吳紅英

[摘? 要] 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是鞏固階段性學(xué)習(xí)成果、提升數(shù)學(xué)能力的重要課型，在復(fù)習(xí)課中，教師要通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想、邏輯推理、理性論證，讓學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的學(xué)科綜合素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 直觀判斷;邏輯論證;數(shù)學(xué)能力

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課一直是教師較難把握的一類課型，如何提升復(fù)習(xí)效果，避免“炒冷飯”，讓復(fù)習(xí)課上出新意，上出特點(diǎn)，是他們一直研究的課題.復(fù)習(xí)課沒有固定的教材和習(xí)題，也沒有新鮮的素材，教師要通過自己的知識(shí)體系和理解認(rèn)識(shí)進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生進(jìn)行階段性的復(fù)習(xí)鞏固，提高解題能力，構(gòu)建知識(shí)體系. 在實(shí)際教學(xué)中，有些教師的復(fù)習(xí)課只是把知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行羅列，然后通過講題完成復(fù)習(xí)，學(xué)生往往只是得到了零散的知識(shí)和會(huì)做幾道題，那么這一階段需要掌握哪些數(shù)學(xué)方法，體會(huì)什么數(shù)學(xué)思想，學(xué)生無法感受到. 為此，筆者在復(fù)習(xí)全等三角形一課時(shí)，從數(shù)學(xué)猜想開始，引導(dǎo)學(xué)生一步步探索數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程.

課堂實(shí)錄

1. 課堂導(dǎo)入

播放視頻《有趣的方塊》，視頻內(nèi)容介紹：

（1）一個(gè)長方形由24塊木塊組成.

（2）第一步，將左上方的一個(gè)木塊拿掉，并將右斜方梯形形狀的木塊移出來.

（3）第二步，移動(dòng)左邊的豎側(cè)方塊放到右斜方向空出的位置.

（4）第三步，將第一步拿掉的梯形形狀木塊放回左側(cè).

（5）經(jīng)過移動(dòng)變化之后的圖形仍然是一個(gè)長方形.

（6）拿掉一個(gè)木塊，為什么還是一個(gè)長方形呢？

視頻連續(xù)滾動(dòng)播放，教室里很安靜，學(xué)生默默觀看. 當(dāng)?shù)谌椴シ沤Y(jié)束時(shí)，學(xué)生開始討論. 有學(xué)生說：好神奇，為什么拿掉一塊木塊，圖形還是沒有改變呢？這時(shí)有個(gè)學(xué)生說，如果繼續(xù)再按照這個(gè)步驟做一次，圖形還是不變嗎？如果這樣，那木塊永遠(yuǎn)不會(huì)少嗎？學(xué)生哈哈大笑. 過了一會(huì)兒，有一位男生又站了起來，這個(gè)圖形還是有變化的，它的面積好像變小了. 學(xué)生們紛紛動(dòng)手嘗試，確認(rèn)了這名學(xué)生的想法.

師：現(xiàn)在我們用幾何畫板來演示一下，看一看到底是什么情況.

幾何畫板展示（如圖1所示）完，學(xué)生看得更清楚了，這個(gè)長方形的長變了.

師：這個(gè)神奇的視頻告訴我們，有時(shí)候“眼見不一定為實(shí)”，數(shù)學(xué)需要用證據(jù)來說話，所以有時(shí)還需要借助工具以及數(shù)學(xué)知識(shí)來幫助我們?nèi)プC明.

2. 圖形探究

師：老師會(huì)一種神奇的證明方法，可以證明任意一個(gè)三角形都是等腰三角形或是一個(gè)等邊三角形.

生：不可能.

師：那我們拭目以待吧.

案例1 如圖2所示，畫一個(gè)三角形ABC，作∠BAC的角平分線AO，作BC邊上的中垂線DO，兩條線相交于點(diǎn)O，嘗試證明AB和AC相等.

生1：由AO是∠BAC的角平分線，所以∠BAO和∠CAO相等，由于OD是BC邊上的中垂線，所以O(shè)B和OC相等. 由△BAO和△CAO相似，可以證明AB和AC相等.

師：同學(xué)們，這位同學(xué)分析得對嗎？

生2：我認(rèn)為是錯(cuò)的，因?yàn)檫@個(gè)三角形全等的判定依據(jù)是錯(cuò)的.

師：那么你有什么辦法可以證明AB和AC相等嗎？

學(xué)生們開始自己思考，自己作圖并討論.

生3：我是通過作輔助線證明的，如圖3所示，過點(diǎn)O作OE垂直于AB，OF垂直于AC，垂足分別為E和F，這樣可以證明AE和AF相等.

師：怎么證明呢？

生4：由于AO是∠BAC的角平分線，所以∠EAO和∠FAO相等，因?yàn)镺E垂直于AB，OF垂直于AC，所以∠AEO和∠AFO相等，都為直角. 在△AEO和△AFO中，∠EAO和∠FAO相等，∠AEO和∠AFO相等，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形全等，所以AE和AF相等.

師：很好，那么接下來怎么才能證明AB和AC相等呢？

學(xué)生異口同聲地說，證明EB和FC相等.

師：那么誰來展示一下呢？

生5：因?yàn)镺D是BC邊上的中垂線，所以O(shè)B和OC相等，因?yàn)镺E垂直于AB，OF垂直于AC，所以∠OEB和∠OFC相等，并且都為直角. 在直角三角形BEO和直角三角形CFO中，OE和OF相等，OB和OC相等. 因?yàn)橹苯侨切蜝EO和直角三角形CFO全等，所以BE和CF相等. 由AE加BE的和等于AB，AF加FC的和等于AC，所以AB和AC相等.

