薛國清

[摘 要]數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)⒊橄蟮睦碚撝R和直觀的數(shù)學圖像緊密結(jié)合，從而讓學生構(gòu)建完善的知識架構(gòu)，提高對數(shù)學知識的理解能力，增強實踐解題能力。文章分析了數(shù)形結(jié)合思想在激發(fā)學生熱情、提升學生能力和傳遞信息方面的作用，并結(jié)合高中數(shù)學課堂的具體教學內(nèi)容，提出了在新授課和課后練習中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的策略，同時列舉了數(shù)形結(jié)合思想在實際解題中的應(yīng)用實例。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學;教學應(yīng)用

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）18-0062-03

高中數(shù)學是一門較為復(fù)雜的學科，也是一些學生的短板科目。許多教師深入研究高中數(shù)學教學方法，試圖在授課模式、技能傳授等方面有所創(chuàng)新。數(shù)形結(jié)合思想能夠有效幫助學生思考，增強學生對數(shù)學知識的記憶，讓學生在解決實際問題的過程中形成數(shù)學思想，提高數(shù)學學習興趣，它是高中數(shù)學教學中常用的思想方法。高中數(shù)學教師基于數(shù)形結(jié)合思想講述數(shù)學基礎(chǔ)知識，直觀展現(xiàn)數(shù)學原理，可讓學生了解數(shù)形結(jié)合思想，形成良好的數(shù)學思維。

一、數(shù)形結(jié)合思想與高中數(shù)學的關(guān)系

“數(shù)”和“形”是高中數(shù)學的重要概念，也是最為基礎(chǔ)的數(shù)學形式，大部分的數(shù)學問題和數(shù)學知識都圍繞著這兩個基本概念。在數(shù)學學科的演變和發(fā)展中，“數(shù)”和“形”越來越融會貫通。在高中數(shù)學教學中，通過數(shù)形結(jié)合可以揭示數(shù)學條件和數(shù)學問題之間存在的內(nèi)部規(guī)律和聯(lián)系，融合幾何直觀和代數(shù)意義，獲得良好的教學效果。高中數(shù)學的很多知識都與數(shù)形結(jié)合思想有關(guān)，比如曲線與方程的問題、實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的問題、復(fù)數(shù)問題、三角函數(shù)問題、代數(shù)式結(jié)構(gòu)問題等。

數(shù)形結(jié)合思想能夠達到“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的效果。在一些抽象的數(shù)學問題中，“以形助數(shù)”能夠讓原本抽象的數(shù)學問題具體化，使問題變得更加簡單。學生可以通過圖形把握數(shù)的規(guī)律，靈活運用數(shù)學解題方法，抓住數(shù)學問題的本質(zhì)。反之，針對一些圖形問題，比如平面幾何、立體幾何等，學生可以運用“以數(shù)解形”，讓圖形問題的數(shù)量關(guān)系更加明確，使圖形數(shù)量化。這樣，他們就可以用傳統(tǒng)的代數(shù)方法解決復(fù)雜多變的幾何問題，提高解題過程的精確性和嚴謹性。通過數(shù)形結(jié)合，學生可以將新掌握的數(shù)學知識與實踐方法相結(jié)合，在畫圖、對比的基礎(chǔ)上，深入吸收數(shù)學知識，增強數(shù)學綜合能力。在教學實踐過程中，教師需要引導(dǎo)學生對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用進行總結(jié)，在不同的知識模塊中簡化其使用過程，進而使學生的學科技能獲得質(zhì)的提升。

二、數(shù)形結(jié)合思想的價值

（一）有助于激發(fā)熱情

高中數(shù)學學科具有特殊性，大部分數(shù)學知識都具有符號化和形式化的特點，數(shù)學原理抽象且復(fù)雜，學習難度較大。通過調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)，當前有部分學生認為高中數(shù)學枯燥乏味，即便掌握了數(shù)學基礎(chǔ)知識和原理，也難以解決千變?nèi)f化的數(shù)學問題。在解決上述問題的過程中，數(shù)形結(jié)合思想能夠起到重要的作用。教師可以圖為輔，提高學生解決數(shù)學問題、鉆研數(shù)學原理的熱情。數(shù)形結(jié)合思想能夠引導(dǎo)學生正確解讀數(shù)學結(jié)構(gòu)和數(shù)學關(guān)系，幫助學生找到數(shù)學結(jié)構(gòu)和數(shù)學關(guān)系的驗證方法，指引學生反復(fù)探究數(shù)學問題的本質(zhì)，并從多個角度展開論證。如在講解幾何問題時，教師可以先將幾何知識抽象為代數(shù)知識，再將代數(shù)知識通過幾何手法展現(xiàn)出來，從而降低幾何問題的難度。又如在學習求曲線方程的相關(guān)知識時，學生需要掌握直接法、幾何法、代入法等。學生要明確，運用幾何法求曲線方程，只要結(jié)合曲線分析動點存在的幾何特征，并融入平面幾何的定理，就可以找到動點軌跡和平面幾何之間的聯(lián)系，然后從中抽象出已知量和動點的坐標，以等式的方式表達出來，經(jīng)過化簡和整理后得到軌跡方程。教師必須引導(dǎo)學生抓住數(shù)形結(jié)合思想的精髓，掌握數(shù)形結(jié)合的方法，進而激發(fā)學生的學習熱情。

