曹昭

摘要：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)是衡量兩個定距變量之間相關(guān)方向和程度的三個不同指標。盡管這三個指標有著不同的含義和計算方法，但是它們之間有著極為嚴密的邏輯關(guān)系。闡釋這種邏輯關(guān)系具有非常重要的理論和現(xiàn)實意義。

關(guān)鍵詞：協(xié)方差;相關(guān)系數(shù);回歸系數(shù)

變量之間的相關(guān)關(guān)系，特別是定距變量之間的相關(guān)關(guān)系是社會科學的重要研究內(nèi)容之一。在社會學研究中，我們一般用三個數(shù)量指標來衡量兩個定距變量之間的相關(guān)程度。這三個指標分別是：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)。雖然這三個指標的計算方法和具體含義有著明顯的區(qū)別。但是，經(jīng)過仔細分析，會發(fā)現(xiàn)它們之間有著邏輯上的內(nèi)在統(tǒng)一性。對協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的計算方法、數(shù)學含義進行分別闡釋的基礎(chǔ)上，揭示出三者之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，對大部分統(tǒng)計學的初學者而言，具有非常重要的理論和現(xiàn)實意義。在本文接下來的內(nèi)容中，將分別對協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)的計算方法、數(shù)學含義做出說明并進一步揭示三者之間的內(nèi)在聯(lián)系。

一、協(xié)方差的計算方法和數(shù)學含義

在日常的工作和生活中，會經(jīng)常面對兩個定距變量是否相關(guān)的問題：比如人的身高與體重、人的受教育年限和工資收入、某一商品的定價與銷售量之間是否存在一定的相關(guān)性呢？為了驗證或判斷兩個定距變量之間的相關(guān)程度，常用的方法就是繪制“散點圖”。要想繪制兩個變量的散點圖，首先要做的工作就是收集和整理兩個變量不同觀測值的原始數(shù)據(jù)。比方說，要探索人的體重與身高兩個變量的相關(guān)程度，首先必須收集這兩個變量不同觀測值的原始數(shù)據(jù)。為了研究的方便，可以把人的體重作為因變量Y，把人的身高作為自變量X。假定已經(jīng)獲得了因變量Y（人的體重）和自變量X（人的身高）的n組觀測值，如表1所示。我們來具體討論散點圖的繪制和協(xié)方差的計算方法，然后說明它們蘊涵的數(shù)學思想。

根據(jù)上面表格提供的數(shù)據(jù)，可以把上面的每一對觀測值（xi，yi）作為不同的點在直角坐標系中表示出來。當然，這一直角坐標系的縱軸表示體重，橫軸表示身高。這樣，就得到了能大致揭示人的身高和體重兩個變量之間相關(guān)程度的散點圖。令人遺憾的是，通過散點圖我們只能對兩個變量是否存在線性相關(guān)關(guān)系做出模糊的判斷。要想進一步了解兩個變量的相關(guān)程度，還需要對搜集的數(shù)據(jù)進行進一步的處理和加工。一般說來，通過計算兩個定距變量的協(xié)方差，能夠使人對它們變化方向的一致與否做出較為明確的判斷。接下來，我們就對協(xié)方差的計算方法及其數(shù)學含義進行簡單的分析和說明。

就上面的例子來說，我們可以在因變量Y（體重）和自變量X（身高）的散點圖上，通過點（ ， ）分別作平行于縱軸和橫軸的兩條直線。（其中 =∑x /n，? =∑y /n）那么，這兩條支線就把原來的散點圖劃分為四個象限。

此時，如果原來散點圖中的點落在一、三象限部分的數(shù)量超過落在二、四象限部分的數(shù)量，就意味著自變量X和因變量Y具有正的線性相關(guān)關(guān)系。這表明，當自變量X的取值高于其自身的平均值 時，因變量Y的取值也大多數(shù)高于其自身的平均值 ，當自變量X的取值低于其自身的平均值? 時，因變量Y的取值也大多數(shù)低于其自身的平均值 。因此，兩個變量X、Y總的來說具有大致一致的變化方向，即因變量Y隨著自變量X的增加而增加;反之，如果原來散點圖中的點落在二、四象限部分的數(shù)量超過落在一、三象限部分的數(shù)量，就意味著自變量X和因變量Y具有負的線性相關(guān)關(guān)系。這表明，當自變量X的取值低于其自身的平均值? 時，因變量Y的取值卻大多數(shù)高于其自身的平均值 ，當自變量X的取值高于其自身的平均值? ?時，因變量Y的取值卻大多數(shù)低于其自身的平均值 。因此，兩個變量X、Y總的來說具有大致相反的變化方向，即因變量Y隨著自變量X的增加而減少。當然，如果原來散點圖中的點均勻分布在四個象限內(nèi)，則說明自變量X和因變量Y沒有線性關(guān)系。

