劉師妤　周龍虎

【摘 要】經(jīng)由學(xué)科教學(xué)發(fā)揮學(xué)科育人功能是教師的根本使命，也是學(xué)科教學(xué)的根本旨趣。厘清學(xué)科育人的基本內(nèi)涵，凸顯學(xué)科育人的價(jià)值取向是“新課標(biāo)、新教材、新高考”背景下數(shù)學(xué)教學(xué)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。教考銜接下的數(shù)學(xué)學(xué)科育人特點(diǎn)是遵循課標(biāo)精神，落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng);關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，豐富數(shù)學(xué)研究對(duì)象;突出研究意識(shí)，培育探索及理性精神。

【關(guān)鍵詞】學(xué)科育人;內(nèi)涵特征;核心素養(yǎng);高考數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)本質(zhì)

一、引言

2022年高考數(shù)學(xué)已落下帷幕，試題多以真實(shí)情境為背景，既發(fā)揮了考試的教育功能和導(dǎo)向作用，又加強(qiáng)了關(guān)鍵能力考查，增強(qiáng)了選拔性。高考一直深刻觀照教與學(xué)的過(guò)程并致力于改進(jìn)與完善。但是教如何促進(jìn)素養(yǎng)落地，學(xué)如何提升思維品質(zhì)，教考如何銜接才能彰顯出有效性與考評(píng)的一致性，是高考的應(yīng)然啟示。對(duì)“教—學(xué)—評(píng)”三者關(guān)系的思考，本質(zhì)上是對(duì)學(xué)科教學(xué)和學(xué)科育人的聚焦及辨析，即如何通過(guò)學(xué)科教學(xué)實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的功能，讓高考測(cè)評(píng)更具準(zhǔn)確性和針對(duì)性。學(xué)科教學(xué)立足于知識(shí)的授受過(guò)程，如何發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)科教學(xué)的目標(biāo)及關(guān)鍵;學(xué)科育人則側(cè)重學(xué)科德育，強(qiáng)調(diào)通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)培養(yǎng)良好的情感、態(tài)度及價(jià)值觀。要實(shí)現(xiàn)從學(xué)科教學(xué)向?qū)W科育人的轉(zhuǎn)變，就必須對(duì)學(xué)科育人的內(nèi)涵做深刻的解析并對(duì)育人的手段或路徑予以清晰的把握。

二、數(shù)學(xué)學(xué)科育人的內(nèi)涵解析

學(xué)科育人價(jià)值包括學(xué)科獨(dú)特的育人價(jià)值和跨學(xué)科的共性育人價(jià)值[1]，需要通過(guò)學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)得以實(shí)現(xiàn)。數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)涵豐富，不僅包括數(shù)學(xué)解題活動(dòng)、數(shù)學(xué)探究活動(dòng)等顯性活動(dòng)，還包括冥思苦想、觀察聯(lián)想等一系列隱形的思維或心理活動(dòng)。因此需要考察學(xué)科實(shí)踐的全過(guò)程，才能深刻理解學(xué)科育人的內(nèi)涵特征。

