構(gòu)可得知6x2-2x為12x2-4x一半，需令y=6x2-2x，所以2y=12x2-4x，化簡(jiǎn)式子為2y+1=3y，等式兩側(cè)同時(shí)乘以2整理后可得出2y2+y-3=0，由此一來(lái)，可迅速求出y值.又因?yàn)閥=6x2-2x，可求出x的值.

例3 解方程組2x+3y=12①7x-17y=97②

解析 如果從常規(guī)換元思路解答該題，則需設(shè)2x=6+t，3y=6-t，有x=3+12，y=2-13，隨之出現(xiàn)分式，需要更換換元思路才能提升解題效率.設(shè)2x=6+6t，3y=6-6t，則有x=3+3t，y=2-2t，達(dá)到化簡(jiǎn)為繁.

3 運(yùn)用化歸思想 提升學(xué)生解題水平

化歸即轉(zhuǎn)化與歸納簡(jiǎn)稱，所謂化歸思想即將抽象復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)至簡(jiǎn)單問(wèn)題，將未知轉(zhuǎn)至已知，例如將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)至幾何問(wèn)題，將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)至三角形問(wèn)題，或?qū)⒎质椒匠剔D(zhuǎn)至整式方程等.

作為初中數(shù)學(xué)解題重要思想之一，化歸思想實(shí)質(zhì)即運(yùn)用變化方式分析和解決與數(shù)學(xué)有關(guān)問(wèn)題，達(dá)到高效解決問(wèn)題目的.

化歸思想體現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)解題多個(gè)方面，所以，教師可指導(dǎo)學(xué)生在解題中合理運(yùn)用化歸思想，善于變換轉(zhuǎn)化要解決問(wèn)題，簡(jiǎn)化問(wèn)題，提升解題效率.

在解答不等式問(wèn)題中運(yùn)用等式策略能使解題方式更為簡(jiǎn)潔，有利于學(xué)生樹(shù)立清晰解題思路.

例4 如果不等式kx-4≤2解集為x1≤x≤3，實(shí)數(shù)則為k=？

解析 針對(duì)不等式解集問(wèn)題可代入端點(diǎn)值，此時(shí)等號(hào)成立，

根據(jù)題意，kx-4=2兩根為1，3，

即k-4=2，3k-4=2，解得k=2.

變量間需借助不等式相互制約，反映變量間內(nèi)在聯(lián)系.受函數(shù)單調(diào)性影響，不等式與界性間有著直接聯(lián)系，所以為不等式轉(zhuǎn)化至函數(shù)提供契機(jī).

例5 已知a，b∈R，

證明a+b1+a+b≤a+b1+a+b

解析 先構(gòu)造函數(shù)f（x）=x1+x（x>0），

得知f（x）=x1+x=1-11+x，在（0，+∞）呈單調(diào)遞增，

因?yàn)閍+b≤a+b，

所以a+b1+a+b≤a+b1+a+b.

在解答含字母系數(shù)的不等式時(shí)，需要討論系數(shù)，也稱之為分類(lèi)討論思想.當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)果非唯一時(shí)，根據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)劃分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題再進(jìn)行解答.

例6a為實(shí)數(shù)且x>y，下列不等式中成立的是？

（A）ax>ay. （B）a2x≤a2y.

（C）a2x>a2y.（D）a2x≥a2y.

解析因?yàn)閍為實(shí)數(shù)，需要分類(lèi)討論選項(xiàng)中a、a2兩種情況;對(duì)于a：①a為正數(shù)，根據(jù)不等式性質(zhì)2得知，A選項(xiàng)正確.②中，a為負(fù)數(shù)，0時(shí)沒(méi)有答案，所以沒(méi)有選項(xiàng).對(duì)于a2：因?yàn)閍2≥0，根據(jù)不等式性質(zhì)2得知（A）（B）（C）為錯(cuò)誤選項(xiàng)，正確答案為（D）.

數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想轉(zhuǎn)化不等式時(shí)應(yīng)明確題目類(lèi)型，最大限度發(fā)揮化歸思想優(yōu)勢(shì)作用.并在此過(guò)程中使學(xué)生掌握解題方式.

學(xué)生運(yùn)用化歸思想后會(huì)因因其便利性對(duì)探究知識(shí)產(chǎn)生興趣，尤其在逐一突破問(wèn)題難點(diǎn)后能產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)自信心，為后續(xù)鞏固知識(shí)和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題奠定基礎(chǔ)，切實(shí)提升解題水平.

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