以上的分析，只是從直觀上對兩個定距變量是否相關(guān)的判斷方法，為了對兩個定距變量的相關(guān)性進行更充分的分析和說明，人們提出了“協(xié)方差”這一概念指標。協(xié)方差指標所蘊含的數(shù)學思想是：如果散點圖中的點分布在一、三象限內(nèi)，那么（xi- ）與（yi- ）必然是同號的，要么同時為正，要么同時為負，兩者的積（xi- ）（yi- ）一定是正數(shù);反之，如果散點圖中的點分布在二、四象限內(nèi)，那么（xi- ）與（yi- ）必然是異號的，兩者的積（xi- ）（yi- ）一定是負數(shù)。因此，我們可以把n個（xi- ）（yi- ）的值加起來求平均數(shù)，如果平均數(shù)大于零，說明散點圖中的點大多數(shù)在一、三象限，此時，兩個定距變量具有正的線性相關(guān)關(guān)系;如果平均數(shù)小于零，說明散點圖中的點大多數(shù)在二、四象限，此時，兩個定距變量具有負的線性相關(guān)關(guān)系。（xi- ），（yi- ）以及（xi- ）（yi- ）的取值情況可以用表2表示。

根據(jù)上面的說明，協(xié)方差的計算公式可以表示為：

Cov（Y，X）=∑（xi- ）（yi- ）/n，根據(jù)它的符號我們能夠大致判斷兩個定距變量的相關(guān)方向。但是，由于協(xié)方差的大小會隨著自變量與因變量取值單位的變化而變化，它不能精確反應兩個定距變量的相關(guān)程度。就上面我們所舉事例來說，如果我們要計算體重和身高兩個變量的協(xié)方差，在體重以“千克”為單位、身高以“厘米”為單位的情況下與體重以“千克”為單位，身高以“毫米”為單位的情況相比較，協(xié)方差會擴大近10倍。為了克服協(xié)方差這一指標，受變量取值單位影響的弊端，統(tǒng)計學上通常用“相關(guān)系數(shù)”這一指標來衡量兩個定距變量的相關(guān)程度。接下來，我們就對相關(guān)系數(shù)的計算方法和數(shù)學思想進行簡單的分析、說明。

二、相關(guān)系數(shù)的計算方法和數(shù)學含義

為了克服協(xié)方差受兩個變量取值單位影響的弊端，可以把數(shù)據(jù)（xi- ）和（yi- ）進行“標準化”處理。具體的方法是把每一個（xi- ）和（yi- ）都分別除以其自身的標準差。這樣，兩個變量的每次變化都擺脫了取值單位的影響。因為無論兩個自變量的計量以何種單位為標準，其自身的標準差也必然以同樣的單位為計量標準。為了說明相關(guān)系數(shù)的計算方法，我們先把（xi- ）與（yi- ）的取值標準化，并把兩者以及它們的積，用表3列示出來。

在表3中，我們可以把第二列的每一行看作是：以標準差為單位，自變量X每次變化的數(shù)量。在n取值較大的情況下，我們可以假定，總的說來，在n個觀測值的情況下，自變量X的變化總共為n個標準差（這就是第二列的最后一行為n的原因）。同理，上表第四列的每一行則可以看作，以標準差為單位，由于自變量X的每次變化，所帶來的因變量Y的變化量。在以各自標準差為單位的情況下，如果我們計算由于自變量X的變化，所帶來的因變量Y的變化的加權(quán)平均數(shù)，所得到的結(jié)果就是相關(guān)系數(shù)。其表達式為：

R=∑（xi- ）（yi- ）/nSxSy，相關(guān)系數(shù)R的數(shù)學含義為：平均來說，自變量X每變化其自身的一個標準差，所導致因變量Y變化其自身標準差的數(shù)量。就上面我們所舉的例子來說，如果我們根據(jù)收集的觀測數(shù)據(jù)計算出體重和身高兩個定距變量的相關(guān)系數(shù)R為0.75，就表示，平均來講，如果人的身高每增加或減少其自身的1個標準差，那么人的體重就相應變化其自身的0.75個標準差。

