陳軍

摘 要：邏輯推理素養(yǎng)對學生數學學習和其他學科學習都有重要作用。在高中數學“雙新”改革背景下，教師應充分把握新課程標準對高中數學邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)的新要求，以解決高中生數學邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展中的主體意識缺失、探究深度較淺、配套講解不深入等問題，結合新教材內容對構建探究環(huán)境、設計探究活動、講解教學等方法進行優(yōu)化，以提高學生數學核心素養(yǎng)發(fā)展水平。

關鍵詞：“雙新”;高中數學;邏輯推理素養(yǎng);探究

邏輯推理素養(yǎng)是學習數學所需的重要思維能力，其本質是在有充足證據的條件下進行的合乎邏輯的思維和推理，這種思維方法對于理解數學知識、解決數學應用問題有極大幫助，并會對學生學習其他學科知識、認知和理解社會規(guī)律等有一定幫助。2017年教育部在新版《普通高中數學課程標準》（以下簡稱新《課標》）中正式提出了高中生應具備的六大數學核心素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)就是其中之一，這也是高中課程標準改革中首次明確邏輯推理素養(yǎng)的地位，同期編寫和修訂的高中數學新教材也針對六大核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標重新組織了內容，為高中數學邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)提供了良好的條件。以往絕大多數數學教師會專門培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)，但缺少課標指導和教材的系統(tǒng)化支持，實際培養(yǎng)效果并不完全理想，“雙新”改革則對高中數學邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)提出了明確要求和教材支持，教師應當結合以往教學中發(fā)現的問題來調整教學策略，以確保學生邏輯推理素養(yǎng)的有效發(fā)展。

一、“雙新”背景下高中數學邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展的新要求

教育部在2017版新《課標》中明確了培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)的要求，指出其是構建數學體系（及知識結構）、得到數學結論的思維過程，也是一種數學交流的基本思維品質。新《課標》明確了邏輯推理素養(yǎng)的價值，也對同步修訂的新版教材起到了指導作用，配套教材中對邏輯用語、推理與證明方法等內容進行了集中整合，并在訓練部分與《高中數學考試大綱》中“對推理論證能力和抽象概括能力的考查貫穿于全卷”的要求有效結合，重點對類比、歸納、演繹等關鍵教學方法進行系統(tǒng)化培養(yǎng)，更有助于培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)。教育部在2020年對新《課標》做了小幅修訂，其中進一步明確了培養(yǎng)學生數學邏輯推理素養(yǎng)的幾點要求，即將數學學習與現實世界聯(lián)系起來、強調趣味性的導入與探究深度、做好對數學知識（以及運用邏輯推理素養(yǎng)認識數學知識的方法）的系統(tǒng)化講解[1]。

總體來看，“雙新”背景下高中數學邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展成為必要的教學任務，同時新《課標》和新教材都為這一培養(yǎng)工作提供了良好前提。但以往數學教育中的邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)工作大多是泛化（對邏輯推理能力的培養(yǎng)不全面、不深入）和不全面（對培養(yǎng)對象的選擇是有局限性的，教師常會優(yōu)選數學成績優(yōu)異的學生進行重點培養(yǎng)）的，這使得許多學生在義務教育階段對數學邏輯推理素養(yǎng)的認識不足，少數教師也缺乏系統(tǒng)化培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)的意識和經驗，這對高中數學邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)工作制造了一定障礙。教師需要正視此類問題，做好教學改革工作。

二、“雙新”背景下高中數學邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展面臨的問題

（一）現實探究環(huán)境不佳且學生主體意識缺失

邏輯推理是一種主觀思維觀念與思維方法融合的素養(yǎng)，其本質上分為兩個層面，一是人在頭腦中先對目標問題形成一個猜想、假設等判斷，二是在頭腦中對這一初設判斷進行心理分析和判斷。其中研究的范圍出現變化，但推理的前提是先有自主判斷[2]，這是人在邏輯推理實踐中的獨特優(yōu)勢，也是一種特殊限制。從教學實踐的角度來看，有一部分學生在日常學習中本身缺乏主體意識，很少自主去思考和判斷，缺乏邏輯推理所需的自主判斷前提，在這種情況下教師的引導也很難發(fā)揮作用。

