巨小鵬 魏寧

【摘 要】 解題目的在于化繁為簡(jiǎn)，以此理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，同構(gòu)法在近幾年高考題中不斷顯現(xiàn)，方法讓人耳目一新，做到了解題至簡(jiǎn)，也達(dá)到了理解函數(shù)性質(zhì)的目的，然而這種方法的題根題源就在課本里.文中就兩個(gè)函數(shù)高考?jí)狠S題所涉及同構(gòu)法的例題進(jìn)行剖析，找出在課本中的題根題源，并對(duì)四種類型的同構(gòu)法進(jìn)行舉例提升總結(jié)，以深刻理解同構(gòu)法的底層邏輯.

【關(guān)鍵詞】 真題;同構(gòu);課本;題根題源

高考題源于課本，高于課本，重視課本中的例題、習(xí)題、閱讀材料以及旁白思考問(wèn)題是需要師生共同關(guān)注的部分，比如2020年全國(guó)2卷理科第4題北京天壇問(wèn)題，在北師大版必修五第一章第二節(jié)例8中可以找到其題根題源，比如高考題中求三角形面積需要用到其坐標(biāo)公式，在北師大版必修五第二章第一節(jié)例3中有所介紹，所以強(qiáng)調(diào)重視課本教材是高中教學(xué)不可忽視也不可錯(cuò)失的陣地.同構(gòu)法在函數(shù)、圓錐曲線和數(shù)列等模塊中的應(yīng)用逐漸顯現(xiàn)并被大家接受和認(rèn)可，文中就同構(gòu)法解決函數(shù)問(wèn)題在課本中的題根題源做以分析，并對(duì)其內(nèi)在規(guī)律總結(jié)提升，以期完成對(duì)同構(gòu)法的思維構(gòu)建.1 平凡見(jiàn)奇生面開(kāi)——真題呈現(xiàn)

問(wèn)題1 （2020年山東新高考卷·21）已知f（x）=aex-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范圍.問(wèn)題2 （2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷文科·21）已知函數(shù)f（x）=aex-lnx-1.

（1）設(shè)x=2是f（x）的極值點(diǎn).求a，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間;（2）證明：當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥0.

2 源頭活水清如許——課本尋根

特級(jí)教師萬(wàn)爾遐說(shuō)過(guò)：“題海戰(zhàn)術(shù)人笑癡，別人抓根你抓枝，抓根九九能歸一，抓枝遍野怎收拾？課有本，題有根，題根課根聯(lián)考根，講課不把根題展，盲人摸象白費(fèi)神.”命題時(shí)，命題人在千方百計(jì)地把這個(gè)題根藏起來(lái);解題時(shí)恰好相反，解題人則是要千方百計(jì)地把這個(gè)題根尋找到[1].找到題根題源，就找到問(wèn)題的底層邏輯，以此展開(kāi)思維生發(fā)生長(zhǎng)的繼續(xù)探究.題源1 （蘇教版（新版）高中數(shù)學(xué)必修一第19頁(yè)13題）已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過(guò)點(diǎn)A（1，2），求過(guò)兩點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直線方程[2].解析 因?yàn)閮蓷l直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過(guò)點(diǎn)A（1，2），所以a1+2b1+1=0且a2+2b2+1=0.即（a1，b1），（a2，b2）是方程x+2y+1=0的兩組解，所以過(guò)兩點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直線方程是x+2y+1=0.

評(píng)注 題本身不難，重點(diǎn)在由已知得出（a1，b1），（a2，b2）是方程x+2y+1=0的兩組解，對(duì)于這種結(jié)構(gòu)相同性問(wèn)題，構(gòu)造出新的方程解決問(wèn)題的方法值得我們?nèi)ヌ骄?

題源2 （北師大版高中數(shù)學(xué)必修一第83頁(yè)練習(xí)2第1題（3））求等式中x的值：10x+lg2=2000[3].

