戴宏瑋,陳琨,于慧,杜欣霏,高建民,高智勇

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

隨著機(jī)械產(chǎn)品向復(fù)雜化、精密化等方向發(fā)展,服役環(huán)境越來越惡化和極限化,裝配精度要求越來越高、裝調(diào)難度越來越大,產(chǎn)品整機(jī)裝配性能也越來越難保證[1]。使用裝配體公差分析技術(shù),對產(chǎn)品重要裝配尺寸進(jìn)行計(jì)算和仿真,對于保證和提高產(chǎn)品的裝配成功率以及裝配精度有著重要的意義[2]。作為一種三維公差分析模型,雅可比旋量模型[3-4]在三維空間中表示和傳播公差,一方面可以體現(xiàn)裝配體空間結(jié)構(gòu)在公差傳播過程中的幾何杠桿作用,另一方面可以全面考慮尺寸公差、形位公差,以及尺寸公差和形位公差之間的耦合結(jié)果。在計(jì)算方面,雅可比旋量模型有著簡潔的數(shù)學(xué)表達(dá)式和相對成熟的算法,非常適合由多個(gè)零件構(gòu)成、含有大量公差信息的復(fù)雜裝配體[5],但傳統(tǒng)的雅可比旋量模型不能很好地實(shí)現(xiàn)對裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的計(jì)算。

對于裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu),傳統(tǒng)的建模方法只取其局部并聯(lián)鏈中的一條支鏈用于建立雅可比旋量模型,丟失了一部分公差和配合信息,降低了計(jì)算結(jié)果的精度和可靠性。Chen等[6]給出了一種雅可比旋量模型中局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的公差分析方法,通過對旋量參數(shù)的組合運(yùn)算,完成了對由圓柱面接觸副與平面接觸副構(gòu)成的局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的公差建模。統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示該方法顯著提高了模型的精度。Zeng等[7]對常見的局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分類,針對具有幾何結(jié)構(gòu)杠桿效應(yīng)的局部并聯(lián)結(jié)構(gòu),提出了基于CICL和分析線法的分析計(jì)算方法,但是該方法得到的是極值形式的結(jié)果,不適用于統(tǒng)計(jì)分析。Jin等[8]使用雅可比矩陣進(jìn)行了航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子的偏差分析,針對由確定性偏差引起的局部并聯(lián)鏈的問題,使用精密測量儀器確定了接觸點(diǎn)的偏差,結(jié)合定位基準(zhǔn)的主次關(guān)系,建立了偏差傳遞函數(shù)并計(jì)算獲得了最終的累積偏差。Liu等[9]使用相對定位法結(jié)合二次規(guī)劃算法實(shí)現(xiàn)了裝配體串、并聯(lián)鏈的統(tǒng)一計(jì)算,該方法基于膚面模型的點(diǎn)云數(shù)據(jù),根據(jù)內(nèi)部尺寸約束、外部配合約束,計(jì)算當(dāng)前特征的變動旋量,然后使用雅可比矩陣進(jìn)行了變動旋量的累積計(jì)算。

上述工作中,有的只針對不受幾何結(jié)構(gòu)影響的一類局部并聯(lián)結(jié)構(gòu);有的只能夠得到并聯(lián)結(jié)果的邊界值,無法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析;有的需要通過相關(guān)測量來獲得配合表面的接觸點(diǎn)信息,適用場景有限。膚面模型與雅可比矩陣相結(jié)合的建模和計(jì)算方法則需要建立裝配體各個(gè)零件的三維模型用于提取網(wǎng)格數(shù)據(jù),計(jì)算流程也相對復(fù)雜[10]。本文針對由平面接觸副構(gòu)成的受幾何結(jié)構(gòu)影響的裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu),建立了零部件的雅可比旋量模型,將空間面片相交檢測算法和差分進(jìn)化算法相結(jié)合,提出了一種可以進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)建模和累積公差計(jì)算方案。以汽輪機(jī)某級隔板通流間隙為例,介紹了所提方法的計(jì)算過程,驗(yàn)證了方法的可行性。

1 局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的雅可比旋量模型

1.1 雅可比旋量模型

雅可比旋量模型將裝配體中零件上的點(diǎn)、線、面統(tǒng)稱為功能要素(FE),來自同一零件的具有尺寸或公差關(guān)系的兩個(gè)功能要素構(gòu)成內(nèi)部副(IFE),來自不同零件的具有直接或者潛在接觸關(guān)系的兩功能要素構(gòu)成接觸副(CFE)。裝配體中兩個(gè)來自不同零件的功能要素需要滿足的條件稱為功能要求(FR)。本文中,具有兩種含義,一是根據(jù)設(shè)計(jì)要求兩功能要素需要滿足的位置關(guān)系,二是功能要素相對全局坐標(biāo)系的累積變動旋量。