從邏輯推理的兩種形式來看，這類學生主體意識的缺失對兩類邏輯推理實踐制造的障礙表現如下：在演繹推理中，學生需要先根據已學的知識、理論、性質對目標問題進行“猜測式”的快速判斷，然后依托知識結構快速找到相關知識、方法，從基礎理論出發(fā)逐步演繹到與目標問題描述相符或能互為論證的狀態(tài)。對于缺乏主體意識的學生來說，演繹過程會因缺乏前期“猜測”而無法啟動，或因日常學習中缺乏關聯(lián)思考的習慣而導致“演繹”無法推進;在歸納推理中，學生需要回顧以往學習和實踐中遇到的同類問題，將其與目標問題進行對比，總結其中的共同點、差異，再嘗試以典型的解題范式來分析和解決問題，對于缺乏主體意識的學生來說，歸納過程會因學生缺乏關聯(lián)、對比的意識而無法推進。

由此來看，學生在嘗試理解知識、解決問題的過程中，需要主動做出猜想和判斷，或主動回顧與總結，這一過程本身能夠鍛煉學生的演繹推理和歸納推理能力。但目前部分高中生缺乏主體意識，更習慣于運用習慣性思維去尋找題目中的常見要素，或缺少總結解題規(guī)律的意識，這種主體意識缺失的問題導致學生缺少相關實踐經驗，也對邏輯推理缺乏認識，日常學習和訓練對邏輯推理的應用偏少。對此，教師應先向學生揭示邏輯推理的內涵，然后再制訂明確的訓練計劃，逐步強化學生自主應用邏輯推理方法的意識。

（二）數學探究深度不足

高中階段數學學習內容更為復雜，所需的邏輯推理能力更高，簡單演繹和歸納推理很難有效推動學生能力發(fā)展，教師需要設計更具深度的探究訓練問題，使學生逐步適應本學段數學學習、應用中的邏輯推理節(jié)奏，提高學生主動挑戰(zhàn)復雜問題的興趣。在深度探究訓練中，學生在挖掘問題條件（尤其是隱含條件）、分析條件關系并整理重要論據、演繹和推理“猜測”的結論時需要應用到邏輯推理方法，這種頻繁且高強度的訓練更有助于提高學生演繹推理的能力。雖然深度探究學習更有利于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，但這類教學活動通常推進效率不理想、課堂互動不足、課堂氛圍不佳，深度探究學習活動更適合在階段性復習、重難點知識教學中使用，且應用效果高度依賴教師的經驗及能力，部分教師為追求課堂教學效率并不會頻繁安排這類教學活動。

實際教學中教師通常需要面臨學生數學成績、學習能力差異的問題，許多教師會習慣性地下調預設問題的難度，或將推理過程進行拆分，致使所設計的探究問題深度不足，不能很好地培養(yǎng)學生邏輯推理能力。例如，人教版新教材在幾何與代數主體章節(jié)內安排了復數內容，這一部分內容在知識結構中有承上啟下的作用，實際應用中需要將復數視作多項式來處理運算問題（比如將復數視為的一次二項式），教師可以在一元多次方程中融入求復數解的應用，將多種知識和應用貫穿起來，訓練學生的抽象和邏輯推理能力;但有部分教師認為班級中少數學生基礎不足，對此類問題進行拆分，將原本條件相對模糊的問題（比如求=1的三個復數解及其在坐標系圖像上的坐標）拆分為條件明確的簡單問題（比如分為求=1的實數解;練習次復系數多項式的分解方法，求一元三次方程的復數），表面上兩種問題設計都能達成加強復數概念認知、強化復數應用的效果，但后一種拆分問題降低了推理難度，對學生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)效果并不理想。