解析 角度1：10x+lg2=10x·10lg2=2·10x=2000，所以10x=1000=103，即x=3.

角度2：2000=2·103=10lg2·103=10lg2+3=10x+lg2，即x=3.

評(píng)注 角度1運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，其中用到了對(duì)數(shù)性質(zhì)公式，然后將等式兩邊化成以10為底的形式（即結(jié)構(gòu)相同的形式），指數(shù)對(duì)應(yīng)相等;角度2運(yùn)用對(duì)數(shù)性質(zhì)公式將2化成10lg2，再運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，將等式兩邊化成都是底數(shù)為10的形式，左右結(jié)構(gòu)相同，則數(shù)對(duì)應(yīng)相等.兩個(gè)角度都用到了一個(gè)重要的對(duì)數(shù)性質(zhì)公式alogaN=N（a>0，a≠1），然后將等式化成結(jié)構(gòu)相同的形式解決問(wèn)題.

3 鴛鴦繡出憑君看——同構(gòu)法問(wèn)題解答

問(wèn)題1解析 解法1：f（x）=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價(jià)于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx（x>0），令g（x）=ex+x，上述不等式等價(jià)于g（lna+x-1）≥g（lnx），可知g（x）為單調(diào)增函數(shù)，上式又等價(jià)于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1，令h（x）=lnx-x+1，則h′（x）=1-xx，則函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，即h（x）max=h（1）=0，所以lna≥0，即a≥1.

解法2：aex-1-lnx+lna≥1等價(jià)于aex-1≥lnexaxaex-1≥xlnexaxex≥exalnexaexlnex≥exalnexa，令g（x）=xlnx（x>1），易知g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.上式等價(jià)于g（ex）≥gexa，則ex≥exa即a≥exex在（0，+∞）上恒成立.令h（x）=exex，則h′（x）=e（1-x）ex，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以h（x）max=h（1）=1，即a的取值范圍是[1，+∞）.評(píng)注 本題用分類討論也可以完成，利用必要性探路也可以，利用同構(gòu)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想比較簡(jiǎn)捷，但是綜合分析能力要求更高一些.

問(wèn)題2解析 （1）a=12e2;f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+∞）;（2）當(dāng)a≥1e時(shí)，要證f（x）=aex-lnx-1≥0，需證1eex-lnx-1≥0，需證ex≥elnex，需證xex≥xelnex，需證xex≥elnxelnex或exlnex≥exlnex.可設(shè)F（x）=xlnx或F（x）=xex在（0，+∞）上單調(diào)遞增.只需要證x≥lnex=lnx+1即可.

評(píng)注 此題開(kāi)始做了一個(gè)簡(jiǎn)單的放縮，然后變形.放縮在函數(shù)和數(shù)列中應(yīng)用比較廣泛，游刃有余地放縮可以達(dá)到事半功倍的效果.

從幾個(gè)高考例題和題根中可以看出，解題過(guò)程中通過(guò)引導(dǎo)和同化，以順應(yīng)學(xué)生的思維層次和知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生從觀察到變形，將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，化成結(jié)構(gòu)形式相同的方程或者不等式，然后構(gòu)造出熟悉的方程或者函數(shù)問(wèn)題，從而通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性或者其他性質(zhì)進(jìn)行解決問(wèn)題，起到化繁為簡(jiǎn)的目的，我們將這種方法稱為“同構(gòu)法”.

4 悉數(shù)金針度與人——函數(shù)中應(yīng)用舉例揭規(guī)律

4.1 涉及方程兩根的同構(gòu)問(wèn)題

例1 對(duì)于定義域?yàn)镮的函數(shù)，如果存在區(qū)間[m，n]I，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①f（x）在區(qū)間[m，n]上是單調(diào)的;②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)“黃金區(qū)間”.如果[m，n]是函數(shù)y=（a2+a）x-1a2x（a≠0）的一個(gè)“黃金區(qū)間”，則n-m的最大值為（? ）.

