施利強(qiáng) 江戰(zhàn)明

本文以2019年浙江省高考數(shù)學(xué)第21題的圓錐曲線試題為例，探究問(wèn)題的本質(zhì)，并從多角度進(jìn)行拓展.

1 試題再現(xiàn)

如圖1，過(guò)焦點(diǎn)F（1，0）的直線與拋物線y2= 2px（p>0）交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在F點(diǎn)右側(cè)）.

（1）求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程;

（2）記AAFG，△CQG的面積分別為S1，S2，求S1/S2的最小值及此時(shí)點(diǎn)G坐標(biāo).

1.1 試題解讀

本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)、在直線與拋物線相交背景下求兩三角形面積比的最值問(wèn)題，主要涉及直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，本題是圓錐曲線中的“非對(duì)稱性問(wèn)題”，主要涉及圓錐曲線中設(shè)點(diǎn)、設(shè)直線的切入問(wèn)題，其最大難點(diǎn)在于三角形面積的表示以及復(fù)雜的函數(shù)運(yùn)算以及最值求解.

1.2 試題解析

本題求解的切入點(diǎn)比較寬泛，可以設(shè)直線、可以設(shè)點(diǎn)、也可以通過(guò)面積比值化簡(jiǎn)后再進(jìn)行最值運(yùn)算，但三種方法沒(méi)有大的本質(zhì)區(qū)別.最終都是殊途同歸通過(guò)函數(shù)求出面積比的最值，筆者將進(jìn)一步挖掘問(wèn)題的本質(zhì)并進(jìn)行拓展.

2 試題拓展

2.1變定曲線為任意拋物線

變式1如圖1，過(guò)焦點(diǎn)F（P/2，0）的直線與拋物線y2= 2px（p>0）交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè)）.記△AFG，△CQG的面積分別

評(píng)注 本題將拋物線改為任意拋物線，其它條件不變，發(fā)現(xiàn)跟原題的結(jié)果是一致的，并求得此時(shí)重心坐標(biāo)為G（p，0）.

2.2 變定點(diǎn)為任意點(diǎn)

變式2如圖2，過(guò)x軸正半軸上定點(diǎn)P（s，o）的直線與拋物線y2= 2px（p>0）交于A，B，點(diǎn)C在拋物線上，AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)）.記AAPG，△CQG的面積分別為S，S2，求S1/S2的最小值及此時(shí)點(diǎn)G坐標(biāo)，

答案：G（2s，0）.

評(píng)注 變式2計(jì)算的核心與變式1類似，因此筆者只給出答案，以下同，本題在變式1的基礎(chǔ)上進(jìn)一步將條件改編，將定點(diǎn)變?yōu)閿?shù)軸正半軸上的任一點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論也是一樣的，讓人聯(lián)想到本題的結(jié)論與定點(diǎn)的位置并無(wú)關(guān)系，

評(píng)注 本題將問(wèn)題放到橢圓中，橢圓比拋物線有更多的對(duì)稱性質(zhì)，題干中略去了焦點(diǎn)位置關(guān)系的條件，改為A，C兩點(diǎn)的位置關(guān)系，求解得到面積比的最值，跟拋物線中的結(jié)論一致，與拋物線中不同

評(píng)注 本題在變式3的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步加強(qiáng)了條件，定點(diǎn)變成了橢圓長(zhǎng)軸上的非焦點(diǎn)，此時(shí)要取到面積比的最值需要保證定點(diǎn)的范圍.

3 背景探究

在對(duì)本題的一題多解探究和變式研究過(guò)程中，不難發(fā)現(xiàn)該模型在不同條件下面積比的最小值是不變的，因此這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該有更深的背景.

3.1 條件探究

注意到原題中條件“點(diǎn)Q在點(diǎn)F點(diǎn)右側(cè)”，由對(duì)稱性不妨假設(shè)Yi>O，然后分四種情況進(jìn)行討論，

①當(dāng)Y128時(shí)，由解法3可知兩面積比為：

從上述討論可以看出本題中條件“點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè)”的必要性，缺少這個(gè)條件將要討論最值取等的條件，進(jìn)一步畫出面積比的函數(shù)圖象，從圖象可以看到存在兩個(gè)極值點(diǎn)xA=√3-2，XB=√3-2，而題給條件是將比值限制在了極值點(diǎn)所在區(qū)域內(nèi)，

4 總結(jié)反思

從上述探究不難發(fā)現(xiàn)，本題的模型可以從拋物線上三點(diǎn)推廣到橢圓或雙曲線上三點(diǎn)，也可以拓展到任意三點(diǎn)，直接“架空”曲線，從這個(gè)角度講，本題失去了圓錐曲線解析的本質(zhì)，但確實(shí)給人以耳目一新的感覺(jué)，或許試題已經(jīng)很難用“難或簡(jiǎn)單”加以評(píng)論，因?yàn)樗旧砭褪窃诳疾閷W(xué)生的綜合素養(yǎng)，那么，如何在有限的時(shí)間里，實(shí)現(xiàn)“透過(guò)表象看本質(zhì)”？相信只要在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中注重對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的探究，注重學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，注重學(xué)生核心素養(yǎng)的提升，那么還是有可能快速破解此類問(wèn)題的，或者至少會(huì)進(jìn)行多角度嘗試并簡(jiǎn)化運(yùn)算，7AE62EAE-0879-451A-AA99-95CA3C89A06E