【摘 要】 問題化學習課堂以問題為抓手，用一連串問題助推學生實現(xiàn)深度學習，發(fā)展學生學科思維，提升學生核心素養(yǎng).學生要能深刻理解并把握學習內(nèi)容的核心和聯(lián)系，教師可從情景引入、合作探究、組內(nèi)追問、感悟升華等方面做嘗試.

【關(guān)鍵詞】 問題化學習;深度學習;弧長

問題化學習課堂是以學生的問題為出發(fā)點，通過一系列問題來推動學生持續(xù)性的學習.為了更好地提升問題化學習課堂中學生的學科核心素養(yǎng)，我們要關(guān)注學生的學習是否真正實現(xiàn)了深度學習.我國黎加厚教授最早對深度學習概念進行界定，他提出：“所謂深度學習，就是基于理解性學習的基礎(chǔ)，發(fā)展自身的學科思維，從而獲取新的知識.”深度學習不是通過題海戰(zhàn)術(shù)磨煉學生，而是從知識本身的結(jié)構(gòu)推動學生的發(fā)展，深度較淺層學習來說，更加注重知識的理解與應(yīng)用[1].

筆者于2021年12月參加了2021年“問題化學習”全國教育年會線上展示，執(zhí)教了“弧長”一課，嘗試在問題化學習課堂中促進學生的深度學習，受到了點評專家和與會教師的一致好評.現(xiàn)對課堂教學整理如下，與大家一同交流.

1 教材分析

1.1 教學內(nèi)容

本課選自上海教育出版社九年義務(wù)教育數(shù)學課六年級第一學期第四章“圓和扇形”.本章內(nèi)容是建立在小學直觀認識圓的基礎(chǔ)上，學習圓的周長的計算后，再從整體到部分，研究圓弧.這課的教學中需要滲透“由特殊到一般”的數(shù)學思想，它既是前面所學直觀地認識幾何形體特征以及有關(guān)計算的延續(xù)和發(fā)展，又為今后逐步由實驗幾何階段轉(zhuǎn)入論證幾何階段作好滲透和準備.因此，使學生學好這一知識，理解弧長公式的推導過程，提高運用公式進行計算的能力是十分必要.

1.2 教學目標

（1）通過觀察，自主發(fā)現(xiàn)與聚焦核心問題，在合作交流中表達對弧長與圓心角、半徑關(guān)系的看法;

（2）通過自主探究的方式推導弧長的計算公式，進行舉一反三的追問，學會遷移應(yīng)用，掌握弧長公式，并用公式進行有關(guān)的計算;

（3）在歸納推理中，尋找解決弧長問題的辦法和路徑，體悟由特殊到一般的數(shù)學思想.

1.3 教學重難點

（1）教學重點：弧長公式的推導和運用;

（2）教學難點：弧長公式的推導.

1.4 核心問題和問題系統(tǒng)分析

（1）核心問題：陀螺為什么會變成“七彩”;

（2）問題系統(tǒng)：（見圖1）.

2 學情分析

“圓和扇形”這一章節(jié)內(nèi)容是學生進入初中階段學習后第一次接觸幾何部分的學習，學習是以直觀認識為主，但需要學生逐漸養(yǎng)成用確切、簡明的數(shù)學語言表述概念，并初步接觸通過歸納推導出公式的方法.這些對于六年級的學生來說存在一定的難度，因此本課設(shè)計了弧長隨著圓心角和半徑的變化而變化的展示活動，以動態(tài)幾何的觀點，讓學生的認識由特殊逐步上升到一般，從而推導弧長公式.

3 教學實錄

3.1 觀看視頻，引出問題

師：這個周末，老師請大家回家嘗試著做一下七彩陀螺，下面我們一起來觀看小王同學的制作視頻吧！

（觀看七彩陀螺視頻）

師：看完視頻，大家有什么困惑嗎？

生1：我的困惑是，為什么原本三色陀螺，轉(zhuǎn)起來會變成七彩呢？

生2：陀螺可以被抽象成數(shù)學中的什么圖形呢？

師：有人可以幫助他們解答嗎？

生3：視頻中同學調(diào)整了三個不同色塊的大小，從而使得旋轉(zhuǎn)后的顏色發(fā)生了變化.

師：那另外一個問題誰來解答呢？

生4：陀螺可以被抽象成圓.

師：大家說得都非常好，那么今天讓我們一起來探討七彩陀螺中的數(shù)學知識.

（教師呈現(xiàn)圖片，見圖2）

師：請在圖中指出本節(jié)課的研究對象.

生5：（學生上臺指著圖片）本節(jié)課的研究對象是圓心角和弧AB.（學生齊聲朗讀PPT中的圓心角和弧的概念）

師：讓我們一起來辯一辯，哪些是圓心角，哪些不是圓心角？請大家思考后將答案寫在學習單上.（見圖3）

師：請同學來分享想法.