與協(xié)方差相比，相關(guān)系數(shù)這一指標有效克服了兩個定距變量的取值單位對相關(guān)關(guān)系計算的影響，能夠有效衡量兩個定距變量之間的相關(guān)方向和相關(guān)程度，是統(tǒng)計學中較為常用而有效的指標之一。需要注意的是，相關(guān)系數(shù)的取值范圍必然在-1和1之間。當相關(guān)系數(shù)為零時，并不表示兩個變量不相關(guān)，而只是說明這兩個變量之間沒有線性相關(guān)性。

通過計算相關(guān)系數(shù)，能夠?qū)蓚€定距變量的相關(guān)程度進行一般把握。但是，在實際的社會調(diào)查研究就中，我們對兩個定距變量關(guān)系的探討往往是在特定的取值單位下進行的，需要明確，某一變量一定單位的變化，所可能導致的另一個變量的具體變化情況。具體來說，如果要探索體重和身高的相關(guān)關(guān)系，我們往往想知道的是，平均來講，人的身高每增加或減少1厘米，體重的變化相應是多少千克。在這種情況下，需要計算的是回歸系數(shù)，而不是相關(guān)系數(shù)。在接下來的內(nèi)容中，我們進一步對回歸系數(shù)的計算方法和數(shù)學含義進行說明。

三、回歸系數(shù)的計算方法和數(shù)學含義

由上文對相關(guān)系數(shù)的分析得知，如果兩個定距變量的相關(guān)系數(shù)為R，就意味著平均起來，每當自變量變化其自身的1個標準差，因變量就相應變化其自身的R個標準差。也就是說，如果以各自的標準差為單位，因變量與自變量變化量的比值為R/1。假如現(xiàn)在我們面臨的問題是，在自變量與因變量都有特定取值單位的條件下，自變量每發(fā)生1個取值單位的變化，因變量發(fā)生的變化是多少。此時，我們只要對相關(guān)系數(shù)進行適當?shù)霓D(zhuǎn)換，就可得出答案。

因為，在以各自的標準差為單位的情況下，因變量與自變量變化量的比值為R/1，那么在自變量和因變量都有特定取值單位的條件下，因變量與自變量變化值的比例可以寫為：RSy/SX，這一比值的大小就是回歸系數(shù)B，把相關(guān)系數(shù)R=∑（xi- ）（yi- ）/nSxSy代入，可得回歸系數(shù)的表達式為：

B=∑（xi- ）（yi- ）/nS

=∑（xi- ）（yi- ）/∑（xi- ）2

=∑xiyi- n? /∑x? - n 2

回歸系數(shù)B的數(shù)學含義為：平均而言，自變量X每變化1個取值單位，因變量Y相應變化的取值單位的數(shù)量。以本文開始的事例來說，如果根據(jù)收集到的體重和身高的觀測數(shù)據(jù)（假設(shè)身高的單位是厘米，體重的單位是千克）計算出的回歸系數(shù)為2，就表明，平均來講，如果人的身高每增加1厘米，體重就會相應增加2千克。當然，對于兩個定距變量的其回歸系數(shù)B，也可以用最小二乘法求出其表達式。在這里，我們之所以根據(jù)相關(guān)系數(shù)R求得其表達式，目的是為了更好地揭示相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系及其各自的數(shù)學與統(tǒng)計學蘊涵。

通過本文的分析，可以看出：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)三者之間有著極為嚴密的內(nèi)在邏輯關(guān)系。相關(guān)系數(shù)可以看作是標準化了的協(xié)方差。通過“標準化”，相關(guān)系數(shù)克服了協(xié)方差受兩個變量取值單位影響的弊端。相關(guān)系數(shù)表示的是，在以各自標準差為單位的條件下，兩個定距變量平均變化量的比值;而回歸系數(shù)則表示在兩個定距變量都有特定取值單位的條件下，平均而言，自變量每變化1個取值單位，因變量的相應變化量。而且，兩者是可以相互推出的。

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*本文系商丘師范學院科研啟動經(jīng)費資助項目（編號：7001/700146）暨河南省高校哲學社會科學創(chuàng)新團隊項目（編號：2020-CXTD-11）的研究成果。

（作者單位：商丘師范學院）