馬雄政

【摘要】隨著教育教學(xué)的不斷變換，初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容將以往的“幾何”轉(zhuǎn)換為“空間與圖像”，這不僅增加了圖形與變換的內(nèi)容，還在一定的程度上使得學(xué)生的思維從靜態(tài)向動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)變.因此，本文將從“旋轉(zhuǎn)變換”、“平移變換”、“軸對稱變換”、“相似變換”四個(gè)方面對幾何變換法在數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用進(jìn)行討論，期望能夠指導(dǎo)學(xué)生掌握解題方法，達(dá)到快速且高效解題的目的.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);幾何變換法;解題方法

1 旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用

旋轉(zhuǎn)變換是初中數(shù)學(xué)解決幾何問題的一種較為常用的方法.學(xué)生在解決一些較為復(fù)雜的幾何問題時(shí)，教師們可以運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換將復(fù)雜的問題簡單化，這不僅有利于學(xué)生對圖形本質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識，還能夠有效提高學(xué)生解決幾何問題的能力.例1是在題中給出變換，需要學(xué)生對生成圖形的性質(zhì)進(jìn)行探究.

例1 如圖1所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC，點(diǎn)D在AB上，連接CD，并將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE的位置，連接AE，請證明AE⊥AB.

分析 從題干可知其中含有等腰三角形以及正方形的幾何問題，可以通過全等三角形進(jìn)行論證，但是沒有旋轉(zhuǎn)變換的角度考察問題來得方便.

解 由∠ACB=90°，且AC=BC可以得到∠CAB=∠CBA=45°.

因?yàn)锳C為BC旋轉(zhuǎn)90°得到，

且CD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CE，

所以△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可以得到△ACE，

且∠CAE=∠CBA=45°，

所以∠CAB+∠CAE=45°+45°=90°，

所以AE⊥AB.

2 平移變換的應(yīng)用

在幾何變換中平移變換是最為基礎(chǔ)的變換方法.平移變換是保持兩點(diǎn)間距離不變的變換，這種變換下圖形的大小和形狀不變，實(shí)質(zhì)是全等變換.因此，平移變換在幾何解題中的應(yīng)用能夠有效幫助學(xué)生解決問題.

例2 如圖2所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD+BC=3，AC= 3，BD= 6，請求出梯形ABCD的面積.

分析 平移變換經(jīng)常會用于與平行線、中線等相關(guān)的問題中.本題需要學(xué)生們利用平移變換將題干中的已知條件進(jìn)行適當(dāng)集中，使得題干中隱含的條件得到充分展示，這樣能夠使得學(xué)生快速解題.

解 將BD沿著BC方向平移至CE位置，

得到平行四邊形BCDE，

因?yàn)锳D∥BC，

所以點(diǎn)E在AD的延長線上，

所以CE=BD= 6，

AE=AD+DE=AD+BC=3，

又因?yàn)锳C= 3，且AC2+CE2=AE2，

所以AC⊥CE.

設(shè)點(diǎn)C到直線AD的距離為h，

所以h=AC·CEAE= 2.

所以S梯形ABCD=12（AD+BC）h

=12×3× 2

=3 22.

3 軸對稱變換的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)幾何解題中，軸對稱變換就是將題設(shè)中已知或隱形的某直線為軸，將圖形翻折所進(jìn)行的全等變換.軸對稱變換是利用全等形的性質(zhì)來遷移題設(shè)條件及彌補(bǔ)題設(shè)之不足而達(dá)到解決問題的有效方法.

例3 如圖3所示，在等腰三角形ABC中，D、E為斜邊AC上的點(diǎn)，滿足∠DBE=45°，求證：DE2=AD2+CE2.

分析 本例題的結(jié)論提醒AD、CE、DE首尾相連可以構(gòu)成直角三角形，因此本題可以借助軸對稱變換進(jìn)行解題.同樣的，旋轉(zhuǎn)變換也能夠使得問題得證.

證明 如圖3所示，作AB關(guān)于AD的對稱線段BF，連接DF、EF，

所以∠DFB=∠DAB=45°，DF=AD，BF=BA=BC.

因?yàn)椤螮BF=45°-∠DBF=45°-∠DBA=∠EBC，

又因?yàn)锽E=BE，

所以△BEF≌△BEC.

所以EF=EC，∠BFE=∠BCE=45°，

∠BFE+∠BFD=90°，

所以DE2=DF2+EF2，

所以DE2=AD2+CE2.

4 相似變換的應(yīng)用

所謂相似變換就是指代把一個(gè)圖形放大或者縮小若干倍后得到的圖形跟原來的圖形相似.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，相似變換的用途十分廣泛.

例4 如圖4所示，為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O′B′比較棒子的影長A′B′與金字塔的影長AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′=1米，A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.

分析 對于一些生活實(shí)際案例的解題中，教師們需要引導(dǎo)學(xué)生們充分利用相似變換的性質(zhì)，使得學(xué)生們能夠?qū)⑻嶙h整合為熟悉的幾何圖形，從而找到解題的思路.

解 因?yàn)樘柟馐瞧叫泄饩€，

所以∠OAB=∠O′A′B′，

因?yàn)椤螦BO=∠A′B′O′=90°，

所以△OAB∽△O′A′B′，

所以O(shè)BO′B′=ABA′B′

所以O(shè)B=AB×O′B′A′B′=274×12=137（米），

即金字塔高度OB為137米.

綜上所述，在初中幾何問題的解題教學(xué)中，教師們需要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成相應(yīng)的解題思路.幾何變換法是解決平面幾何問題的重要方法.無論是旋轉(zhuǎn)變換、平移變換、軸對稱變換還是相似變換都有其自身的優(yōu)點(diǎn)和局限性，數(shù)學(xué)教師們可以讓學(xué)生對具體問題進(jìn)行具體分析，根據(jù)問題中的特征選取合適的解題方法.

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