【摘 要】 數(shù)學建模素養(yǎng)是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，構(gòu)建數(shù)學模型解決實際問題的素養(yǎng).對高考試題中數(shù)學建模素養(yǎng)水平的考查進行分析，并結(jié)合STEAM教育理念對數(shù)學建模試題背景進行賞析，積極引導師生在課堂中對數(shù)學建模教學的重視和改進，進而發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學建模;STEAM教育;高考試題背景

數(shù)學建模是對現(xiàn)實世界中的實際問題進行提煉、抽象為數(shù)學模型，求出數(shù)學模型的解，驗證數(shù)學模型的合理性，并用數(shù)學模型提供的結(jié)論再來解釋實際問題的一種應用過程[1].《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》提到數(shù)學建模是運用數(shù)學思想、方法和知識解決實際問題的過程[2].《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《17課標》）定義數(shù)學建?；顒訛閷ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.數(shù)學建?；顒邮腔跀?shù)學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容.并且《17課標》將數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動作為數(shù)學課程內(nèi)容的四條主線之一[3].

STEAM即科學（Science）、技術(shù)（Technology）、工程（Engineering）、藝術(shù)（Art）、數(shù)學（Mathematics）的首字母縮寫，融合了多個領(lǐng)域的教育理念，在探索本土化過程中有學者進行了相關(guān)的理論探討[4].數(shù)學建?；顒幼鳛榕嘤龑W生核心素養(yǎng)的重要形式受到廣泛關(guān)注，將STEAM教育理念融入數(shù)學建模，幫助學生感受數(shù)學在科學、技術(shù)、工程和藝術(shù)等領(lǐng)域中的應用，激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，提高學生學習數(shù)學的實踐能力.高考對中學生的數(shù)學教育有導向性作用[5]，分析高考試卷中數(shù)學建模試題的分布、素養(yǎng)考查水平和其與STEAM教育理念的融合，有助于促進高考試題中數(shù)學建模試題背景的命制，同時幫助教師把握新課標改革趨向，針對性提升學生的數(shù)學建模素養(yǎng).

1 2021年高考“數(shù)學建?！痹囶}分布

2021年全國各地高考共有8套數(shù)學試卷（10份），分別是全國甲卷、全國乙卷的理科卷和文科卷，新高考Ⅰ卷，新高考Ⅱ卷，北京卷，天津卷，上海卷和浙江卷.在試題背景中涉及數(shù)學建模情境的共有20題，統(tǒng)計試卷、題型、建模模型背景和分值等信息（見表1）并分析其特點.

首先，在2021年高考數(shù)學的8套試卷（10份）中均有建模背景的考查.從占分比重來看，最少為浙江卷（6.67%），最多為全國甲卷理科（18%），在不同區(qū)域的高考試卷中差異性較大.就整體而言，試卷中主要以純數(shù)學問題為主;其次，2021年高考僅全國卷保留文理分科，在建模試題背景中，全國甲卷有三道題目文理同題，全國乙卷有一道題目文理同題，理科卷的建模背景試題多于文科卷;最后，根據(jù)題型和分值來看，試卷涉及選擇題、填空題和解答題，情境創(chuàng)設和考查方式靈活.除天津卷和浙江卷外，都存在一道分值較高的建模背景解答題.

2 2021年高考“數(shù)學建?！痹囶}素養(yǎng)水平層次

2.1 數(shù)學建模試題素養(yǎng)水平劃分

《17課標》研制了學業(yè)質(zhì)量標準，從情境與問題、知識與技能、思維與表達和交流與反思來體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)，對數(shù)學建模素養(yǎng)劃分了三個水平并附有質(zhì)量描述[3].喻平提出從知識理解、知識遷移到知識創(chuàng)新三級水平的核心素養(yǎng)評價框架[6].結(jié)合這兩者，對數(shù)學建模素養(yǎng)進行三個水平劃分來對2021年高考試題的建模素養(yǎng)進行分析（見表2）.

2.2 數(shù)學建模試題素養(yǎng)水平表現(xiàn)

統(tǒng)計各份試卷中數(shù)學建模素養(yǎng)不同水平考查分值，轉(zhuǎn)化為總分占比（見表3）.

根據(jù)表3可以看出，除了天津卷和浙江卷中建模素養(yǎng)水平三沒有出現(xiàn)外，其他地域的總分占比均衡，考查學生創(chuàng)新性使用相關(guān)數(shù)學模型解決問題中的復雜情境.水平一和水平二中比例適當，高考試題的建模素養(yǎng)評價較為合理.