（學生上臺圈出了（1）和（2））

師：你來說一說為什么這兩個是圓心角呢？

生6：圓心角的兩條邊應(yīng)該是圓的半徑，圓心角的頂點是這個圓的圓心.

師：那么判斷圓心角的關(guān)鍵是什么呢？

全體學生：圓心和半徑是否是圓心角的頂點和兩條邊.

師：先前同學回答過，七彩陀螺會變成七彩的原因是因為色塊的大小發(fā)生了變化，那么你能說出色塊的大小變化可以被抽象成圓中的什么元素在改變嗎？

生7：就是圓心角變了.

3.2 合作探究，推導公式

師：剛才有同學還提到，本節(jié)課的研究對象還有弧，那么請問弧長受什么因素影響呢？

生8：弧長會受圓心角和半徑影響.

師：那么它們之間到底有什么樣的關(guān)系呢？請大家一起來觀看一組動畫.

（觀看動畫）

生9：在動畫1中，我發(fā)現(xiàn)當半徑不變時，弧長隨著圓心角的變大而變大.

生10：在動畫2中，我發(fā)現(xiàn)當圓心角不變時，弧長隨著半徑的變大而變大.

師：請問弧長和圓心角和半徑有著什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？請大家根據(jù)學習單（見圖4），進行合作探究，完成后請小組代表分享成果.

二、合作探究，推導公式

1.獨立思考：請寫出圖中圓心角AOB的度數(shù)？并寫出圓心角AOB的弧長是圓周長的幾分之幾？

2.小組討論：圓心角AOB所對的弧長與圓的周長的比值和圓心角有什么關(guān)系？

3.推測：

（小組合作，教師巡視）組內(nèi)追問記錄：

生1：這個問題（見圖5）我不太會填，你能教我一下嗎？

生2：圖中的圓心角是多少度呢？

生1：圓心角是360°

生2：圓的周角是多少度呢？

生1：圓的周角也是360°.

生2：那么圓心角與周角的比值是幾呢？

生1：比值是1.

生2：這個圖中的弧AB和圓的周長有什么關(guān)系呢？

生1：兩者是相等的.

生2：那么弧AB和圓的周長的比值是幾呢？

生1：比值也是1.

生2：那么你覺得圓心角與周角的比值和弧AB和圓的周長的比值有什么關(guān)系呢？

生1：它們是相等的，我明白了.

（小組討論結(jié)束，學生代表上臺分享成果）

師：通過討論，你們小組得出了什么結(jié)論呢？

生11：通過六等分、三等分、二等分、不等分圖中，根據(jù)特殊數(shù)值關(guān)系，我們猜測

因此，我組的結(jié)論是圓心角與周角的比值和弧長與圓周長的比值是相等的.

師：那么請大家繼續(xù)討論，你能用你學習過的知識根據(jù)上述等量關(guān)系，推導出弧長和圓心角、半徑的關(guān)系式嗎？

（小組討論后，學生代表上黑板板演推導過程）

（1）半徑越大的弧越長.

生13：我覺得這題是錯的，因為弧長不僅和半徑有關(guān)，還和圓心角有關(guān).

（2）所對圓心角相同時，半徑越大的弧越長.

生14：我覺得這題是對的.

（3）所對圓心角越大的弧越長.

生15：我覺得這題是錯的，因為圓心角越大弧越長的前提是半徑要不變.

3.3 運用公式，解決問題

師：既然我們已經(jīng)搞清楚了弧長和半徑、圓心角的等量關(guān)系，那么接下來我們一起來學習如何使用它，請看如下例題（見圖6）.

1.如圖，等邊三角形ABC的邊長為60毫米，以點C為圓心，60毫米為半徑長畫弧，求弧AB的長.（結(jié)果保留π）

師：要解決這個問題，我們先要解決什么問題呢？

生16：先要搞清楚圓心角和半徑.

師：你能找到此題中的圓心角和半徑嗎？

生16：圓心角是∠C，半徑是60.

師：你能說出∠C的度數(shù)嗎？

生16：我沒有找到已知條件.

師：誰能來幫助他一下呢？

生17：我覺得應(yīng)該是60°.

師：你能解釋一下嗎？

生17：因為這是一個等邊三角形，三個內(nèi)角都相等，又因為三角形的內(nèi)角和是180°，所以一個內(nèi)角就是60°.

（學生集體口述過程，教師板書格式）

師：下面，請大家獨立完成小練習（見圖7）.

2.（變式）如圖，等邊三角形ABC的邊長為27毫米，分別以A，B，C為圓心，27毫米為半徑畫弧，求這三段弧長的和.（結(jié)果保留π）

（學生獨立完成，學生代表上臺分享成果）

3.4 總結(jié)方法，感悟思想

師：通過本堂課的學習，你們解決了那些問題呢？請以小組為單位，一問一答說說大家的收獲.

（組1）生18：弧長受哪些因素的影響？生19：弧長受圓心角和半徑的影響.