雅可比旋量模型由雅可比矩陣和旋量模型構(gòu)成。旋量模型由沿X、Y、Z軸的平動矢量u、v、w,以及繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)動矢量α、β、γ組成,用于表示具有理想幾何形狀的實(shí)際特征在公差域內(nèi)相對于名義特征的變動。單個(gè)雅可比矩陣是根據(jù)當(dāng)前功能要素與功能要求之間的空間關(guān)系建立的6×6矩陣,用于實(shí)現(xiàn)功能要素的變動旋量到功能要求的傳遞和累積[11]。在裝配體中建立全局坐標(biāo)系{0},并在各個(gè)功能要素上建立局部坐標(biāo)系,將單個(gè)功能要素i的變動映射為目標(biāo)功能要素n的變動的雅可比矩陣如下

(1)

(2)

當(dāng){i}的方向與公差分析的方向不一致時(shí),如功能要素i為一傾斜平面時(shí),前述雅可比矩陣需要進(jìn)行修改,如下式所示

(3)

式中:RPTi為投影矩陣,由公差分析方向的單位矢量在坐標(biāo)系{i}中的投影構(gòu)成。

公差及配合引入的變動旋量沿裝配連接關(guān)系圖中的箭頭方向進(jìn)行累積。沿裝配連接關(guān)系圖,將相關(guān)功能要素的雅可比矩陣以及旋量值分別按序疊加,兩疊加矩陣相乘即為裝配體雅可比旋量模型的表達(dá)式如下

(4)

式中:FR為功能要求的累積變動旋量;J為對應(yīng)功能要素的雅可比矩陣;n為裝配連接關(guān)系圖中相關(guān)功能要素的個(gè)數(shù)。

在旋量模型方面,Desrochers[12]給出了所有標(biāo)準(zhǔn)公差域的清單,以及相應(yīng)的旋量形式和幾何約束;Zhang等[13]將加載時(shí)工作零件的變形量化為旋量修正量,對實(shí)際工況下的旋量模型進(jìn)行了擴(kuò)充與修正;陳華[14]對組合公差下旋量分量之間的約束關(guān)系進(jìn)行了梳理,并給出了改進(jìn)后的雅可比旋量模型。在計(jì)算方案方面,Desrochers等[4]將雅可比旋量模型與區(qū)間算法相結(jié)合,使用各旋量的變動區(qū)間替換上述功能要素的旋量值進(jìn)行了基于公差域的計(jì)算,計(jì)算結(jié)果是功能要求的上下邊界值;Ghie等[15]提出了雅可比旋量模型的統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法,根據(jù)公差或者配合間隙的分布情況,使用蒙特卡羅仿真生成旋量數(shù)據(jù)并帶入模型進(jìn)行計(jì)算,得到了功能要求的數(shù)值分布情況。

1.2 裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)

使用雅可比旋量模型的第一步是識別相關(guān)功能要素,并繪制描述功能要求形成過程的裝配連接關(guān)系圖。若閉合的裝配連接關(guān)系圖中含有一些閉合的支鏈,將這些閉合的支鏈稱為局部并聯(lián)鏈。

局部并聯(lián)鏈對應(yīng)于裝配體中的局部并聯(lián)結(jié)構(gòu),局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)通常由兩對或多對接觸副構(gòu)成[16]。在裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)中,被裝配零部件的裝配結(jié)果是在多對接觸副接觸后形成的,由多對接觸副中各功能要素的相對位姿變動所共同決定。在式(1)中,總的雅可比矩陣是沿裝配連接關(guān)系圖,所有相關(guān)功能要素的單個(gè)雅可比變換矩陣的順次疊加,對于含有支鏈的裝配連接關(guān)系圖則難以直接處理,因而傳統(tǒng)的雅可比旋量模型難以進(jìn)行裝配體中的并聯(lián)結(jié)構(gòu)的計(jì)算。

(a)隔板-內(nèi)缸裝配三維圖

(b)隔板-內(nèi)缸裝配結(jié)構(gòu)圖1 隔板-內(nèi)缸裝配示意圖Fig.1 Clapboard-inner cylinder assembly diagram

