[摘? 要] 數(shù)學建模思想的培育可以促使學生應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題. 文章以“相似三角形的應(yīng)用”一節(jié)為例，借助數(shù)學史料使學生經(jīng)歷相似三角形模型的構(gòu)造、總結(jié)、應(yīng)用、反思過程，逐步培養(yǎng)其數(shù)學建模思想，提高知識應(yīng)用能力.

[關(guān)鍵詞] HPM;相似三角形;數(shù)學建模思想

“相似三角形的應(yīng)用”是初中數(shù)學教學中幾何建模學習的重要一節(jié)，該節(jié)內(nèi)容是對相似三角形知識的應(yīng)用、拓展與延伸，也是將較為抽象的相似三角形知識與生活實際相結(jié)合的過程. “相似三角形的應(yīng)用”主要解決不能直接測量的物體的長、寬、高、深等問題，其相似模型大體分為平行相似型、對頂角相似型和反射相似型三類. 為了使學生更加深入地了解相似三角形應(yīng)用的發(fā)展歷程，培養(yǎng)學生數(shù)學建模思想與數(shù)形結(jié)合的能力，筆者基于相似三角形應(yīng)用的發(fā)展歷史，對應(yīng)三類應(yīng)用模型進行教學設(shè)計.

史料的選取與利用

早在約公元前1600年，巴比倫的泥板文獻中就已經(jīng)開始了對相似三角形的應(yīng)用，公元前6世紀，泰勒斯利用陽光下物體與影子的關(guān)系測量金字塔的高度. 我國西漢末期的《周髀算經(jīng)》中詳細記載了相似測量術(shù)，漢代《九章算術(shù)》中的“勾股”章對于勾股測量的問題也應(yīng)用了相似三角形. 雖然數(shù)學史上關(guān)于相似三角形應(yīng)用的文獻浩如煙海，但是中學教師所掌握的可直接用于課堂的材料卻極為缺乏[1]. 對此筆者根據(jù)現(xiàn)有的相似三角形的應(yīng)用史料，依據(jù)汪曉勤教授對于數(shù)學史融入數(shù)學教學方式的分類，采取附加式、復制式、順應(yīng)式與重構(gòu)式進行教學問題設(shè)計，具體的數(shù)學史料與融入方式如下表所示.

數(shù)學史料與融入方式

教學分析

（一）教學目標

1.進一步鞏固應(yīng)用相似三角形的知識，掌握常見的相似三角形模型.

2.能在具體情境中運用相似三角形模型. 利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)實際問題構(gòu)建相似三角形模型，反思模型的應(yīng)用.

3.感受相似三角形的發(fā)展應(yīng)用過程，增強抽象數(shù)學與生活的聯(lián)系感，體會數(shù)學是建構(gòu)現(xiàn)實世界的有效模型，養(yǎng)成良好的數(shù)學建模思想與模型應(yīng)用意識.

（二）教學重、難點

重點：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立相應(yīng)的相似三角形模型.

難點：靈活運用相似三角形知識構(gòu)建、應(yīng)用數(shù)學模型解決實際問題，并反思模型.

教學設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出相似測量

引入：我國第一部數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》最早提出了相似測量術(shù)，其中記載了這樣一個故事：一次周公問商高，古時作天文測量和訂立歷法，天沒有臺階可以攀登上去，地又不能用尺寸去測量，請問數(shù)是怎樣得來的？商高回答說，數(shù)是根據(jù)圓和方的道理得來的，圓從方來，方又從矩來. 矩是根據(jù)乘、除計算出來的. 周公曰，大哉言數(shù)！請問用矩之道. 商高曰，平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方. （“矩”原是指包含直角的作圖工具）

問題1：聽完這個故事你是否明白了商高的相似測量術(shù)呢？

設(shè)計意圖 用我國測量術(shù)的數(shù)學史故事引入，牽出相似三角形的應(yīng)用，激起學生的學習興趣，使學生感受到抽象數(shù)學知識的實用價值. 但是在具體應(yīng)用方法上，并未解釋清楚，從而引發(fā)學生的好奇心，激起學生“要學習”的強烈欲望.

（二）分類研討，構(gòu)造相似模型

1. 平行相似型

例1 其實早在2700多年前，古希臘的數(shù)學家、天文學家泰勒斯僅用竹竿就測量出金字塔的高度，圖1是泰勒斯利用相似三角形測量金字塔的原理，圖2是測量的數(shù)學模型，其中四邊形ABCD為正方形，OE=201 m，HF=2 m，F(xiàn)G=3 m. 請你思考一下金字塔的高度PO怎樣計算呢？

問題2：從圖1中你發(fā)現(xiàn)泰勒斯用了什么樣的物理原理，對應(yīng)圖2的模型中你得到了哪些數(shù)學關(guān)系？

學生根據(jù)光沿直線傳播得到PE∥HG，又因為PO∥HF，所以∠OPE=∠FHG.