（組2）生20：圓的周長和弧長有什么關(guān)系？生21：因為弧是圓的一部分，所以弧長與圓的周長之比等于圓心角與周角之比.

（組3）生22：弧長的公式是什么？生23：l弧=n180·πr.

（組4）生24：用弧長公式去解決問題的時候要注意什么呢？生25：應(yīng)該要先找清楚半徑和弧所對的圓心角.

師：大家的收獲真是不少，真正進入到了我們數(shù)學的深度學習中了.

4 教學反思

在教師的引導下，學生在問題化學習課堂中，圍繞具有趣味性、挑戰(zhàn)性的數(shù)學學習主題，全身心參與到問題化學習各環(huán)節(jié)中，通過師生對話、生生對話，在一個個問題串中，尋找解決問題的辦法，掌握數(shù)學知識，領(lǐng)會數(shù)學思想，他們是在真正地深度學習.為了幫助學生實現(xiàn)問題化學習課堂中的深度學習，筆者做了以下一些嘗試.

4.1 創(chuàng)設(shè)情境，初步感知，提問題

課堂引入是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)，在該環(huán)節(jié)中不僅需要激發(fā)學生的學習興趣，還需要銜接教材內(nèi)容來幫助學生順利完成知識過渡，同時明確教學中心，為后續(xù)的課堂探究打下基礎(chǔ)[2].六年級學生主要以直觀認知為主，為了更好地幫助學生發(fā)現(xiàn)有趣數(shù)學問題背后的道理，請學生自己動手做一做“七彩陀螺”，利用課外資源尋找七彩陀螺變色的原因，并制作成視頻與大家一同分享.從親身經(jīng)歷出發(fā)，調(diào)動學生的學習積極性，并在實踐中提出本節(jié)課的核心問題.

4.2 合作探究，組內(nèi)追問，促理解

深度學習體現(xiàn)的是思維的提升，強調(diào)課堂中的“知其所以然”.“弧長”這節(jié)課的難點是弧長公式的推導，同時也是數(shù)學思想“由特殊到一般”的滲透.為了解決這一難點，課堂內(nèi)采用四人小組合作探究的形式.在探究的過程中，當有的學生遇到困難時，組內(nèi)學生通過追問的方式幫助理解.通過生生追問，再次激活學生的思維，促進他們進行更加深入的學習，讓模糊的知識清晰化，讓淺顯的思維深入化，讓被動的學習主動化，在大家互問互答的過程中，學生的學科思維得到了提升.

4.3 認識部分，對比整體，助銜接

在初中數(shù)學學習中，化歸思想是最基本的數(shù)學思想，它能有效地促進學生的數(shù)學思維向高階發(fā)展，在學生數(shù)學思維的提升方面起到非常積極的作用，對學生未來數(shù)學的學習和發(fā)展有著重要的意義，不但能提高學生解決實際問題的能力，而且能有效地培養(yǎng)學生養(yǎng)成學習數(shù)學的良好習慣[3].弧長與圓周長的關(guān)系是弧長公式推導的關(guān)鍵，它們存在部分與整體的關(guān)系，通過兩者的關(guān)系，運用等式的性質(zhì)，可以有效地解決弧長公式問題，這亦是之后理解扇形面積公式的關(guān)鍵.在課堂中，嘗試通過從特殊的弧長出發(fā)，通過六等分、三等分、二等分、不等分圖中，理解與分析出弧長與周長的關(guān)系與圓心角和周角有關(guān).將未知問題已知化，將復雜問題簡單化，這就是化歸思想的魅力.

4.4 小組總結(jié)，自我反思，再升華

知識是思維的表象，通過知識能培養(yǎng)學生思維的成長，作為每堂課的點睛之筆，課堂小結(jié)尤為重要.課堂上嘗試用小組一問一答的總結(jié)方式，幫助學生進行自我反思，分別從“什么是弧”“弧長受哪些因素的影響”“弧長公式是什么”“運用弧長公式要注意什么”等問題進行歸納與提煉，一個學生提問一個學生回答，促進學生自身思維的升華，這也是問題反思力的體現(xiàn)，即反思并發(fā)現(xiàn)自己有創(chuàng)意的學習路徑、方法及策略，體現(xiàn)了獨特、靈活的思路，升級了自己認知的方式.

參考文獻

[1]何雅晴，趙育林.基于深度學習理念的初中數(shù)學教學設(shè)計——以“二元一次方程組”為例[J].中學數(shù)學，2022（04）：32-33.

[2]管培祥.情景引入，過程探究，習題強化，綜合提升——以“直線與平面垂直的判定”為例[J].數(shù)學教學通訊，2020（15）：37-38.

[3]劉曉燕.“化歸思想”在初中數(shù)學課堂教學中的應(yīng)用探索[J].數(shù)學學習與研究，2021（30）：40-41.

作者簡介

周益（1987—），女，上海嘉定人，碩士，中學一級教師;主要研究初中數(shù)學課堂教學.