（一）根植學(xué)科核心素養(yǎng)，指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟

從“中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)培養(yǎng)”的發(fā)布到“學(xué)科核心素養(yǎng)”的凝練，學(xué)科的獨(dú)特育人功能得到彰顯?；跀?shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性、嚴(yán)密邏輯性以及廣泛應(yīng)用性等特點(diǎn)，史寧中將數(shù)學(xué)的基本思想概括為：抽象、推理及模型，并具化為六種數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。他將這些核心素養(yǎng)解讀為用數(shù)學(xué)的眼光觀察數(shù)學(xué)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)世界，既強(qiáng)調(diào)了學(xué)科核心素養(yǎng)作為構(gòu)建學(xué)科核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)發(fā)展模型的底層（或基礎(chǔ)）地位，又揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。對(duì)于“數(shù)學(xué)的本質(zhì)”雖未有統(tǒng)一的定義，但數(shù)學(xué)本質(zhì)必然是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所固有的根本屬性，是區(qū)別于其他學(xué)科內(nèi)容的基本特質(zhì)[2]。如對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的理解、對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的把握、對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞及對(duì)數(shù)學(xué)精神的追求。相較于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀念、滲透數(shù)學(xué)思想方法，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)既充當(dāng)抓手，又具體實(shí)用，并且易于落地。無(wú)論是從課程到主題，還是從單元到課時(shí)，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循以下教學(xué)邏輯流程：（1）確定培育哪些核心素養(yǎng)？這是對(duì)教學(xué)目標(biāo)的大致設(shè)定，其受教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)設(shè)計(jì)思路的制約，一般至少有兩種。但應(yīng)盡可能關(guān)聯(lián)其他學(xué)科的核心素養(yǎng)，以教學(xué)內(nèi)容的開(kāi)放性帶動(dòng)核心素養(yǎng)培育的全面性[3]。（2）確定要培育的目標(biāo)核心素養(yǎng)（群）應(yīng)達(dá)致何種水平？按照四個(gè)水平維度進(jìn)行劃分，分別是情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思。（3）確定滲透了哪些數(shù)學(xué)思想方法，凸顯了什么數(shù)學(xué)哲學(xué)觀念？也就是對(duì)教學(xué)全過(guò)程做必要的思想方法和一般觀念的提煉。

不難看出，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)皆指向?qū)?shù)學(xué)本質(zhì)的體悟，這與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）所指出的基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)[4]不謀而合。因此，從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)成為一條可行的路徑。圍繞知識(shí)本質(zhì)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體分析、對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境和問(wèn)題鏈的合理設(shè)置、對(duì)知識(shí)邏輯關(guān)系的重新梳理與重構(gòu)，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[5]。此外，教師應(yīng)積極地投入到促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力發(fā)展的行動(dòng)研究中去，以合理的教學(xué)診斷為依據(jù)，開(kāi)展精準(zhǔn)的教學(xué)改進(jìn)[6]。

（二）把握數(shù)學(xué)認(rèn)知內(nèi)涵，構(gòu)建多維育人體系

數(shù)學(xué)認(rèn)知是指通過(guò)數(shù)學(xué)的方式（觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理等）建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的心理過(guò)程。該過(guò)程是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與個(gè)體心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物，需借由豐富的數(shù)學(xué)認(rèn)知對(duì)象得以實(shí)現(xiàn)。認(rèn)知對(duì)象的逐步抽象化和復(fù)雜化客觀上要求學(xué)生的認(rèn)知水平與之協(xié)調(diào)一致，即實(shí)現(xiàn)由具體數(shù)字到抽象符號(hào)，由常量到變量，由有限到無(wú)限，由確定性到不確定性的觀念轉(zhuǎn)變和必然躍遷。沒(méi)有數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的躍遷，根本就談不上學(xué)科育人目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程是重賦知識(shí)價(jià)值的過(guò)程。作為學(xué)科育人的最初樣態(tài)，知識(shí)的內(nèi)在屬性決定了知識(shí)的價(jià)值。知識(shí)是人類(lèi)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，知識(shí)經(jīng)建構(gòu)生成，蘊(yùn)藏著前人辛勤探索、不斷追求真理的艱辛歷程，知識(shí)學(xué)習(xí)是利用他人經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)、發(fā)展并完善個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，知識(shí)只有經(jīng)由理解才能融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)并獲得意義。知識(shí)的育人價(jià)值不僅體現(xiàn)在育智、育德、育美上，更在于精神意義?！叭恕被?dòng)是學(xué)科育人的邏輯起點(diǎn)[7]，通過(guò)與知識(shí)（包含隱性知識(shí)）的積極交互，學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)、生活、興趣、情感全部融入其中并升格為能動(dòng)性、創(chuàng)造性和意義感。