問題3：你尋找到了哪兩個三角形相似，其相似的條件是什么？

師生共同探尋其中的相似三角形，標出對應(yīng)量列出比例關(guān)系求解.

問題4：現(xiàn)實情境中一定要保證線段OE與FG在一條直線上嗎？如果不能直接進入金字塔測量OE，你能想到什么辦法求出其長度呢？

學生相互討論，再次利用三角形相似判定定理、中位線定理等解決兩問題. 師生共同梳理相似三角形模型構(gòu)建的步驟與要點：

（1）梳理題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，構(gòu)建出數(shù)學模型.

（2）尋找模型中證明三角形相似的條件，列出相似比求解.

（3）圖形與幾何的計算問題，需要先經(jīng)過證明，再進行計算.

（4）將解決的數(shù)學問題還原為實際問題，還原中注意反思模型實踐時可能存在的問題與解決辦法.

設(shè)計意圖 該問題跨學科融合了物理知識，把問題建立在學生已有的經(jīng)驗基礎(chǔ)上探尋模型規(guī)律，貼近學生的生活實際. 問題解決時讓學生先觀察實際情境圖進行思考，再展示數(shù)學模型圖，可以使學生充分感知幾何模型的構(gòu)造對于解決問題的重要性，逐步培養(yǎng)學生的模型思想. 并且該問題中筆者充分考慮了模型的實踐性，針對可能存在疑惑或困難的操作進行設(shè)問，增強模型的現(xiàn)實意義，并且為下一個平行問題做鋪墊. 通過該問題總結(jié)一般相似應(yīng)用模型的規(guī)律與要點，使學生掌握解決問題的方法與步驟.

例2 有一塊形狀為直角三角形的木板，其直角邊長分別為5 m和12 m，如果木匠師傅要在其中裁截出一塊面積最大的正方形木板，請你幫木匠師傅計算出正方形木板的邊長. （改編自《九章算術(shù)》中的“勾股容方”問題）

合作探究：該問題源自我國歷史上著名的“勾股容方”問題，先自己思考，再小組成員間相互交流討論，看看你能幫木匠師傅構(gòu)造出幾種容方模型（如圖3所示，其中的兩種）.

問題5：如何計算兩種情況中正方形的邊長呢？

學生根據(jù)上述歸納的步驟，從構(gòu)造的容方模型中尋找相似三角形，并列出比例關(guān)系求解. 對于第二種容方模型，學生在尋找求解相似比例時可能存在困難.

追問：兩個三角形相似，除了邊對應(yīng)成比例外，還有哪些性質(zhì)呢？

學生回憶三角形相似的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上的高對應(yīng)成比例（如圖4所示），列出能求解的相似比例式，再比較面積的大小關(guān)系.

問題6：（推廣）該問題中利用的是直角三角形，如果將△ABC換成一般三角形，該相似模型還適用嗎？

小組再次討論結(jié)論的一般性，師生共同得出第二種模型對于所有三角形均成立，但前提是對應(yīng)邊上的高已知或能計算出來.

設(shè)計意圖 “勾股容方”是我國歷史上著名的數(shù)學問題，但《九章算術(shù)》中的問題情境過于單一，通過對問題的改編使其更具有實際應(yīng)用感. 該問題的學習采用小組合作探究的活動方式，在合作探究中使學生經(jīng)歷根據(jù)實際問題建立模型的過程，培養(yǎng)模型構(gòu)建能力. 容方模型有兩種構(gòu)造方式，教學設(shè)計時要預設(shè)到學生對于第二種容方模型求解存在困難，引導學生學會利用相似三角形的其他性質(zhì). 最后對該模型的推廣做出設(shè)問，引發(fā)學生思考結(jié)論是否能一般化，增強學生對模型的總結(jié)與反思能力.

2. 對頂角相似型

例3 今有井徑五尺，不知其深. 立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸. 問井深幾何？[2]（1尺=10寸）

問題7：根據(jù)題意對照圖5模型，你理解出了怎樣的題意？

學生解釋題意，根據(jù)∠EAB=∠B，∠EFA=∠BFG證明出△AFE∽△BFG，列出比例關(guān)系代入已知的各邊長度求解.

問題8：你認為在測量時，測量者應(yīng)該注意什么？

學生自我模擬測量過程，根據(jù)數(shù)學模型反思實際問題中的注意點，教師引導得出EA⊥AB，E，F(xiàn)，G三點在同一條直線上的關(guān)鍵點.

問題9：對頂角相似模型除了可以測井深還可以測河寬，與小組同學商討一下，怎樣利用對頂角相似模型測量一個河的寬呢？

學生小組討論，師生共同利用該類相似模型設(shè)計測量河寬方案.