在汽輪機(jī)產(chǎn)品中,隔板-內(nèi)缸的裝配構(gòu)成局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)[17]。半缸狀態(tài)下某級隔板-內(nèi)缸裝配如圖1(a)所示,隔板通過左、右兩側(cè)的懸掛銷和墊片安裝到內(nèi)缸上,圖1(b)為隔板-內(nèi)缸右側(cè)配合結(jié)構(gòu)的示意圖。安裝在隔板上的兩側(cè)墊片下表面與兩側(cè)內(nèi)缸洼窩表面分別接觸,共同完成隔板在豎直方向的定位。在建立公差分析模型時(shí),傳統(tǒng)方案只考慮單側(cè)隔板-內(nèi)缸配合結(jié)構(gòu)中的公差和配合信息(如:內(nèi)缸-左側(cè)墊片-左側(cè)懸掛銷-隔板),忽略另一側(cè),結(jié)果可信度低,因此需要設(shè)計(jì)一種能夠考慮完整公差信息的建模方案。

對隔板-內(nèi)缸裝配的局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化,將隔板、兩側(cè)懸掛銷、兩側(cè)墊片視為一體,圖1中的局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)可以使用圖2進(jìn)行描述:被裝配零件2在重力作用下,通過兩側(cè)的平面接觸副安裝到零件1上,實(shí)現(xiàn)豎直方向的定位。圖中零件左右兩側(cè)的尺寸及公差分別相等。在各功能要素的幾何中心建立局部坐標(biāo)系,各局部坐標(biāo)系的方向一致。

圖2 兩平面接觸副構(gòu)成的局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)Fig.2 Local parallel structure composed of two plane contact pairs

1.3 PFR形成連接圖

圖2所示結(jié)構(gòu)的局部并聯(lián)鏈如圖3(a)所示,其中箭頭方向表示公差和配合變動的傳遞方向,該方向與裝配體的裝配連接關(guān)系圖的方向一致。

為了方便分析和計(jì)算,將沿裝配連接關(guān)系圖的局部并聯(lián)鏈第一個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為并聯(lián)起始節(jié)點(diǎn),最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為并聯(lián)終止節(jié)點(diǎn)。圖中局部并聯(lián)鏈的并聯(lián)起始節(jié)點(diǎn)為功能要素0,并聯(lián)終止節(jié)點(diǎn)為功能要素3。定義局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的功能要求PFR,其含義為局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的并聯(lián)終止節(jié)點(diǎn)相對于并聯(lián)起始節(jié)點(diǎn)的累積變動旋量?；赑FR的形成過程,建立局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的PFR形成連接圖,如圖3(b)所示。

(a)局部并聯(lián)鏈

(b)PFR形成連接圖圖3 裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的并聯(lián)鏈與PFR形成連接圖Fig.3 Parallel chain with partial parallel structure of assembly and form a connection diagram with PFR

PFR形成連接圖中,并聯(lián)起始節(jié)點(diǎn)和并聯(lián)終止節(jié)點(diǎn)分別位于兩相鄰的零件或零部件中,箭頭分別從并聯(lián)起始節(jié)點(diǎn)和并聯(lián)終止節(jié)點(diǎn)指向所在零部件的配合表面,描述了裝配之前,各自零部件中配合表面變動旋量的累積過程。裝配時(shí),對應(yīng)配合表面分別接觸,使用虛線對配合表面之間的接觸關(guān)系進(jìn)行表示;裝配完成后,被裝配零部件的空間位姿被確定,PFR最終形成。PFR形成連接圖具有下述特點(diǎn)。

(1)在零部件內(nèi)部,PFR形成連接圖中箭頭的方向,與零部件加工及裝配順序相一致。圖2中,零件2的平面L2和R2加工時(shí)均以平面3為基準(zhǔn)。與局部并聯(lián)鏈相比,PFR形成連接圖正確描述了配合表面變動旋量在零部件內(nèi)部的累積路徑。

(2)反映了PFR的形成過程和影響因素。首先零部件內(nèi)部公差和配合的累積,形成了零部件坐標(biāo)系下配合表面的變動,然后兩零部件對應(yīng)配合表面相接觸最終確定了被裝配零部件的空間位姿以及PFR。裝配的結(jié)果由配合表面在各自零部件內(nèi)的累積變動旋量以及相關(guān)配合設(shè)計(jì)(包括配合表面的幾何形狀與尺寸、配合表面的空間位置、配合表面的數(shù)量等)共同決定。

借助PFR形成連接圖求解局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的PFR,使用PFR替代裝配連接關(guān)系圖中的局部并聯(lián)鏈,可以在不丟失公差、配合信息的前提下,將裝配連接關(guān)系圖化為串聯(lián)鏈,進(jìn)而完成建模和分析。