A.33? B.1? C.233? D.2

解析 由題意，f（x）=a+1a-1a2x 在（-∞，0）和（0，+∞）上均是增函數(shù)，故f（m）=m，f（n）=n，即m，n為方程a+1a-1a2x=x的兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)根，因?yàn)閙n=1a2>0，且m+n=a+1a，所以只需要a<-3或a>1，所以n-m=（m+n）2-4mn=-31a-132+43，則當(dāng)a=3時(shí)，n-m有最大值233.故選C.例2 已知函數(shù)f（x）=x+2+k，若存在區(qū)間[a，b][-2，+∞），使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇a+2，b+2]，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（? ）.

A.（-1，+∞）? B.（-14，0]

C.（-14，+∞）? D.（-1，0]

解析 據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，f（a）=a+2，f（b）=b+2，即a+2-a+2-k=0，b+2-b+2-k=0，則a+2，b+2是方程x2-x-k=0的兩個(gè)不同非負(fù)實(shí)根，所以Δ=1+4k>0，-k≥0，得-14<k≤0.故選B.

評(píng)注 兩個(gè)題都涉及同構(gòu)法的雛形，通過(guò)題意得出兩個(gè)結(jié)構(gòu)相似的等式，即可看出方程的兩個(gè)根，借助韋達(dá)定理，根據(jù)題意，從而解決問(wèn)題.4.2 雙變量類型問(wèn)題

例3 若對(duì)于任意的0<x1<x2<a，都有x2lnx1-x1lnx2x1-x2>1，求a的最大值.

解析 原不等式可化為x2lnx1-x1lnx2<x1-x2lnx1x1-lnx2x2<1x2-1x1lnx1+1x1<lnx2+1x2，據(jù)此可設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+1x 在定義域（0，a）上單調(diào)遞增，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=-lnxx2≥0在（0，a）上恒成立，據(jù)此可得0<x<1，即實(shí)數(shù)a的最大值為1.

總結(jié)提升 ①已知f（x1）-f（x2）x1-x2>k設(shè)x1>x2，則f（x1）-kx1>f（x2）-kx2，即證y=f（x）-kx為增函數(shù).②已知f（x1）-f（x2）x1-x2<kx1x2設(shè)x1>x2，則f（x1）-f（x2）<k（x1-x2）x1x2=kx2-kx1，即證y=f（x）+kx為減函數(shù)[4].

4.3 指對(duì)同構(gòu)問(wèn)題

例4 設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，若對(duì)任意x∈（0，+∞），不等式eλx-lnxλ≥0恒成立，求λ的取值范圍.

解析 因?yàn)閑λx-lnxλ≥0，所以λeλx≥lnx.解法1：λxeλx≥xlnx=elnxlnx.因?yàn)閒（x）=xex在（0，+∞）上遞增，則f（λx）≥f（lnx），則λx≥lnx，即λ≥lnxx，又因?yàn)間（x）=lnxx在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減，即g（x）max=1e，所以λ的取值范圍是1e，+∞.

解法2：xlnx≤λxeλx=eλxlneλx，因?yàn)閒（x）=xlnx在0，1e上遞減，在1e，+∞上遞增，

當(dāng)0<x≤1時(shí)，x≤eλx（λ>0），顯然成立;當(dāng)x>1時(shí)，eλx>1，f（x）=xlnx在（1，+∞）上遞增，

則f（x）≤f（eλx），x≤eλx兩邊取對(duì)數(shù)得λ≥lnxx，下同解法1.

解法3：λxeλx≥xlnx兩邊同取對(duì)數(shù)得：λx+lnλx≥lnx+lnlnx，因?yàn)閒（x）=x+lnx在（0，+∞）上遞增，由f（λx）≥f（lnx），得λx≥lnx，下同解法1.