經(jīng)過學(xué)生們的思考和討論，教師與他們一起復(fù)習(xí)了判定全等三角形的方法，學(xué)生們紛紛表示懷疑，難道真的任意一個(gè)三角形都是等腰三角形嗎？可是這不可能??！

師：大家一定會(huì)覺得很奇怪吧！那同學(xué)們再討論思考一下，看看是什么問題導(dǎo)致的呢？

生6：老師，我仔細(xì)觀察了剛才的證明是正確的，只有一種可能就是圖有問題.

學(xué)生紛紛恍然大悟，肯定問題在這里.學(xué)生還紛紛提出了自己的意見，有的說是角平分線的問題，也有的說是中垂線的問題，還有的認(rèn)為是中垂線和角平分線的交點(diǎn)問題.

師：既然同學(xué)們覺得老師的圖畫得有問題，那么同學(xué)們嘗試一下，能畫出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圖形嗎？

3. 操作實(shí)踐

學(xué)生紛紛拿出作圖工具開始嘗試，教師進(jìn)行巡課和指導(dǎo).

步驟：先任意作一個(gè)三角形，再作BC邊上的中垂線和∠BAC的角平分線.

學(xué)生經(jīng)過自己的實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)∠BAC的角平分線和BC邊上的中垂線的交點(diǎn)不是像課件上顯示的在△ABC的內(nèi)部，而是在三角形的外部.

學(xué)生通過自己的實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)原來問題就在作圖上面.看到這個(gè)結(jié)果，學(xué)生終于長舒了一口氣.

師：經(jīng)過剛才的實(shí)驗(yàn)，我們是否可以總結(jié)這樣一個(gè)定理，三角形任意邊的中垂線與這條邊所對的角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的外面.

（學(xué)生陷入了思考）

生7：老師，我覺得不一定，我們只畫了一種三角形，三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，我們必須把每一種都試一下，才能確定剛才的判斷能不能成立.

師：好的，那么下面大家分小組進(jìn)行討論和交流一下.

生8：我們經(jīng)過討論，覺得這個(gè)判斷是對的，課前的證明是不可能的.

4. 推理論證

學(xué)生覺得今天的學(xué)習(xí)已經(jīng)告一段落了，教師繼續(xù)追問.

師：剛才我們只是通過作圖發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，但是數(shù)學(xué)問題我們還需要進(jìn)行理論證明，如何證明我們的這個(gè)結(jié)論是正確的呢？

教室里的氛圍又安靜下來，學(xué)生紛紛覺得無從下手.

師：看來這個(gè)問題把大家難倒了，如果無法直接證明，我們是否可以換一個(gè)角度來解決呢？

生9：我們可以假設(shè)交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，如圖4所示，如果是等邊三角形，那么角平分線和對邊中垂線的交點(diǎn)就在三角形的內(nèi)部，反之則交點(diǎn)在外部.

（學(xué)生紛紛表示贊同）

師：大家覺得他的證明沒有問題嗎？

學(xué)生又開始疑惑了，難道還有問題嗎？

生10：我覺得這個(gè)圖有問題，如果是等邊三角形的話，那么這個(gè)角的角平分線和對邊中垂線的交點(diǎn)應(yīng)該是重合的，沒有交點(diǎn). 同樣等腰三角形也有三線合一的性質(zhì)，因此，當(dāng)一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)，頂角的角平分線和底邊中垂線也是沒有交點(diǎn)的，當(dāng)三角形不是等腰三角形時(shí)，則滿足交點(diǎn)在三角形的外部.

（學(xué)生不由自主地發(fā)出了感嘆聲）

師：這節(jié)課同學(xué)們沖破了錯(cuò)誤的理論的重重迷霧，撥云見日，最終獲得了正確的答案，在這個(gè)過程中，我們不僅學(xué)會(huì)了作圖，復(fù)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)，而且也認(rèn)識(shí)到許多直觀的現(xiàn)象不一定是正確的，要用科學(xué)的理論進(jìn)行驗(yàn)證，多思多辨.

反思總結(jié)

1. 從直觀觀察到邏輯論證，培養(yǎng)科學(xué)的態(tài)度

科學(xué)的理性精神可以幫助學(xué)生更加客觀理性地看待世界，在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生可以通過觀察、實(shí)踐、思考、內(nèi)化逐漸形成思考問題的方法和態(tài)度. 本課中教師從一個(gè)有趣的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入復(fù)習(xí)，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)直觀觀察的弊端和引入理論證明的必要性. 從最初的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，學(xué)生完成了思維的飛躍，培養(yǎng)了科學(xué)的態(tài)度.

2. 巧妙設(shè)計(jì)增加課堂趣味，提升復(fù)習(xí)效果

復(fù)習(xí)課不像新授課那樣有新鮮感，如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣是教學(xué)中的難點(diǎn)，因此教師需要在教學(xué)設(shè)計(jì)上下功夫. 教學(xué)中教師要改變講得多、總結(jié)歸納少，讓學(xué)生做得多、思考少的現(xiàn)象. 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要從學(xué)生發(fā)展的角度，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 教師要通過巧妙的設(shè)計(jì)，使不同層次的學(xué)生都能有所發(fā)展，從感性的認(rèn)識(shí)升華到認(rèn)識(shí)的感悟，提升復(fù)習(xí)課的有效性.

總之，有效的復(fù)習(xí)課能幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，滲透數(shù)學(xué)思想，提煉數(shù)學(xué)方法. 教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維空間，鼓勵(lì)學(xué)生盡情探究，充分發(fā)展. 復(fù)習(xí)課的教學(xué)要始終以學(xué)生為主體，從“學(xué)”的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，只有關(guān)注學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，才能達(dá)成復(fù)習(xí)的效果，提升學(xué)生的綜合素質(zhì).