（二）有助于提升能力

在高中數(shù)學教學中，大部分的基礎(chǔ)知識、數(shù)學思維都會在解題中有所呈現(xiàn)。如果學生缺乏解題能力，只會紙上談兵，那么數(shù)學教學目標便難以實現(xiàn)。通過數(shù)形結(jié)合能夠讓問題以更加清晰、直觀的形式展現(xiàn)出來，讓學生在最短的時間內(nèi)找到解題思路和解題方法，獲得數(shù)學思維的發(fā)展。比如，一道解析幾何題通常會涉及多個模塊的知識點，因此解題時學生必須在知識網(wǎng)絡(luò)中搜索解題思路，將題干給出的信息進行轉(zhuǎn)化、整合，充分挖掘隱含條件，通過畫圖、對比，做到深入研究。解析幾何中常見的問題形式有求直線的斜率、求兩點之間的距離等，很多問題還涉及最值問題。學生需要抓住題目中的代數(shù)式結(jié)構(gòu)、等式結(jié)構(gòu)所蘊含的幾何特征，嘗試用圖形來展現(xiàn)問題，建立直角坐標系，將圓、直線、曲線等幾何圖形描繪出來，從而順利解答問題。比如，直線上的兩點坐標分別為（2，7）和（8，1），求直線的斜率。在解這道題時，學生首先可以建立平面直角坐標系，然后標出這兩個點，畫出直線的幾何圖形，最后運用斜率公式，求出直線的斜率。高中數(shù)學知識是復(fù)雜的、系統(tǒng)的，而數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學生拓展數(shù)學思維，發(fā)掘想象空間，構(gòu)建問題模型。在解決一些比較復(fù)雜的問題時，可以優(yōu)先考慮數(shù)形結(jié)合的方法，但這種方法并不是萬能的，只有抓住其使用規(guī)律，才能充分發(fā)揮其價值。

（三）有助于傳遞信息

通過數(shù)形結(jié)合可以有效傳遞數(shù)學信息，幫助學生更好地理解數(shù)學知識，增強學生的記憶力。高中數(shù)學中有很多抽象的定理和概念，如果教師單純依靠解說開展教學，學生就會容易混淆概念，抓不住學習的重點，同時，教學過程也會變得枯燥。針對這種情況，教師可以通過數(shù)形結(jié)合的方法為學生展示概念背后的含義，讓數(shù)學知識可視化、直觀化。比如在教學函數(shù)時，教師可以通過圖形展現(xiàn)反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等不同的函數(shù)類型，并在此基礎(chǔ)上歸納和系統(tǒng)化函數(shù)知識。通過數(shù)形結(jié)合，學生可以深入理解函數(shù)背后的意義，掌握函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì)，在腦海中呈現(xiàn)不同函數(shù)的圖像。教師還可以為學生展示平移變換、對稱變換、伸縮變換等函數(shù)變換方法，引導(dǎo)學生對基礎(chǔ)函數(shù)進行變形，全方位學習函數(shù)知識?？梢姡瘮?shù)的相關(guān)知識與數(shù)形結(jié)合有著緊密的聯(lián)系，如果不利用圖形，函數(shù)的意義就無從體現(xiàn)。再比如，如果教師單純采用推導(dǎo)公式的方式講解中值定理的相關(guān)知識，那么學生就會在大量的公式中迷失方向，難以理解中值定理。中值定理能夠反映函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間的特定關(guān)系，對公式推導(dǎo)具有重要作用。教師可以運用數(shù)形結(jié)合的方法，指導(dǎo)學生通過圖形來理解中值定理的意義，鼓勵學生深入探究，開發(fā)學生的數(shù)學邏輯思維。

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應(yīng)用

（一）在新授課中的應(yīng)用

在課堂教學中，教師可以將數(shù)形結(jié)合思想與知識講解相結(jié)合，幫助學生更加順利地理解和掌握知識內(nèi)容，提高學習效果。在新授課中，學生對數(shù)學知識還比較陌生，教師可以運用圖形輔助教學，引導(dǎo)學生深入思考數(shù)學問題，充分復(fù)習已經(jīng)學過的知識內(nèi)容，讓學生建立完善的知識架構(gòu)，用舊知識輔助新知識的學習，并增強課堂教學內(nèi)容的直觀性。比如，在教學指數(shù)函數(shù)時，教師可以展現(xiàn)a>1和0