基本技能的學(xué)習(xí)與掌握是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第二層目的。數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)，是使“不會(huì)”變成“會(huì)”，“不熟練”變成“熟練”，是開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)的必要條件。通過(guò)數(shù)學(xué)基本技能的學(xué)習(xí)，學(xué)生能習(xí)得必備的操作性技能和心智性技能，并為問(wèn)題解決奠定基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)基本技能的教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握技能操作的基本程序和步驟，還應(yīng)讓他們理解其中蘊(yùn)含的道理。從學(xué)科技能學(xué)習(xí)到學(xué)科方法概括再到學(xué)科思想發(fā)掘，循序漸進(jìn)地展現(xiàn)了技能育人的演進(jìn)邏輯。

數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。數(shù)學(xué)活動(dòng)是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)諸要素地再組織與優(yōu)化整合的過(guò)程，學(xué)生親歷數(shù)學(xué)活動(dòng)即是“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程。“做數(shù)學(xué)”從具身體驗(yàn)性出發(fā)，通過(guò)學(xué)生的感受、覺(jué)知、動(dòng)手操作及“做中學(xué)”等不同方式，有助于數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)的積累、學(xué)習(xí)體驗(yàn)的延長(zhǎng)及改善[8]。在數(shù)學(xué)活動(dòng)推進(jìn)過(guò)程中，教師要辯證地看待學(xué)生共同基礎(chǔ)和個(gè)體發(fā)展的差異，在活動(dòng)的目標(biāo)確定、內(nèi)容選擇、組織形式及評(píng)價(jià)等方面，始終貫徹“把方法教給學(xué)生，把時(shí)間還給學(xué)生”的育人理念，讓每個(gè)學(xué)生在經(jīng)歷有效數(shù)學(xué)活動(dòng)的同時(shí)獲得不同的發(fā)展。

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)特征的再次抽象與凝練，是知識(shí)的靈魂所在，理所當(dāng)然也應(yīng)發(fā)揮其育人功能。數(shù)學(xué)思想方法非顯性數(shù)學(xué)知識(shí)，它往往內(nèi)蘊(yùn)于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題或現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中。因此，數(shù)學(xué)思想方法的“不可教性”決定了其教學(xué)路徑的封閉性。即使揭示了某種數(shù)學(xué)思想方法，深化與應(yīng)用的過(guò)程還是需要學(xué)生以多視角、多層次進(jìn)行深度剖析和理解。為使學(xué)生更好地體驗(yàn)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，教師還應(yīng)以正確的數(shù)學(xué)思維方法示范并引導(dǎo)[9]。

綜上，建構(gòu)以數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)活動(dòng)及數(shù)學(xué)思想方法為有效抓手的學(xué)科多維育人體系，有助于學(xué)科教學(xué)循序漸進(jìn)地展開(kāi)，有利于學(xué)科教學(xué)本質(zhì)的應(yīng)然回歸。

（三）立足共同發(fā)展平臺(tái)，規(guī)劃分類(lèi)分層育人設(shè)想

學(xué)科育人的基本定位是培養(yǎng)適應(yīng)未來(lái)發(fā)展的人，而非學(xué)科專(zhuān)業(yè)人才。因而，為學(xué)生發(fā)展構(gòu)建共同平臺(tái)是學(xué)科育人的第一要?jiǎng)?wù)。新課標(biāo)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出了共同的發(fā)展要求，即要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中掌握“四基”“四能”“三會(huì)”，并通過(guò)教師引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)思考、會(huì)應(yīng)用為可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)[10]。

在構(gòu)建學(xué)生共同發(fā)展平臺(tái)的同時(shí)，為滿足不同學(xué)生的發(fā)展需求（如數(shù)學(xué)興趣發(fā)展、數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)發(fā)展等），新課標(biāo)也設(shè)置了必修、選擇性必修和選修三種課程類(lèi)型，貫徹了因材施教的課程內(nèi)容設(shè)置原則。因材施教的基本含義是從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，照顧到學(xué)生的個(gè)體差異，實(shí)施不同的教育，包括不同的培養(yǎng)目標(biāo)、不同的教育內(nèi)容、不同的教育要求、不同的教育方法，使每一個(gè)學(xué)生都能在自己原有的基礎(chǔ)上得到比較好的發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)的具體實(shí)踐中，一般應(yīng)采用“分層教學(xué)”的施教策略。教育要實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的教育目標(biāo)，就應(yīng)做精準(zhǔn)的學(xué)情分析，并對(duì)具體情況做具體分析和應(yīng)對(duì)之策，這是辯證唯物主義在教學(xué)中遵循的根本原則。盡管如此，學(xué)科育人目標(biāo)仍要以培養(yǎng)“普通人”為取向的“學(xué)科普通育人目標(biāo)”為主，并使教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)方式回歸學(xué)生的日常生活世界[11]。

