王景泉

圓是初中幾何中的重點(diǎn)內(nèi)容，在整個(gè)中學(xué)階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有著舉足輕重的地位和作用，因此，本章也是升學(xué)考查的重點(diǎn)。其中圓的有關(guān)性質(zhì)是全章的基礎(chǔ)，是學(xué)好本章的關(guān)鍵，與圓有關(guān)的各種位置關(guān)系是全章的主要內(nèi)容，也是本章思想方法的主要載體，要通過對(duì)這些知識(shí)的學(xué)習(xí)、理解和掌握，逐步提高綜合分析能力、運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)思想和方法解決問題的能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合即運(yùn)用數(shù)和形的關(guān)系來(lái)解決數(shù)學(xué)問題，一方面可以借助數(shù)的精確性來(lái)說明形的某些屬性，另一方面也可借助形的直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系。數(shù)形結(jié)合的思想是中學(xué)內(nèi)容中，它也是非常重要的研究方法。從點(diǎn)和圓的位置關(guān)系開始，到直線和圓的位置關(guān)系，都是用數(shù)、形結(jié)合的方法準(zhǔn)確地給予闡明。經(jīng)常地用數(shù)形結(jié)合的思想去處理問題，能使數(shù)與形的雙向思維得以不斷升華。

二、分類討論思想的運(yùn)用

當(dāng)我們研究點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的時(shí)候，就要從不同的位置關(guān)系去考慮，全面揭示各種可能的情況，這種位置關(guān)系的考慮與分析，就是分類討論思想的運(yùn)用。今后凡是涉及位置關(guān)系的知識(shí)都要進(jìn)行必要的討論，所以分類討論思想的應(yīng)用是圓這一章知識(shí)的

最大特點(diǎn)。

例如：已知橫截面直徑為100cm的圓形下水道，如果水面寬AB為80cm，求下水道中水的最大深度。

[分析]水面AB所對(duì)的弧可能是劣弧，如圖①當(dāng)水面AB所對(duì)的弧是劣弧時(shí)（圓心在水面以上），過圓心O作OE⊥AB，垂足為E，延長(zhǎng)OE交⊙O于點(diǎn)F，則BE=AB=40，OB=50，由勾股定理可得OE=30，此時(shí)水深EF=20，當(dāng)水面AB所對(duì)的弧是優(yōu)弧時(shí)（圓心在水面以下），同理可求得EF=80，所以水的最大深度為20cm或80cm

因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形，所以不少與圓有關(guān)的線段和角的問題不止一解。注意分類思想在解題中的運(yùn)用，這是因?yàn)榻陙?lái)全國(guó)各地經(jīng)常出現(xiàn)與本章知識(shí)相關(guān)的兩解或多解的試題。分類討論問題的關(guān)鍵是要弄清引起分類討論的原因，明確分類討論的對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)，不同的標(biāo)準(zhǔn)分類的結(jié)果也不同，分類必須做到不遺漏、不重復(fù)。

三、轉(zhuǎn)化思想在解題中的運(yùn)用

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題中的重要策略，一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決總是靠轉(zhuǎn)化而完成。不斷地使用所提供轉(zhuǎn)化的題材，掌握轉(zhuǎn)化思想，對(duì)提高我們的數(shù)學(xué)綜合能力極其重要。轉(zhuǎn)化方法一般有化大題為小題，化抽象為具體，化陌生為熟悉，總之目標(biāo)是化復(fù)雜為簡(jiǎn)單。在平面幾何

中，由于研究的對(duì)象是圖形，所以它們的轉(zhuǎn)化是依靠圖形變換得到的。因此，轉(zhuǎn)化的思想是初中階段接觸的最為廣泛的數(shù)學(xué)思想，如等積問題轉(zhuǎn)化為相似三角形問題，四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，弧的問題轉(zhuǎn)化為弦或角的問題等。

例如：如圖，設(shè)P、Q為線段BC上的兩定點(diǎn)，且BP=CQ，A為BC外一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使∠BAP=∠CAQ時(shí)，△ABC是什么三角形？

[分析]]將A點(diǎn)的位置特殊化就能猜想出結(jié)論。

解：作△ABC的外接圓⊙O，延長(zhǎng)AP交⊙O于D，連結(jié)BD，延長(zhǎng)AQ交⊙O于E，連接CE;∵∠BAD=∠CAE，∴BD（⌒）=CE（⌒）?∴BD=CE，∴∠1=∠2又∵BP=CQ，∴BDP≌△CEQ∴∠D=∠E，AB（⌒）=AC（⌒），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形轉(zhuǎn)化思想是解決幾何證明的重要思想，輔助線：圓，是達(dá)到轉(zhuǎn)化目的的重要手段之一。

四、方程思想的應(yīng)用

方程按其定義說就是含未知數(shù)的等式。因此，當(dāng)已知一些量時(shí)，可以根據(jù)題意，建立這些量之間的等量關(guān)系式，即建立方程，然后通過方程的知識(shí)求出需求的量，這就是方程思想。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，而方程則是溝通數(shù)量關(guān)系的橋梁。方程思想在初中數(shù)學(xué)中有很重要的地位，而“圓”更為方程思想提供了廣闊的馳騁空間。聯(lián)系近幾年來(lái)的中考命題，圓與方程或方程組結(jié)合的命題占有很重的位置。我們一定要在平常學(xué)習(xí)中，經(jīng)常地反復(fù)地使用方程思想。

通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)逐步掌握認(rèn)識(shí)事物的正確思維方法，正確處理直接與間接，特殊與一般，靜止與運(yùn)動(dòng)，局部與整體之間的辯證關(guān)系，同時(shí)，以上幾種數(shù)學(xué)思想是近年考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力的活躍的形式。它的合理運(yùn)用，也將大大激活綜合題的迎考復(fù)習(xí)。