周德萍

生活中的優(yōu)化問(wèn)題主要是指一些與生活實(shí)際相關(guān)的利潤(rùn)、用料、容積、面積問(wèn)題，通常會(huì)要求根據(jù)實(shí)際情境求最大利潤(rùn)、最大容積，確定用料最省、效率最高的方式等.對(duì)于這類實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，我們需根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)求解.

解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟為：

1.仔細(xì)讀題、審題，提煉有用信息;

2.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)、圖形表示出相關(guān)的信息.尤其要關(guān)注變量，研究其變化情況;

3.明確所求目標(biāo)，并建立關(guān)系式，構(gòu)建函數(shù)模型;

4.將問(wèn)題看作函數(shù)最值問(wèn)題，明確約束條件，求得目標(biāo)函數(shù)、自變量、定義域;

5.利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、極值，求得函數(shù)的最值;

6.檢驗(yàn)所得的結(jié)果是否滿足題意和生活實(shí)際.

下面舉例說(shuō)明.

例1.如圖1所示的帳篷下部是高為1m 的正四棱柱，上部是側(cè)棱長(zhǎng)為3m 的正四棱錐.已知帳篷的體積V 是關(guān)于這個(gè)帳篷的頂點(diǎn) O 到底面中心 O1的距離 x的函數(shù).

（Ⅰ）隨著 x 的變化，體積 V 是如何變化的？

（Ⅱ）當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) O 到底面中心 O1 的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？最大體積是多少？

解：

解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，往往需要先結(jié)合題意及問(wèn)題的實(shí)際意義，確定自變量及其取值范圍，求得目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式.若不易判斷出函數(shù)的單調(diào)性，可對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可求得函數(shù)的最值，確定最優(yōu)解.

例2.要在某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個(gè)橋墩相距 m 米，余下的工程是建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為 256 萬(wàn)元，距離為 x 米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為 （2 + x）x 萬(wàn)元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都可視為一個(gè)點(diǎn)，且不考慮其他的因素.當(dāng) m = 640 米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使余下工程的費(fèi)用最少？

解：

解答本題的關(guān)鍵是求得費(fèi)用的表達(dá)式，然后再借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定其極小值.解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題需注意的是，（1）實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，由實(shí)際問(wèn)題的意義和函數(shù)的解析式共同確定;（2）如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義判定該極值是最大值還是最小值，不必再將其與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較.

例3.有一塊半徑為 20 米，圓心角為∠AOB = 2π 3 的扇形展示臺(tái)，如圖2所示，該展示臺(tái)被分成了四個(gè)區(qū)域：△ OCD ，弓形 CMD ，扇形 AOC 和扇形 BOD ，其中∠AOC = ∠BOD .某次菊花展分別在這四個(gè)區(qū)域擺放泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜.預(yù)計(jì)這三種菊花展示帶來(lái)的日效益分別是：50 元/ 米2 ，30 元/ 米2 ，40 元/ 米2 . 當(dāng)∠COD 的余弦值為何值時(shí)，日總效益最大？

解：

本題中的變量為∠COD ，于是將其設(shè)為 α，并視其為自變量，構(gòu)造函數(shù) f （α），該函數(shù)式中含有正弦函數(shù)式和一次函數(shù)式，很難快速判斷函數(shù)的單調(diào)性，于是借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)求得函數(shù)的最大值，從而使問(wèn)題得解.

總之，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，一要將實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)最值問(wèn)題;二要增強(qiáng)運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí);三要提升分析、解決問(wèn)題的實(shí)際能力.