（三）教學導入及系統(tǒng)化講解設計不合理

邏輯推理素養(yǎng)的訓練需要以針對特定問題的探究為前提，基于問題的導入教學可以將早期的“抽象化邏輯推理訓練”轉為“直觀的數學問題分析”。因此，科學的導入教學能夠激發(fā)學生興趣，并降低訓練難度。以導數的幾何意義認知教學為例，這部分知識需要應用邏輯推理素養(yǎng)，教師可以對導數概念認知過程進行拆分，設計成多個具備邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)功能的導入式探究過程：將平均速度與平均變化率對比，使學生在對比過程中認識到變化率是一種“融合性”的特殊矢量;在此基礎上進一步去探究某個時間點上的瞬時速度和瞬時變化率，這樣學生能夠從根本上理解導數所要描述的變化。這種逐步推進的導入和探究過程能夠讓學生有效地總結經驗、發(fā)現新舊知識的差異，本質上是應用歸納推理來學習新知識，這一過程也能培養(yǎng)學生的歸納推理能力。但一部分教師不善于設計導入教學，比如，在瞬時速度與瞬時變化率差異的探究中，直接導入導數概念后就開始分析和講解導數公式，不僅會使學生遭遇困難，還會讓學生失去訓練邏輯推理能力的機會。

探究后的講解與探究前的導入有著類似作用（只是作用流程相反），教師在探究后對學生所學知識進行深入講解，尤其是對推理過程進行解析，能夠為學生提供參考，使其發(fā)現自己在邏輯推理中的錯誤，提高其推理能力。比如導入幾何意義教學后，教師可以對認知導數概念時應當如何“從理解平均變化率過渡到理解瞬時變化率”，抓住其中“數值逼近”“幾何直觀感受”“解析式抽象”幾個關鍵點和過程，讓學生分別運用表格統(tǒng)計、圖像觀察的方式重新檢驗推理過程，幫助學生查找自身問題。但部分教師在教學講解時會略過對邏輯推理過程的解析，沒有利用講解來糾正學生邏輯推理實踐中的錯誤方法、習慣，不利于學生邏輯推理素養(yǎng)的快速發(fā)展。從實踐角度來看，當前許多青年教師更注重教學導入，反而對課堂中后段的講解不夠重視，最突出的問題是以要點總結、重復解析替代了補充講解，只是重復強調重點知識，一方面對學生認知錯誤的剖析不夠深入，不能很好地解決學生思維障礙，另一方面對邏輯思維過程的梳理不夠精細，難以鞏固學生的邏輯推理經驗。

三、“雙新”背景下高中數學邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展的教學策略

（一）構建貼近現實的探究環(huán)境

構建貼近現實的探究環(huán)境能夠有效調動學生思維，使學生更快速地回顧經驗并進行歸納推理等實踐?！半p新”背景下的新高考考題設計也越發(fā)貼近生活，教師要把握高考題目設計的變化趨勢，在設計教學活動、訓練內容時也應主動構建貼近現實的探究環(huán)境。具體環(huán)境構建應有兩類導向：

第一，以降低邏輯推理門檻為導向。即選擇與學生生活、學習、實踐關系密切的主題來設計探究問題，使學生能夠快速回顧經驗，從而進行猜測、假設和推理。例如，指數函數在高中學生日常生活中并不常見，教師不能隨意選擇“某類物體數量成倍增多”這種缺乏現實參考的情況作為情境，而要結合學生特點，設計諸如“生物課中所學的細胞分裂次數與最終細胞數”“學生接觸較多的游戲物品2合1合成模式下用i階物品合成1個j階物品時所需的i階物品的數量”等問題，這種問題學生更為熟悉，在此基礎上再來討論自變量、因變量、常數中是否總能以兩個條件求取另外一個條件，鍛煉學生推理能力的同時也提高其對指數函數內涵的認知。具體教學應用中應注意班級總體學情，只需對學困生開展針對性調整，對于全班學生已經普遍具備足夠認知能力和生活化應用經驗的情況下，教師需要適當轉換情境創(chuàng)設方案，從生活應用領域轉向其他自然學科應用方向。