設(shè)計意圖 該問題情境設(shè)置相較于前兩個例題增加了難度，考查學生結(jié)合模型對題意的理解與分析，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng). 數(shù)學是一門實用性學科，在學習數(shù)學知識時要將其與現(xiàn)實情境相連通，考慮現(xiàn)實中的影響因素與注意點，對頂角相似模型的關(guān)鍵在于找到對頂角，因此要引導學生關(guān)注構(gòu)造對頂角時的必要條件——使得E，F(xiàn)，G在一條直線上. 同一個數(shù)學模型可以適用于多樣的問題情境，設(shè)計測量河寬的方案可以使學生感受到對頂角相似模型不僅可以用來測量深度，還可以用來測量寬度. ？搖？搖

3. 反射相似型

問題10：假如你現(xiàn)在有一面鏡子，你能利用鏡子想到什么樣的方案測量樓高呢？

學生自己思考討論方案，并畫出方案圖.

例4 如圖6所示，在《數(shù)學入門》中記載了古人利用鏡面反射原理測量樓高的方法，如果人高2 m，測得人距離鏡面3 m，鏡面距離樓15 m，請問樓高多少？（忽略鏡子的大?。?/p>

問題11：根據(jù)實物圖，再修改你設(shè)計的模型圖. 根據(jù)反射原理你得到了哪一組角對應(yīng)相等？

學生自己構(gòu)造并完善模型，尋找三角形相似條件，列出相似比，求樓高.

設(shè)計意圖 在該類相似模型學習前，根據(jù)學生已有的知識經(jīng)驗給出相應(yīng)的工具，使學生自我思考設(shè)計測量方案，展現(xiàn)自我能動性，再根據(jù)實物圖完善自己構(gòu)建的相似模型，進一步培養(yǎng)解決實際問題的能力與建模思想，感受數(shù)學是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型.

（三）應(yīng)用模型，拓展深化思維

練習一：今有邑方不知大小，各中開門. 出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木. 問邑方幾何？[2]（如圖7所示）

練習二：在班級測量實踐活動時，某一小組要測量的大樹周圍都是建筑物，無法利用竹竿測量樹高. 如圖8所示，現(xiàn)在知道建筑物EC與這棵樹AB之間的距離BC=4 m，其落在建筑物墻面上的影子CD=2 m，此時竹竿GF=1.2 m，它落在地面上的影子GH=2 m，想想如何用不同的辦法幫他們計算一下樹的高度（至少兩種）.

設(shè)計意圖 以上兩個鞏固練習的設(shè)置基于學生對本節(jié)課基礎(chǔ)知識的掌握，深化三角形相似模型，培養(yǎng)學生的建模思想與能力. 第一個練習是“勾股容方”模型的變式，該變式打破了學生對模型的固化思想，使其感受模型的靈活與變換魅力. 第二個是基于實踐的相似三角形測量問題，模擬真實測量中可能產(chǎn)生的問題，使學生采用多種方式解決該問題，發(fā)展學生的問題解決能力，同時感受數(shù)學模型的建立給解決真實問題帶來的多樣化策略.

（四）總結(jié)收獲，回顧反思模型

問題12：學習完相似三角形的應(yīng)用你是否明白了商高的測量術(shù)呢？

問題13：這節(jié)課學習的三類模型有哪些特點？用三類模型解決問題的步驟是什么？現(xiàn)實中操作模型時應(yīng)該注意些什么？

問題14：你在解決問題中學習到哪些數(shù)學思想方法？對于模型建構(gòu)你有什么樣的感悟？

學生暢所欲言講述自己的收獲與感悟，教師針對這些問題做出補充與強調(diào).

設(shè)計意圖 學生與教師共同歸納總結(jié)知識，解決課堂開始的疑問，反思課堂中模型特點與思想方法. 幫助學生梳理知識，養(yǎng)成自我總結(jié)反思的良好學習習慣. ？搖

本節(jié)課的教學設(shè)計立足學生的知識與生活經(jīng)驗基礎(chǔ)，以相似三角形的應(yīng)用史料為載體，包容相似三角形的應(yīng)用知識. 使學生通過觀察、分析、歸納、轉(zhuǎn)化、構(gòu)建、解答、反思等一系列過程，感受抽象數(shù)學知識與生活的相互聯(lián)系，體會到數(shù)學建模對于解決實際問題的便利之處，進而培養(yǎng)數(shù)學建模思想，發(fā)展數(shù)學建模能力.

參考文獻：

[1] 王娟，汪曉勤. 16世紀的測量工具與相似三角形的應(yīng)用[J]. 中學數(shù)學月刊，2020（03）：47-51.

[2] 白尚恕. 《九章算術(shù)》注釋[M]. 北京：科學出版社，1983.

基金項目：湖州師范學院研究生科研項目資助“HPM視角下的初中代數(shù)教學案例開發(fā)研究”（項目編號：YJGX20011）.

作者簡介：李新菊（1997—），碩士研究生，從事數(shù)學課程與教學論研究.？搖