3 高考“數(shù)學建?！痹囶}背景與STEAM教育理念賞析

3.1 數(shù)學建模與“S”（科學情境）的結(jié)合

經(jīng)過分析歸類，認為2021年高考試題背景中有6道題目涉及科學情境，分別是全國甲卷中青少年視力測量模型、新高考Ⅰ卷抽球概率模型、新高考Ⅱ卷微生物繁殖模型、北京卷新冠肺炎檢測模型、天津卷猜謎語概率模型、浙江卷抽球概率模型.以新冠肺炎檢測模型為例賞析試題中的科學情境.

例1 （2021年北京卷第18題·14分）為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機構(gòu)采取“k合1檢測法”，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的;若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測.現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病毒.

（1）①若采用“10合1檢測法”，且兩名患者在同一組，求總檢測次數(shù);

②已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組概率為111，定義隨機變量X為總檢測次數(shù)，求檢測次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望E（X）;

（2）若采用“5合1檢測法”，檢測次數(shù)Y的期望為E（Y），試比較E（X）和E（Y）的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）.

評析 例1是對建模水平三的考查.試題背景與生活熱點抗疫相結(jié)合，以科學方法檢測新冠肺炎疫情，考查學生對實際問題的解決能力.問題（1）采用“10合1檢測法”模型，要求學生求出檢測出兩名患者的次數(shù)以及分布列和數(shù)學期望;問題（2）為“5合1檢測法”模型，求檢測次數(shù)的數(shù)學期望.這道題屬于中等難度題型，主要考查學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

3.2 數(shù)學建模與“T”（技術(shù)情境）的結(jié)合

試題背景中有4道題目背景與技術(shù)情境相關(guān)，分別是全國甲卷中的珠穆朗瑪峰高程測量模型和機床產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量模型、全國乙卷中設備產(chǎn)品生產(chǎn)模型和北京卷圓錐形容器模型.以測量珠穆朗瑪峰高程模型為例賞析技術(shù)情境.

例2 （2021年全國甲卷（理）第8題·5分）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.

如圖1是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°.

由C點測得B點的仰角為15°，BB′與CC′的差為100;由B點測得A點的仰角為45°，則A，C兩點到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′約為（? ）（3≈1.732）.

A.346?? B.373?? C.446?? D.473

評析 例2是對建模水平二的考查.通過介紹測量珠峰高程的三角高程測量法，要求學生理解測量珠峰模型的構(gòu)造并使用題目中給出的數(shù)據(jù)，進而帶入求解.題目難度屬于中等，給出測量珠峰高程模型，引導學生通過知識遷移來解決題目中的問題，主要考查學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).

3.3 數(shù)學建模與“E”（工程情境）的結(jié)合

試題背景中有4道題目背景與工程情境相關(guān)，分別是全國甲卷中的某地農(nóng)村經(jīng)濟情況模型、新高考Ⅰ卷中“一帶一路”知識競賽概率模型、新高考Ⅱ卷北斗三號全球衛(wèi)星導航模型和上海卷企業(yè)營業(yè)額模型.以北斗三號全球衛(wèi)星導航模型為例賞析工程情境.

例3 （2021年新高考Ⅱ卷第4題·5分）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36 000 km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為6 400 km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為

S=2πr2（1-cos α）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為（? ）.

A.26%? B.34%? C.42%? D.50%

評析 例3是對建模水平一的考查.以我國自主研發(fā)的北斗三號全球衛(wèi)星系統(tǒng)工程為情境，通過給出衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積模型和衛(wèi)星的軌道高度，引導學生熟悉模型，能夠根據(jù)所給數(shù)據(jù)代入模型求解，考查衛(wèi)星信號覆蓋地球表面積與地球表面積的百分比，難度較易.主要考查學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).3.4 數(shù)學建模與“A”（藝術(shù)情境）的結(jié)合

試題背景中有4道題目背景與藝術(shù)情境相關(guān)，分別是全國乙卷中北京冬奧會分配志愿者模型、新高考Ⅰ卷中藝術(shù)剪紙模型、上海卷參觀花博會路線模型和天津卷影視評分模型.以藝術(shù)剪紙模型為例賞析藝術(shù)情境.