第二，以生活或數學實踐為導向。即遵循“雙新”背景下的數學教育要求，培養(yǎng)學生在現實中應用邏輯推理解決問題的意識和能力。這類教學應選擇學生感興趣的領域，或是學生認為有應用價值的領域，以此作為問題設計的基本環(huán)境或背景。例如，在函數的概念教學中，教師可以提前設計“多名學生課外花費的學習時間與成績關系”“多名學生課外花費的游戲時間與成績關系”“多名學生課外單次游戲時間與游戲成果關系”三類情境。這種問題先引入了學生感興趣的背景，然后對三類背景剔除同樣的三個層次進階問題，即“投入時間與成績的動態(tài)區(qū)間”“投入時間到達一定水平時的成績變化”“如果運用集合和相關數學預言應當怎么構建投入時間（t）和成績（p）的關系”“三類情境中共同的屬性和相似的指標是什么”。通過四個進階問題可以讓學生逐步發(fā)現函數規(guī)律，運用歸納推理總結函數內涵，甚至還能讓學生用數學方法來審視個人課外學習和游戲時間分配的問題，提高其自控意識。這類應用的關鍵不僅僅是通過生活化應用案例來降低邏輯推理難度，更重要的是培養(yǎng)學生的自覺推理習慣，使學生在生活實踐、課外學習、其他學科學習的過程中自覺應用邏輯思維能力，加速其推理能力發(fā)展。

（二）設計更有深度的探究活動

幾乎所有的數學探究都需要進行邏輯推理，但要有效提高學生邏輯推理素養(yǎng)，教師需要保證探究的問題具備一定深度。教師在設計探究問題時應當遵從以下兩類原則，來確保探究問題具備足夠深度：一是提供形式相近的問題，當學生采用習慣性方法分析并無法解決問題時可產生挑戰(zhàn)感，進而激發(fā)學生探究和推理的動力與意識;二是以強化認知為導向設計多層次進階問題，高層次的挑戰(zhàn)性問題應具備引導學生反思的功能，激發(fā)學生探究欲望。比如，在直線的參數方式復習教學中，教師可以先設計基本的推理訓練題，如設計例題“為橢圓形，直線與其相交，交點分別為A、B，直線上的1點為M（2，1），且M是線段AB終點，求直線的方程”，該問題本身是簡單的形式對比（從橢圓方程歸納各參數計算方法），然后教師可結合深度探究的需求對題目進行調整，以增加探究深度，例如將“線段AB的中點為M”這一條件轉換為數學符號化表達，即向量AM為向量MB的2倍，以此為基礎提出如果例題1中的條件分別為橢圓和圓時計算方式、結果會有什么變化，前一類調整更可以讓學生從圖形向推理轉向基于符號化關系的推理，后一類調整則可以引導學生總結和歸納合情推理的方法（例如初始題目條件為圓形時，學生推理可能會忽略某些條件等，通過這類問題讓學生掌握合情推理的正確方式）。

此外，教師應尊重學生能力和水平差異，對于無法快速解決深度探究問題的學生，教師應當給予更多的引導，同時下調“讓學生解決進階”問題的要求。對于過度抽象的邏輯思維過程，教師也要在講解過程中盡量做更加細致的解析，確保部分學困生真正理解高階邏輯思維方式后，再通過類型化訓練來強化其實踐熟練度，最后再考慮在深度探究中嘗試解決新的問題。從學生的長遠發(fā)展來看，教師需要在不斷嘗試下探究學習深度，使學生總能遇到具有挑戰(zhàn)性的問題，以此激發(fā)學生的挑戰(zhàn)意識，在加深探究難度的同時保持難度曲線平緩，提高探究成功率。教師也應當轉化評價思路，將正面評價集中在“提出更有效的分析思路”上，即對邏輯思維發(fā)展和應用成果進行肯定，使學生更積極地嘗試推理，提高其推理能力的發(fā)展效率。