三、數(shù)學(xué)學(xué)科育人的高考表達(dá)

高考作為教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，選拔是基本功能，育人才是核心功能。因而，衡量高考試題的質(zhì)量不能單靠信度和效度（難度以及區(qū)分度）等主要指標(biāo)，還需要深挖試題背后的育人功能。高考數(shù)學(xué)的育人功能一般涵蓋三個(gè)層面：展現(xiàn)社會(huì)主義制度的優(yōu)越性，增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情懷和國(guó)家認(rèn)同;結(jié)合我國(guó)數(shù)學(xué)研究成就和數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)學(xué)生民族自豪感與自信心;培育規(guī)則意識(shí)、探索與創(chuàng)新精神及辯證思想，增強(qiáng)理性精神[12]。為體現(xiàn)時(shí)代的發(fā)展需求，且兼顧高考試題的創(chuàng)新性原則，每年高考試題的育人重點(diǎn)都不盡相同。下面以2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)I卷為例進(jìn)行分析。

（一）遵循課標(biāo)精神，落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)

高考數(shù)學(xué)命題無(wú)論是考查內(nèi)容范圍，還是要求層次都應(yīng)與課程標(biāo)準(zhǔn)保持高度一致。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)教學(xué)核心理念凝練為學(xué)科核心素養(yǎng)，既體現(xiàn)了與時(shí)俱進(jìn)的人才培育要求，又凸顯學(xué)科的獨(dú)特育人價(jià)值。2022年高考數(shù)學(xué)試題聚焦抽象、運(yùn)算和模型等學(xué)科核心素養(yǎng)，遵循“課標(biāo)是導(dǎo)向，素養(yǎng)是核心”的基本命題原則，踐行立德樹(shù)人的根本使命。

1.立足對(duì)象結(jié)構(gòu)，發(fā)展抽象概括能力

抽象是在感性抽象基礎(chǔ)上進(jìn)行理性抽象的過(guò)程，高考試題對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的考查一般包含兩個(gè)方面：（1）以具體、繁雜的數(shù)學(xué)對(duì)象為載體，發(fā)展結(jié)構(gòu)抽象素養(yǎng);（2）以抽象對(duì)象為載體，考查關(guān)系抽象能力。

例1 （2022年全國(guó)I卷第7題）設(shè)a=0.1e^0.1，b=[1/9]，c=-ln0.9，則（? ）

A.a

評(píng)析：無(wú)理式大小比較是一件不容易的事情，尤其當(dāng)它們不具備“相似”的結(jié)構(gòu)（不能構(gòu)造函數(shù)，直接利用函數(shù)單調(diào)性比較大?。r(shí)，我們就需要從繁復(fù)的數(shù)式中擷取簡(jiǎn)易的同性元素（如本題中的“0.1”），從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)抽象。具體地，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此可得到a

2.融合“理”“法”，助推運(yùn)算的優(yōu)化及自動(dòng)化

算理和算法是運(yùn)算的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升得益于算理的明晰和算法的優(yōu)選?！岸嘞胍稽c(diǎn)少算，少想一點(diǎn)多算”的命題理念依然根植于高考。隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程對(duì)理解運(yùn)算對(duì)象、明確運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、掌握運(yùn)算法則等方面都有了更高的要求，且指向計(jì)算思維的養(yǎng)成。計(jì)算思維的本質(zhì)是抽象和自動(dòng)化，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的最終目的是實(shí)現(xiàn)運(yùn)算素養(yǎng)到計(jì)算思維的蛻變。