（二）在課后練習中的應(yīng)用

高中階段是運用數(shù)形結(jié)合方法的重要時期，很多數(shù)學題都需要借助圖像進行解答。教師可以在課后練習中滲透數(shù)形結(jié)合這種方法，以提升學生的解題思維。教師需要引導(dǎo)學生主動運用這種方法，以使學生養(yǎng)成良好的思考習慣和做題習慣，提高做題效率。如“中心投影和平行投影”的課后習題中，有關(guān)于三視圖的題目。學生需要根據(jù)一個圖形的三視圖，畫出直觀圖。這一類數(shù)學題目非常考驗學生的空間想象能力和作圖能力。有些學生經(jīng)常在畫直觀圖時出錯，這是由于沒有做好前期分析，對圖形本身不夠了解，以致腦海中呈現(xiàn)的立體圖形與實際情況存在差距。通過數(shù)形結(jié)合，學生可以從三視圖中分析出立體圖形的整體面貌，還可以用實際工具進行模擬，進而做出不同假設(shè)模型，最終完成直觀圖。這一類的課后習題有很多，教師要不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想，以使學生及時發(fā)現(xiàn)問題當中蘊含的幾何信息，最終得到答案。數(shù)形結(jié)合思想的滲透需要循序漸進，學生只有真正體會到數(shù)形結(jié)合思想的價值，才能在頭腦中構(gòu)建代數(shù)與幾何的聯(lián)系，熟練掌握這種思想方法。

（三）在實際解題中的應(yīng)用

教師需要在不同類型題目的解題過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學生找準該思想的使用方法，包括如何尋找?guī)缀涡畔?、如何作圖等，抓住所求問題，不斷挖掘條件。教師的引導(dǎo)和滲透是一方面，而另一方面，學生必須學會獨立使用數(shù)形結(jié)合思想，這樣才能在高考和現(xiàn)實問題的解決中做到有效應(yīng)用。

1.在集合中的應(yīng)用

集合在整個高中階段是非?；A(chǔ)的知識，學生需要在必修一中學習，以打下堅實的理論基礎(chǔ)。面對高一新生，數(shù)學教師不但要透徹地展示數(shù)學原理，而且要幫助學生擺脫初中的不良學習習慣，靈活運用數(shù)學知識。并集和交集是集合知識中的難點問題，學生需要理解并集、交集、補集等概念。集合之間的關(guān)系可以用Venn圖來表示。例如，已知全集U={x|x小于10，且x?N}，A={3，4，6，8}，B={1，2，6，8}，求[?u]（A∪B），[?u]（A∩B）。講解這道題時，教師可以運用圖示法，清晰地呈現(xiàn)A集合和B集合，讓學生了解兩個集合之間的交集和并集，用圖像來打開學生的思路。集合知識是非?；A(chǔ)的內(nèi)容，圖形的表示過程也比較簡單，教師只需要將重點放在文字與圖形的轉(zhuǎn)化上，以促使學生自主解答問題，增強其求知欲望。在數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用過程中，教師不但要展現(xiàn)解題過程，而且要讓學生了解每一步的解題思路，將數(shù)形結(jié)合思想傳遞給學生，全面提高學生的自主學習能力。

2.在不等式中的應(yīng)用

不等式是高中數(shù)學的重點和難點，高考中出題頻率較高。部分學生面對不等式問題時常常會摸不著頭腦，以致解題正確率較低。針對這種情況，教師需要讓學生全面了解不等式的相關(guān)題型，為不等式類的題目提供解題思路。例如， f （x）是R上的偶函數(shù)，已知這個函數(shù)在[0，+∞）上是減函數(shù)， f （a）=0（a>0），求不等式xf （x）<0的解集。對于這道數(shù)學題，教師可以鼓勵學生結(jié)合題干內(nèi)容畫出f （x）的函數(shù)圖像，再根據(jù)xf （x）<0的條件，判斷出x和f （x）異號，得出x的取值范圍，即x>a或-a對高中數(shù)學而言，數(shù)形結(jié)合思想是一種極其重要的數(shù)學思維，它主張將代數(shù)與幾何相結(jié)合，讓抽象的數(shù)學知識更加直觀，并以展現(xiàn)問題的本質(zhì)，降低學習難度。數(shù)形結(jié)合思想可以在新授課和課后練習中應(yīng)用。在函數(shù)問題、解析幾何問題、代數(shù)問題等的解決過程中，數(shù)形結(jié)合思想都發(fā)揮著重要作用。值得注意的是，教師和學生必須正確認識數(shù)形結(jié)合的可行性和有利性，挖掘問題中的隱含條件，這樣才能充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的價值。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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