（三）優(yōu)化教學導入與講解方案

導入和講解是所有數學理論課、習題課、復習課中都會出現的環(huán)節(jié)，這些環(huán)節(jié)都比較適合開展邏輯推理訓練，教師需要充分利用這些教學過程在導入和講解過程中強化學生邏輯推理意識及能力。

第一，在新知識導入教學中融入邏輯推理訓練。重點是利用導入教學的基本條件，引導學生在歸納和總結舊知識的特點、對比新舊知識的過程中發(fā)現經驗和規(guī)律，形成邏輯推理的習慣。比如，“雙新”課程標準和課程教材中基本初等函數的內容比重和深度都有所增加，第1課時教學重點為回顧一次函數和二次函數的基本知識，教師可以從三個方面引導學生從舊知識中發(fā)現新的知識：一是回顧一次函數賦值變化過程與形成函數圖像的邏輯，引導學生直接觀察圖像來猜想函數性質;二是回顧函數圖像平移原理，在坐標系中嘗試平移圖像，反向推理這種調整中變量、參數的具體變化，加深對函數中變量、系數、常數等對圖像的影響;三是回顧點坐標帶入函數解析式中推出參數的方法，進而理解解析式和的值域等。在回顧舊知識、導入新知識的過程中，教師應刻意引導學生總結規(guī)律、大膽猜想和推理，使學生有效利用邏輯推理來發(fā)現新知識、理解新知識，這不但能夠提高學生的成就感，也能強化其邏輯推理意識。

第二，在一般教學、復習課中圍繞邏輯推理過程進行詳細講解。教師在一般的知識講解和習題講解中不僅要講解具體的認知方法和解題思路，也要積極引導學生探索知識之間關聯(lián)、拓展的關系，解釋如何運用推理方法分析相應問題，對推理過程進行詳細的分析，讓學生能夠按照教師提供的相對更為嚴謹、規(guī)范的邏輯推理路徑重新審視個人的應用過程[3]，從而發(fā)現并解決自身問題。比如，在應用待定系數法解決數列通項公式的訓練中，已有問題“數列中，=-1，，求通項公式”，將轉換為，但這一步處理的難點是如何做出在等式兩側添加常數3來構建公比為2的等比數列關系。教師要解釋逆向推理的過程：對此類問題先假設為有規(guī)律的數列（否則設問不成立）;然后假設數列形式是等差數列或等比數列，并指出多數情況下本階段數列通項計算都會應用待定系數法，結合待定系數法應用規(guī)律來嘗試調整條件關系式;最后再代入已知條件（=-1）來計算最終通項公式（）。教師需要在講解時解釋如何提出假設、如何選擇推理方法、如何驗證假設的過程，從而幫助學生理順邏輯推理過程，提高其邏輯推理能力。同時也可以鼓勵學生交流和分享，讓學生在交流過程中了解新的推理思路，打開學生的個人視野，學生在分享的過程中也能回顧自己的推理過程，在這一過程中進一步理順思路、矯正錯誤，這有助于加強學生對邏輯推理的認知。在課堂時間相對充裕時，教師也可以參與學生交流，幫助學生快速總結不同推理思路，指出各類思路的特點和適用性，進一步提高學生對邏輯推理方法的認識。

結束語

總體而言，“雙新”背景下高中數學邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展的要求更高，但部分學生缺乏探究意識，而教師在探究活動設計、導入教學和教學講解等方面也存在問題，這限制了學生邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展。教師應重視學生邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展，將其設為常態(tài)化教育任務，通過構建生活情境、開展深度探究、在導入和講解中滲透等方式來提高學生邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展質量。

參考文獻

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