趙華

一、問題的提出及研究背景

自《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱“新課標”）頒布以來，高中數學各版本新教材相繼問世。將蘇教2019年版與2005年版教材（下文簡稱“新教材”“舊教材”）進行對比，不難發(fā)現：新、舊教材間存在顯著差異，但也有不變的內容。查看人教2019年版教材，發(fā)現其與蘇教版新教材在同一課題的編寫上也存在著巨大差異。面對新、舊教材以及新教材間的異同，一線教師要如何理解以便使用好新教材呢？

本文以“正弦定理”為例，著重從課程標準視角來理解蘇教版新、舊教材間的異同點：章節(jié)架構、問題設計、定理證明、概念描述和例題設計，同時參考了人教A版新教材。

二、教材對比分析及理解

正弦定理是高中數學中研究三角形邊角關系的重要結論，也是解三角形的重要定理。下面將從章節(jié)架構、問題設計、定理證明、概念描述、例題設計等五個方面闡述對新、舊教材的對比分析及理解。

（一）章節(jié)重構，突出課程主線

教材內容的章節(jié)位置，不僅代表其在課程中的地位，同時體現課程的整體設計思路。

對比新、舊教材，發(fā)現正弦定理均設置在“解三角形”一章，只是節(jié)順序有所調整，同時章順序也發(fā)生重大變化。由此可見，新教材對課程內容的章節(jié)設置做了重大調整。按照新課標要求，在課程結構上，課程內容分為四條主線：函數、幾何與代數、概率與統(tǒng)計、數學建?；顒优c數學探究活動。在主線設計思路下，同一主題內容要相鄰而置，同主題下的內容要銜接自然。因而新教材就不得不對章節(jié)進行重構。正弦定理屬于幾何與代數主線，由于向量是聯系幾何與代數的天然橋梁，而正弦定理是刻畫幾何圖形三角形的代數形式，故在同一主題下，“向量”（第9章）章節(jié)先于“正弦定理”（第11章）。同為解三角形的重要定理，余弦定理與向量的聯系更緊密、過渡更自然，因而余弦定理設置先于正弦定理。在突出課程主線的設計思路下，章節(jié)重構后的新教材使用起來更順暢。

人教A版新教材沒有設置“解三角形”一章，而是將解三角形的兩個重要定理設置在“平面向量的應用”中。但從章節(jié)劃分上看，它的整體性更好，更能突出課程主線。當然，這樣設置在強化了平面向量應用的同時，也弱化了“解三角形”的地位。

（二）問題設計，注重知識關聯

不同的導入問題會將活動探究引向不同方向。同一章的多個子節(jié)內容，既可采用不同問題導入，也可采用相同問題導入。大體上，好的導入問題或者從不同方向聚焦本質，或者從同一方向發(fā)散聯結。新教材對正弦定理的導入設計屬于后者。

在“正弦定理”的導入問題上，新教材僅用一句話：“還有其他途徑將向量等式■=■+■數量化嗎？”而在舊教材中，則是從特殊的直角三角形入手，先得到正弦定理，再提出一般猜想。相比之下，舊教材的導入更符合學生認知規(guī)律，突出數學思想方法。那為何要做此變更？新課標在課程結構的設計依據中明確指出，要“依據數學學科特點，關注知識之間的關聯”。舊教材正是因為沒有關注到正、余弦定理之間的關聯性，才采用不同問題設計。而新教材則將正、余弦定理聯系起來看待，采用同一個導入問題，自然而然地揭示它們之間的關聯性。

當然，同一個問題依賴于兩種不同的數量化處理導出兩個不同的定理，雖然顯現兩個定理間的關聯性，但由于向量等式數量化的方法并不唯此兩種，還可能導出其他結論，如射影定理。因而這樣的導入方式也承擔了一定的風險。相比之下，人教2019年版中的導入方式似乎更高明些，它相當于將蘇教新、舊教材的導入方式進行了整合。