總結(jié)提升 此題三種同構(gòu)方式很常見(jiàn)，比較常見(jiàn)的還有指對(duì)同構(gòu)：①積型：aea≤blnbaea≤（lnb）elnb，構(gòu)造f（x）=xex;aea≤blnbealnea≤blnb，構(gòu)造f（x）=xlnx;aea≤blnba+lna≤lnb+lnlnb（兩邊取對(duì)數(shù)），構(gòu)造f（x）=x+lnx等三種同構(gòu)方式.②商型：eaa<blnbeaa<elnblnb，構(gòu)造f（x）=exx;eaa<blnbeaelnea<blnb，構(gòu)造f（x）=xlnx;eaa<blnba-lna≤lnb-lnlnb（兩邊取對(duì)數(shù)），構(gòu)造f（x）=x-lnx等三種同構(gòu)方式.③和差型：ea±a>b±lnbea±a>elnb±lnb，構(gòu)造f（x）=ex±x;ea±a<b±lnbea±lnea<

b±lnb，構(gòu)造f（x）=x±lnx兩種同構(gòu)方式.4.4 同構(gòu)放縮問(wèn)題例5 已知不等式xex-a（x+1）≥lnx對(duì)任意正數(shù)x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析 因?yàn)閤>0，則x+1>0.原不等式可化為a≤xex-lnxx+1=ex+lnx-lnxx+1，又因?yàn)閑x+lnx-lnxx+1≥x+lnx+1-lnxx+1=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1e時(shí)取等號(hào).所以a≤1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1].

總結(jié)提升 在同構(gòu)變形的過(guò)程中，有時(shí)需要利用對(duì)數(shù)不等式或者指數(shù)不等式（兩個(gè)重要不等式）進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.例如：（1）ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)），以此公式展開(kāi)的變形有：ex-1≥x;ex≥ex;xex=ex+lnx≥x+lnx+1;exx=ex-lnx≥x-lnx+1等等.（2）lnx≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），以此公式展開(kāi)的變形有：lnex≤x;lnx≤xe;xex=elnx-x≥lnx-x+1;x2ex=ex+2lnx≥x+2lnx+1;x2ex=ex+2lnx≥e（x+2lnx）;lnx≤ex-2;lnx≥1-1x;xlnx≥x-1等等.需要注意的是取等條件，即使多次放縮，也要使得取等條件相同.

在解題過(guò)程中有時(shí)需要借助指數(shù)或?qū)?shù)性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，比如xex=ex+lnx;exx=ex-lnx;x+lnx=ln（xex）;x-lnx=lnexx等需要對(duì)性質(zhì)做到爛熟于心.利用同構(gòu)法解函數(shù)問(wèn)題，以上的練習(xí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，需要足夠的例題以加強(qiáng)訓(xùn)練，只有在足夠的變式訓(xùn)練之后，才能在有限的時(shí)間內(nèi)作出判斷，用什么樣的方法最便捷，以此理解構(gòu)造函數(shù)其本質(zhì)是函數(shù)性質(zhì)在函數(shù)形式變化中的不變性和規(guī)律性.

參考文獻(xiàn)

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[2] 高中數(shù)學(xué)教材編寫組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（蘇教版）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

[3] 高中數(shù)學(xué)教材編寫組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（北師大版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

[4] 巨小鵬.幾道高考題背后的破解秘密——同構(gòu)[J].數(shù)理化解題研究，2022（01）：56-58.

作者簡(jiǎn)介 巨小鵬（1983—），男，陜西漢中人，碩士，中學(xué)二級(jí)教師;多次教學(xué)設(shè)計(jì)大賽獲獎(jiǎng)，曾主持并編寫校本教材高中數(shù)學(xué)“問(wèn)題式”“探究合作式”導(dǎo)學(xué)案必修和選修系列;研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育和課程與教學(xué)論;發(fā)表教育教學(xué)論文多篇.

魏寧（1981—），男，陜西漢中人，中學(xué)一級(jí)教師;研究方向數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究;主持并編寫校本教材多本.