1.4 零部件的雅可比旋量模型

根據(jù)PFR形成連接圖,對裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)分兩步計(jì)算。首先計(jì)算配合表面在各自零部件中的變動旋量,然后基于配合面的變動旋量與相關(guān)配合設(shè)計(jì),計(jì)算被裝配零部件的位姿變動以及PFR。

分別以圖2中功能要素0和功能要素3的局部坐標(biāo)系作為零件1和零件2的零部件坐標(biāo)系,建立零部件的雅可比旋量模型,計(jì)算配合表面在各自零部件內(nèi)的變動旋量

(5)

(6)

本例中,3到L2的傳遞路徑中只有兩個(gè)功能要素,但實(shí)際零部件相應(yīng)路徑中可能有多個(gè)功能要素,要將對應(yīng)的6×6雅可比矩陣以及旋量分別按序疊加到J3→L2和FE3→L2中。由于在裝配過程作為基準(zhǔn)的零件1不發(fā)生變動,其配合表面變動旋量計(jì)算結(jié)果與在裝配體全局坐標(biāo)系下的旋量一致,所以在式(6)中功能要求值沒有加上標(biāo)。式(5)和式(6)中其余變量的含義與上述一致。

零部件的雅可比旋量模型用于計(jì)算當(dāng)被裝配零部件位于名義位置時(shí),各配合表面的變動旋量。在裝配過程中,各對配合表面相接觸,被裝配零部件將偏離名義位置。各配合表面的最終變動旋量是其在零部件中累積變動旋量與零部件坐標(biāo)系變動旋量的疊加。

當(dāng)零件2的整體變動為PFR時(shí),平面L2和R2的最終變動旋量計(jì)算如下

(7)

式中:J3/2L為將功能要素3的變動傳遞到功能要素L2的單個(gè)6×6雅可比矩陣;J3/2R的含義相同。

2 基于差分進(jìn)化算法的局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)公差分析

2.1 適應(yīng)度函數(shù)與約束條件

基于建立的零部件的雅可比旋量模型,使用含有FR3的表達(dá)式描述配合表面的空間位姿。根據(jù)各對配合表面需要滿足的接觸狀態(tài),可將裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題,考慮使用智能優(yōu)化算法求解PFR。由于變動旋量描述的是功能要素在公差域內(nèi)的微小變動,要求算法具有較高的精度。差分進(jìn)化算法是一種模擬自然界生物進(jìn)化的群智能隨機(jī)優(yōu)化算法,通過基于差分形式的變異操作和基于概率選擇的交叉操作引導(dǎo)種群進(jìn)化。差分進(jìn)化算法的原理簡單,參數(shù)少,魯棒性好且收斂速度快,已被證實(shí)為一種高效的全局啟發(fā)式進(jìn)化算法[18-19]。

使用差分進(jìn)化算法對裝配后零件2的整體變動FR3=[u3v3w3α3β3γ3]T進(jìn)行求解。以被裝配零件2的位姿變動為優(yōu)化變量,優(yōu)化目標(biāo)是零件2重心最低;根據(jù)兩對配合表面的接觸狀態(tài),FR3需要滿足約束條件:疊加該變動旋量后平面L2、R2在L1、R1上方,且與L1、R1不相交。適應(yīng)度函數(shù)和約束關(guān)系表示如下

F=w3

(8)

(9)

式中:quad(A、B、C、D)表示變動后的配合平面,它是以A、B、C、D為頂點(diǎn)的空間四邊形面片,大于號表示前一面片位于后者的上方且與后者不發(fā)生相交或重合。

下面對配合平面頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算,圖4為平面特征的公差域示意圖。在{L2}中從XY平面第四象限開始,將平面特征L2的4個(gè)頂點(diǎn)沿逆時(shí)針方向依次設(shè)為AL2、BL2、CL2、DL2。

圖4 平面特征的公差域示意圖Fig.4 Schematic diagram of the tolerance zone of a plane feature

由式(7)計(jì)算得到FRL2=[uL2vL2wL2αL2βL2γL2]T,已知(xL2,yL2,zL2)為局部坐標(biāo)系{L2}在裝配體全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo),則平面特征L2的頂點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的最終坐標(biāo)為

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

平面特征L1、R2、R1的頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算方法與式(10)相一致。通過計(jì)算配合平面的頂點(diǎn)最終坐標(biāo),確定了兩配合平面的空間位置和姿態(tài)。下一步需要基于配合平面的空間位姿,對種群個(gè)體進(jìn)行約束和篩選。

