王廣輝

摘? 要：數(shù)學研究性學習的典型特征是“變”，即通過改變數(shù)學問題對學生的思維方式和學習方式進行訓練。因此，在平時的教學中，教師應該引導學生以研究者的身份，對于典型的數(shù)學問題從不同的角度拓展出諸多新的問題，舉一反三，開拓學生的思維，從而實現(xiàn)高效學習。

關鍵詞：研究性學習;最值問題;拓展思維

良好的數(shù)學思維方式和學習習慣是學好數(shù)學的核心因素。因此，教師在教學中要讓學生以研究數(shù)學的態(tài)度來學習數(shù)學。對于典型的數(shù)學問題，在初步解決的基礎上，教師應該引導學生主動尋找一些相關的問題，并嘗試解決，這樣對于學生的高效學習大有裨益的。下面對一道典型的幾何最值問題進行深入剖析，引導學生了解并掌握研究性學習數(shù)學的方法和技巧。

一、典例精析

題目? 如圖1，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A =[60°，] 點P是對角線BD上的一個動點。如果點M，N分別是邊AB，AD的中點，求PM + PN的最小值。

解析：此題源自人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊第85頁問題1。我們不難找到解決方案，即作出點M關于直線BD的對稱點M′（如圖2）。連接M′N，線段M′N的長即為所求。由平行四邊形的性質(zhì)可知，M′N = AB = 4。所以PM + PN的最小值為4。

波利亞曾經(jīng)形象地指出，好問題同采蘑菇有些相像，它們都能成堆地生長，找到一個后，你應當在周圍再找找，很可能附近就有好幾個。因此，我們應該引導學生在上述問題解決的基礎上進行思維發(fā)散，嘗試以此為基礎去解決更有挑戰(zhàn)性的問題。

二、問題初探

變式1：如果圖1中的點M是邊AB的中點，點N是邊AD上的動點，試求PM + PN的最小值。

解析：遵循慣性思維，我們自然會想到作出點M關于BD的對稱點M′，但由于點N是動點，再連接M′N是無意義的。此時應該作M′N⊥AD于點N，垂線段M′N的長即為所求，即[23。]

【小結(jié)與歸納】從表面上看，由源問題過渡到變式1似乎是“舊瓶裝新酒”，但與源問題不同，變式1主要考查的是幾何性質(zhì)“垂線段最短”。接下來，我們進一步拓展思維，思考如下問題：如果將變式1中的條件“點M是邊AB的中點”改為“點M是邊AB上的動點”（即點P，M，N均為動點）呢？此時動點問題依次由“一動兩定（點）”過渡到“兩動一定（點）”，最終過渡到“三動（點）”，問題的難度層層遞進。

三、拓展研究

變式2：如圖3，如果[AP=15，] 點M，N分別是邊AB，AD上的兩個動點，求△PMN周長的最小值。

解析：如圖4，分別作出點P關于AB，AD的對稱點P1，P2。連接P1P2，分別交AB，AD于點M，N，則△PMN的周長的最小值即為線段P1P2的長度。連接AP1，AP2。在△AP1P2中，AP1 = AP2 = AP，∠P1AP2 = 2∠DAB = 120°，容易求出線段P1P2的長為[35，] 即△PMN的周長的最小值為[35。]

【小結(jié)與歸納】以上問題把“將軍飲馬”問題分三類設計，問題層層遞進，引導學生探究，使學生的認知在類比與轉(zhuǎn)化中不斷走向深入。

四、深度探究

變式3：如圖5，如果點M是邊AB的中點，點N是邊AD上一個動點。將△AMN沿MN所在直線翻折，得到△A′MN。連接A′C，求線段A′C的最小值。

解析：如圖6，由折疊可知A′M = AM = BM，因此點A′在以點M為圓心，半徑為2的半圓上。由三角形的三邊關系可知，A′C > MC - MA′。所以當點M，A′，C三點在同一條線上時，線段A′C的長度最短。作CE⊥MB交MB的延長線于點E。在Rt△BCE中，∠CBE = 60°，BC = 4，則BE = 2，[CE=23。] 所以在Rt△CEM中，[CM=27。] 因為A′M = 2，所以A′C的長度的最小值為[27-2。]

【小結(jié)與歸納】在變式3中，求最值所涉及的知識點主要是三角形三條邊之間的關系，即“三角形兩邊之和大于第三邊”。

五、結(jié)束語

我們看到，以上問題以菱形為載體，從不同的角度派生出諸多新的問題，設計精巧，從不同層面對學生的能力進行考查，一步步拓展學生思維。

通過數(shù)學問題的變式，拓展學生的思維，引導學生知道應該怎樣進行創(chuàng)造性地思考。在教學中，教師要經(jīng)常引導學生以研究者的身份對數(shù)學問題進行探索性地改變與思考。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]G.波利亞. 怎樣解題[M]. 閻育蘇，譯. 北京：科學出版社，1982.