石平

【摘要】在拋物線背景下，直角三角形存在問(wèn)題是動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法在特殊背景下的運(yùn)用.圖形重組和重建能靈活的展現(xiàn)數(shù)學(xué)題解題方法美感少機(jī)械的數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算比例.通過(guò)分析繪圖找到符合條件的點(diǎn)然后再在"互余三角形"或者"三垂直模型"中利用相似或者勾股定理得到相應(yīng)的分式方程或者一元二次方程去進(jìn)行模型構(gòu)建.分類討論思想和待定系數(shù)法是基本方法，運(yùn)用尺規(guī)畫圖尋找符合條件的點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】解題技巧;直角三角形;拋物線型問(wèn)題呈現(xiàn)

類型1 動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的確定直線上，且直線穿過(guò)已知定點(diǎn)所連線段.

如圖1，已知拋物線，與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn) P 為拋物線的對(duì)稱軸x=上的動(dòng)點(diǎn)，求使坐標(biāo).

類型2 動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的確定直線上，且直線不穿過(guò)已知定點(diǎn)所連線段.

如圖1，已知拋物線，與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) D是點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn).點(diǎn) P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

類型3 動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，且直線不穿過(guò)已知定點(diǎn)所連線段.

如圖1，已知拋物線，與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，與 y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn) P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

2 解題思路點(diǎn)撥

求交點(diǎn)坐標(biāo)的基本思路是一樣的，設(shè)動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)，表示出縱坐標(biāo)，建立方程或方程組求解.在初等數(shù)學(xué)中表達(dá)垂直關(guān)系的方式?jīng)Q定了建立的方程或方程組的形式.或者說(shuō)，對(duì)直角三角形的不同詮釋，決定了你列的是哪種方程.

以上三個(gè)類型中，前兩個(gè)可以用三種思路，但是第三個(gè)類型若用一，二思路所列方程非常復(fù)雜難解，所以，第三種思路應(yīng)當(dāng)作為基本思路和方法教會(huì)學(xué)生.所以，研究相似三角形的圖形構(gòu)建就顯得非常的重要.本文將通過(guò)類型1的求解，談?wù)劦谌N方法的構(gòu)圖方法和解題技巧.

3 構(gòu)圖技巧例析

這兩個(gè)基本圖形是相似三角形模型中的最典型的，圖"K"形圖，圖"三垂直模型"，這兩個(gè)圖是來(lái)源于同一個(gè)基本圖形（圖4）.

我個(gè)人看法，干脆叫"互余三角形".這類方法也就可以叫"互余三角形法".構(gòu)圖思路分兩步完成，以類型1為例.

第一步，用尺規(guī)作圖方法找到符合條件的點(diǎn)的可能位置.

分別以過(guò) B，C兩點(diǎn)，作直線 BC的兩條垂線，交對(duì)稱軸于 P1，P2.以 BC為直徑畫圓交對(duì)稱軸于P3，P4.則符合條件的點(diǎn)有四處.

第二步，運(yùn)用"互余三角形"構(gòu)建相似的直角三角形模型.

第三步，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊相等列出分式方程寫出解答過(guò)程.

解

分別以過(guò) B，C兩點(diǎn)，作直線 BC的兩條垂線，交對(duì)稱軸于 P1，P2.以 BC為直徑畫圓交對(duì)稱軸于P3，P4.則符合條件的點(diǎn)有四個(gè).

4 中考真題賞析

例1 二次函數(shù) y=ax2ax+3的圖像過(guò)點(diǎn) A（6，0），且與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn) M在該拋物線的對(duì)稱軸上，若△ABM 是以AB為直角邊的直角三角形，則點(diǎn) M的坐標(biāo)

（2020年江蘇省無(wú)錫市）

解

參考文獻(xiàn)：

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