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太高了?構(gòu)造“相似三角形”測高度

2016-12-01 19:47陶建石
初中生世界·九年級 2016年11期
關(guān)鍵詞:望月小亮鏡面

陶建石

數(shù)學(xué)知識來自于我們的生活,反過來運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識可以去解決生活的問題.看似簡單的相似三角形模型,若能夠靈活運(yùn)用,便可以解決生活中許多“高度”的問題.下面我們舉例分析相似三角形的應(yīng)用.

例1 某市為了打造森林城市,樹立城市新地標(biāo),實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念,在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園.小亮、小芳等同學(xué)想用一些測量工具和所學(xué)的幾何知識測量“望月閣”的高度,來檢驗(yàn)自己掌握知識和運(yùn)用知識的能力.他們經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn),觀測點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易測得,因此經(jīng)過研究需要兩次測量,于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測量.

方法如下:如圖1,小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡,在鏡面上做了一個標(biāo)記,這個標(biāo)記在直線BM上的對應(yīng)位置為點(diǎn)C,鏡子不動,小亮看著鏡面上的標(biāo)記,他來回走動,走到點(diǎn)D時,看到“望月閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合,這時,測得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5米,CD=2米.然后,在陽光下,他們用測影長的方法進(jìn)行了第二次測量,方法如下:如圖1,小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米,到達(dá)“望月閣”影子的末端F點(diǎn)處,此時,測得小亮身高FG的影長FH=2.5米,F(xiàn)G=1.65米.

如圖1,已知AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,其中,測量時所使用的平面鏡的厚度忽略不計,請你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息,求出“望月閣”的高AB的長度.

【解析】根據(jù)鏡面反射原理結(jié)合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC,△ABF∽△GFH,進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出AB的長.

因?yàn)椤鰽BC∽△EDC,△ABF∽△GFH,

則[ABED]=[BCDC],[ABGF]=[BFFH].

即[AB1.5]=[BC2],[AB1.65]=[BC+182.5].

解得AB=99.

答:“望月閣”的高AB的長度為99米.

例2 如圖2,小華為了測量所住樓房的高度,他請來同學(xué)幫忙,測量了同一時刻他自己的影長和樓房的影長分別是0.5米和15米.已知小華的身高為1.6米,那么他所住樓房的高度為多少?

【解析】在同一時刻,不同物體的物高與影長成比例.根據(jù)這一模型可以避免直接測量較高的物體如高樓、旗桿等的高度.只需測量出人與人影、樓影這些較易測量的長度就能計算出樓高.

由△BAC∽△EDF可得BC∶AC=EF∶DF,再將AC=1.6米,EF=15米,BC=0.5米代入,可求得大樓的高度為48米.

例3 如圖3,小麗利用影長測量學(xué)校旗桿的高度.由于旗桿靠近一個建筑物,在某一時刻旗桿影子中的一部分映在建筑物的墻上,小麗測得旗桿AB在地面上的影長BC為20m,在墻上的影長CD為4m,同時又測得豎立于地面的1m長的標(biāo)桿影長為2m,請幫助小麗求出旗桿的高度.

這個問題有以下三種構(gòu)造相似模型的方法:

方法一:如圖4,延長AD、BC交于點(diǎn)E.可知在沒有建筑物的情況下旗桿的影子應(yīng)為BE,根據(jù)標(biāo)桿的有關(guān)情況即可知AB∶BE=1∶2.再由△EAB∽△EDC可得DC∶AB=EC∶EB,從而可求得EC=8m,EB=28m,則旗桿高度AB=14m.

方法二:如圖5,過C作AD的平行線交AB于E.此時四邊形ADCE為平行四邊形,AE=DC=4m.而BE的影長即為BC,由已知可求得BE=10m.因此旗桿高為14m.

方法三:如圖6,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,易得BE=CD=4m,BC=DE=20m.AE的影長可看作DE,由標(biāo)桿條件可得AE=10m,因此旗桿高度為14m.

除了測量高度,相似模型還應(yīng)用于測量各種距離,如河面的寬度等,這樣既簡化了測量過程,也節(jié)約了操作成本.

其實(shí),利用相似三角形模型解決實(shí)際問題,僅僅是它在生活應(yīng)用中的一小部分.至于相似模型具體還能有哪些巧妙的應(yīng)用,就等待著同學(xué)們再去探索!

(作者單位:江蘇省常熟市外國語初級中學(xué))

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