例2 （2022年全國(guó)I卷第8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上。若該球的體積為[36π]，且3≤l≤[33]，則該正四棱錐體積的取值范圍是（? ）

評(píng)析：本題以正四棱錐及其外接球?yàn)檩d體，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)。設(shè)正四棱錐的高為h，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此可確定正四棱錐體積的取值范圍。在運(yùn)算過(guò)程中，得到正四棱錐的體積V=[13]Sh=[19l41-l236]后，可借助導(dǎo)數(shù)工具求最值，也可利用三元基本不等式求最值。因此，深刻剖析算理，靈活選擇算法是提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵舉措。

3.聚焦經(jīng)典素材，考查模型理解及建構(gòu)水平

通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，我們能覺(jué)知其直觀性、過(guò)程漸進(jìn)性及本質(zhì)特征。運(yùn)用數(shù)學(xué)模型思想的過(guò)程是借助已有數(shù)學(xué)模型建構(gòu)知識(shí)體系、解決未知問(wèn)題甚至建構(gòu)新模型的過(guò)程，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的過(guò)程。

例3 （2022年全國(guó)Ⅰ卷第15題）若曲線y=（x+a）ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是? ? ? 。

評(píng)析：函數(shù)的切線問(wèn)題是典型的數(shù)學(xué)模型，一般有兩種解決策略：一是直接設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于x0的方程，根據(jù)此方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)（對(duì)應(yīng)切線的條數(shù)），求得目標(biāo)參數(shù)的取值范圍;二是通過(guò)函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)與形的內(nèi)在關(guān)系，可直觀得到目標(biāo)參數(shù)的取值范圍。

（二）關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，豐富數(shù)學(xué)研究對(duì)象

結(jié)構(gòu)是組成整體的各部分的有機(jī)搭配，結(jié)構(gòu)所傳遞的信息最為清晰有效。籠統(tǒng)地說(shuō)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)一般分為代數(shù)結(jié)構(gòu)與幾何結(jié)構(gòu)。代數(shù)結(jié)構(gòu)的幾何化以及幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)化路徑能順暢地溝通兩者之間的關(guān)系，從而發(fā)揮結(jié)構(gòu)表征與轉(zhuǎn)化的最大效益。數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，不僅包括概念、定理、思想方法，還包含數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這里的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)并非是數(shù)學(xué)中狹義的群結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等具體結(jié)構(gòu)，而是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象間本質(zhì)特征的形式化描述?？陀^地說(shuō)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)比其他數(shù)學(xué)對(duì)象更利于揭示命題的意圖，從而確定研究方向及思路。

例4 （2022年全國(guó)Ⅰ卷第18題）記[△ABC]的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知[cosA1+sinA=][sin2B1+cos2B]。

（1）若C=[2π3]，求B;（2）求[a2+b2c2]的最小值。

評(píng)析：本題立足于解三角形中邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化以及三角恒等變換，對(duì)代數(shù)變形技巧有較高的要求。本題的題眼[cosA1+sinA=][sin2B1+cos2B]，揭示了相似的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即[cosA1+sinA=][cos（π2-2B）1+sin（π2-2B）]，故可構(gòu)造新函數(shù)f（x）=[cosx1+sinx]，通過(guò)弦切互化等變形手段，得到f（x）=[cosx1+sinx]=[tan（π4-x2）]。再結(jié)合角度范圍，得到A+2B=[π2]，后面的問(wèn)題便迎刃而解。

例5 （2022年全國(guó)Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值。

（1）求a;

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。

評(píng)析：鑒于本題中的目標(biāo)函數(shù)f（x）與g（x）存在結(jié)構(gòu)上的相似關(guān)系（可借助換元同構(gòu)），故第（2）問(wèn)轉(zhuǎn)化后的特殊方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。第（2）問(wèn)立足于特殊的幾何結(jié)構(gòu)直觀，需要將它轉(zhuǎn)譯為等價(jià)的代數(shù)關(guān)系。即當(dāng)b>1時(shí)，方程ex-x=b有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x0（x1<0（三）突出研究意識(shí)，培育探索及理性精神