例4 （2021年新高考Ⅰ卷第16題·5分）某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20 dm×12 dm的長方形紙，對折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240 dm2，對折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180 dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

評析 例4是對建模水平二的考查.以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化民間剪紙藝術(shù)為情境，通過給出折紙時的軸對稱模型，求剪紙時對折后圖形的種類和圖形面積.這道填空題中有兩個空，難度梯度呈現(xiàn)，考查學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).3.5 數(shù)學建模與“M”（數(shù)學史情境）的結(jié)合

試題背景中有2道題目背景與數(shù)學史情境相關(guān)，分別是全國乙卷中的劉徽《海島算經(jīng)》高度模型、浙江卷“趙爽弦圖”模型.以“趙爽弦圖”模型為例賞析數(shù)學史情境.

例5 （2021年浙江卷第11題·4分）我國古代數(shù)學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖2所示）.若直角三角形直角邊的長分別為3，4，記大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則S1S2=.

評析 例5是對建模水平一的考查.以我國傳統(tǒng)數(shù)學史“趙爽弦圖”為情境，通過展示弦圖模型，讓學生了解其構(gòu)造并整體把握，進而求出模型中大正方形面積和小正方形面積之比.難度較易，考查學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).

4 啟示

4.1 優(yōu)化建模素養(yǎng)水平評價，在反饋中改進建模學習方式

高考作為重要的評價方式，試題中蘊含著課程改革過程中評價理念的內(nèi)涵，對高考數(shù)學建模試題進行評價分析，有助于深化師生對建模素養(yǎng)要求的理解.接下來，在課程標準的評價建議和已有的評價理論成果下，進一步優(yōu)化數(shù)學建模素養(yǎng)評價原則和評價體系，提出更加細化和更加精準的評價框架，結(jié)合日常測評和考試結(jié)果對數(shù)學建模課堂進行反饋，并以此為依據(jù)來科學地改進建模學習方式，提升學生的數(shù)學建模素養(yǎng).

4.2 關(guān)注STEAM教育理念，在情境中發(fā)展建模學習能力

以核心素養(yǎng)為引領(lǐng)的新一輪課程改革，要求學生能夠運用自身所學，會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界.其中數(shù)學的語言便是數(shù)學模型，它構(gòu)建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁，科學、技術(shù)、工程、藝術(shù)等學科在科學化的過程中都要使用數(shù)學模型來刻畫研究對象的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律[7]. 以2021年高考中的建模試題為例，教師在講解數(shù)學知識時，與學生共同分析試題情境的融入，將STEAM教育理念落實到數(shù)學課堂教學中，幫助學生在現(xiàn)實情境、數(shù)學情境和科學情境中理解數(shù)學本質(zhì)，感悟數(shù)學基本思想，進而發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

4.3 強化學生問題解決意識，在生活中提高建模的學習和應用

數(shù)學建模的本質(zhì)是解決現(xiàn)實生活中經(jīng)過數(shù)學抽象而得到的模型，高考數(shù)學試題中還原真實情境，考查學生問題解決能力[8].在日常教學中，除了專門設置的數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動外，教師應強調(diào)利用數(shù)學知識來解決現(xiàn)實生活中的問題，激發(fā)學生的問題意識，引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題.在建模過程中指導學生進行師生交流和生生交流，并鼓勵對數(shù)學問題進行轉(zhuǎn)化應用到相關(guān)的生活情境中，進而提升對數(shù)學建模的靈活性.

參考文獻

[1] 邵光華，蔣周渠.數(shù)學建模素養(yǎng)評價模型與案例分析[J].中國數(shù)學教育，2020（08）：3-10.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[4] 宋乃慶，陳珊，沈光輝.學生STEAM素養(yǎng)的內(nèi)涵、意義與表現(xiàn)形式[J].課程·教材·教法，2021，41（02）：87-94.

[5] 張瑾，劉金海.2019年高考中數(shù)學文化的考查研究[J].數(shù)學通報，2020，59（01）：52-56.

[6] 喻平.數(shù)學核心素養(yǎng)評價的一個框架[J].數(shù)學教育學報，2017，26（02）：19-23.

[7] 史寧中.高中數(shù)學課程標準修訂中的關(guān)鍵問題[J].數(shù)學教育學報，2018，27（01）：8-10.

[8] 葉立軍，奚露薇.2020年中考“數(shù)學建?！痹囶}命題特征及啟示——以浙江中考試題為例[J].中學數(shù)學雜志，2020（10）：36-40.

作者簡介 王瑩（1986—），女，河南許昌人，中學二級教師;榮獲2021年度建安區(qū)高中數(shù)學學科區(qū)級骨干教師和區(qū)級優(yōu)秀教師;主要研究高中數(shù)學教學與數(shù)學解題.