（三）證法調整，側重向量方法

關于正弦定理的推導方法頗為豐富，古有同徑法和外接圓法，現有作高法、等積法、坐標法和向量法等。但教材受篇幅局限性的影響，并不能將其一一羅列。因而，教材對推導方法必須有所選擇、有所側重。

舊教材首先提供了四種途徑去嘗試證明（如上表），分別為作高法、坐標法、外接圓法、向量法。隨后給出了（1）和（4）的詳細證明過程。新教材則因為沿用了前一節(jié)的“向量式”導入，順其自然地給出了向量法的證明過程，而將（1）作為思考題提出。至于外接圓法，兩版教材均以課后探究題形式出現。新教材比舊教材更側重于向量法的運用。除了向量法是順應導入問題的必然選擇外，還有一個重要原因。新課標要求，通過數學課程的學習，學生要獲得基本思想方法。具體到幾何與代數主線下，就是要學會運用研究圖形的四個基本方法：綜合法、分析法、解析法和向量法。由于向量概念起源于幾何，是研究幾何圖形的基本方法。而三角形又是基本幾何圖形。因而在研究三角形時，側重于向量法的運用具有典型性和代表性。

人教版新教材在正弦定理的推導方法上不存在側重于哪一種方法的糾結。因為章節(jié)架構不同，導致正弦定理的推導背景不同。它以平面向量的應用為推導背景，運用向量法推導正弦定理順理成章。而蘇教版新、舊教材都是以解三角形為推導背景，面對多種解決途徑，自然不可避免地要進行側重權衡。

（四）概念完善，凸顯核心素養(yǎng)

從知識角度來看，“解三角形”一章應包含兩個重要定理和一個基本概念（解三角形）。但舊教材并未給出基本概念，而是以備注形式定義了“解斜三角形”，新教材則不同。那么，從“解斜三角形”到“解三角形”的變更意味著什么？

就名稱而言，斜三角形是指非直角三角形，而三角形是指任意三角形。如果說直角三角形是特殊三角形，那么斜三角形也是特殊三角形。因此，舊教材實現了從一種特殊情況入手解決了另一種特殊情況，即完成從特殊到特殊的推理。新教材則是在舊教材的基礎上，對三類三角形的結論進行整合、歸納，得出一般結論，實現了從一種特殊情況入手解決了一般情況，即完成從特殊到一般的推理。新課標最大的變化即提出了數學學科的六個核心素養(yǎng)，其中邏輯推理包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，一類是從一般到特殊的推理。因而，從“解斜三角形”到“解三角形”，表面上看是概念名稱的一字之變，實質上是課標要求從關注知識上升到關注素養(yǎng)的轉變。

（五）例題設置，貫徹“四基”要求

縱觀新教材正弦定理整節(jié)內容，無論是從章節(jié)架構到問題設計，還是從證明方法到核心概念都變更出新，卻有一個環(huán)節(jié)保持不變——例題設置。

仔細研究發(fā)現，新教材中的例題保持不變與新課標提出的“四基”要求密切相關。新課標要求，通過數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，簡稱“四基”。而教材中的例題，不同于一般的習題，除了具有示范性作用外，它還具有基礎性和典型性，是直接圍繞數學核心概念和思想方法的基本問題，或者是通過概念之間的關聯產生的典型例題。因而，教材中的例題是學生獲得“四基”的重要載體之一。舊教材中的例題能夠延續(xù)到新教材中來，說明其本身已經充分體現了“四基”要求。這樣的例題更值得教師在備課中深入思考，在課堂教學中充分利用，以達到通過例題的學習讓學生獲得“四基”的目的。

三、教材理解中的困惑

盡管從新課標視角去理解新教材的變更與否更容易，但同時也存在一些困惑。比如，新教材重點突出了向量法對三角形的研究。但縱觀整章內容，除了定理證明，涉及向量法的題目共有三道，似乎有些虎頭蛇尾了。所以在教學中如何協調向量法與解三角形的地位問題，值得我們進一步去研究與探索。