隨著數(shù)學(xué)課程改革的深入，提高學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、研究意識(shí)已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的緊要任務(wù)。濃厚的問(wèn)題意識(shí)推動(dòng)著探索的步伐，反過(guò)來(lái)，主動(dòng)探索又能生發(fā)新的問(wèn)題或方法，且能提高問(wèn)題研究水平。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣在于探索的樂(lè)趣及成就感的獲得，因此，具有一定挑戰(zhàn)性和思辨性的數(shù)學(xué)試題能有效考查學(xué)生的綜合素質(zhì)和理性精神。

例6 （2022年全國(guó)Ⅰ卷第16題）已知橢圓C：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為[12]。過(guò)F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，[DE]=6，則[△ADE]的周長(zhǎng)是? ? ? ?。

評(píng)析：面對(duì)形式復(fù)雜、綜合性較強(qiáng)的解析幾何問(wèn)題，應(yīng)遵循“定義—幾何性質(zhì)—常見(jiàn)結(jié)論— 一般方法”的思考邏輯順序。這一思考邏輯順序應(yīng)經(jīng)由學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中探究概括得到，否則難以成為學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的可隨時(shí)調(diào)用的經(jīng)驗(yàn)。結(jié)合本題中[△ADE]的一般性，可聯(lián)想到利用橢圓定義及圖形的對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。

例7 （2022年全國(guó)Ⅰ卷第21題）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C：[x2a2-y2a2-1=1]（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0。

（1）求l的斜率;

（2）若tan[∠]PAQ=[22]，求[△]PAQ的面積。

評(píng)析：本題的設(shè)問(wèn)方式簡(jiǎn)潔、精煉，沒(méi)有過(guò)多的鋪陳和修飾，且形式新穎。該題第（1）問(wèn)屬于平時(shí)教學(xué)中的典型問(wèn)題，即當(dāng)過(guò)圓錐曲線上某定點(diǎn)的兩直線的斜率之和（或積）為定值時(shí)，那么動(dòng)點(diǎn)連線所在直線的斜率為定值或過(guò)定點(diǎn)。作為第（1）問(wèn)的一般性推廣，解決第（2）問(wèn)需要綜合條件“直線AP，AQ的斜率之和為0”及“tan[∠]PAQ=[22]”求出直線AP和直線AQ的斜率，再分別聯(lián)立直線AP、直線AQ與雙曲線方程求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，即可得到直線PQ的方程以及PQ的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線PQ的距離，即可得出[△]PAQ的面積。簡(jiǎn)而言之，要解決第（2）問(wèn)，需運(yùn)用解析法（主要是夾角公式或到角公式）解三角形?；跀?shù)學(xué)知識(shí)整體觀進(jìn)行問(wèn)題研究，不僅有助于數(shù)學(xué)問(wèn)題的快速解決，而且能讓學(xué)生形成整體性認(rèn)知方式和數(shù)學(xué)理性精神。

四、結(jié)語(yǔ)

分析高考試題的命題特征及趨向性要立足學(xué)科育人這一根本邏輯出發(fā)點(diǎn)，以知育人、以行塑人是基本途徑。教師應(yīng)深入研究教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，使核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中真正落地;教師應(yīng)重視結(jié)構(gòu)化教學(xué)，以知識(shí)認(rèn)知構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而形成或完善認(rèn)知結(jié)構(gòu);教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生積極開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)（尤其是主題探究活動(dòng)），讓知識(shí)流動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生的思維真正活起來(lái)。

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（責(zé)任編輯：陸順演）

【作者簡(jiǎn)介】劉師妤，華中師范大學(xué)教育博士，湖北第二師范學(xué)院講師，曾榮獲武漢市優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng);周龍虎，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育博士，華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師，華中師范大學(xué)考試研究院特聘研究員。

【基金項(xiàng)目】中國(guó)教育學(xué)會(huì)2021年度教育科研中小學(xué)德育專(zhuān)項(xiàng)課題“中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科德育教學(xué)：方法與路徑”（21DY090618ZB）