2.2 配合平面位置關(guān)系檢測算法

設(shè)計(jì)配合平面的位置關(guān)系檢測算法,根據(jù)兩配合平面的頂點(diǎn)坐標(biāo),檢測以Z軸方向?yàn)榉ㄏ虻膬膳浜掀矫媸欠癜l(fā)生相交以及前者穿透并落入后者下方的情況,進(jìn)而判斷兩平面是否正確配合。

(a-d)·[(b-d)×(c-d)]

(11)

設(shè)三角形T1的頂點(diǎn)為p1、q1、r1,三角形T2的頂點(diǎn)為p2、q2、r2,若式(12)成立,則兩三角形相交

[p1,q1,p2,q2]≤0∩[p1,r1,r2,p2]≤0

(12)

由于相交檢測算法只能用于判斷配合平面是否相交,需要對L2、R2完全位于L1、R1下方的情況進(jìn)行額外的檢測和剔除。以L2與L1的檢測為例:如果L2的某頂點(diǎn)P位于L1所在平面π(L1)下方,則將點(diǎn)P沿Z軸方向投影到平面π(L1)中。若該投影點(diǎn)落入四邊形quad(AL1,BL1,CL1,DL1)中,說明該點(diǎn)穿透四邊形并落入L1下方。該檢測過程使用直線與三角形的相交測試來實(shí)現(xiàn)[22]。

當(dāng)Devillers算法檢測結(jié)果顯示L2與L1不相交時(shí),需要通過進(jìn)一步檢測L2中是否存在滿足上述條件的頂點(diǎn),判斷L2是否穿透并落入L1下方。配合平面位置關(guān)系檢測流程如下圖5所示。按上下順序向程序中輸入兩配合平面的頂點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)兩平面相交或前一平面穿透并落入后一平面下方時(shí),程序輸出False,否則輸出True。

圖5 配合平面位置關(guān)系檢測流程圖Fig.5 Matching plane position relationship detection flow chart

將L2、L1與R2、R1的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別帶入配合平面位置關(guān)系檢測算法中,如果兩組配合平面均滿足相應(yīng)位置關(guān)系(返回False),則該個(gè)體滿足約束;否則,將該個(gè)體從種群中刪除。

2.3 基于仿真數(shù)據(jù)的邊界值設(shè)定

差分進(jìn)化算法基于蒙特卡羅仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行。首先,根據(jù)各個(gè)功能要素的旋量模型,生成功能要素的旋量仿真數(shù)據(jù);然后,根據(jù)式(5)和式(6)計(jì)算中各個(gè)配合表面在零部件中的變動旋量。使用差分進(jìn)化算法計(jì)算每組旋量數(shù)據(jù)下,滿足配合表面位置關(guān)系的最優(yōu)FR3,最后對求得的所有結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

(13)

基于配合結(jié)構(gòu)的相關(guān)幾何尺寸,對剩余旋量分量的變動范圍依次設(shè)置如下

(14)

3 應(yīng)用實(shí)例

汽輪機(jī)通流間隙指的是汽輪機(jī)轉(zhuǎn)動部件與靜止部件之間的間隙,其大小不僅影響汽輪機(jī)的熱效率,還直接影響機(jī)組的運(yùn)行安全。在裝配時(shí),需要保證上、下、左、右4個(gè)位置的通流間隙分別在允許范圍內(nèi)[23]。某型號汽輪機(jī)某級隔板下方通流間隙的允許范圍為0.70～1.00 mm,下面通過對該通流間隙的求解和分析,說明前述方法的計(jì)算流程。

為簡化建模和計(jì)算,不考慮外缸、軸承座的相關(guān)公差和配合,假定內(nèi)缸和轉(zhuǎn)子都處于名義位置,圖6(a)為半缸狀態(tài)下汽輪機(jī)的部分裝配示意圖。隔板通流間隙指轉(zhuǎn)子槽和汽封圈齒尖之間的間隙,如圖6(b)所示,其中汽封圈安裝在隔板的T型槽內(nèi)。

(a)汽輪機(jī)裝配示意圖

(b)隔板通流間隙示意圖圖6 汽輪機(jī)三維模型Fig.6 Three-dimensional model of steam turbine

隔板-內(nèi)缸裝配結(jié)構(gòu)如圖1所示,懸掛銷安裝到隔板兩側(cè)的凹槽中,并使用螺栓固定到隔板上。墊片安裝到懸掛銷下方,同樣使用螺栓進(jìn)行固定。固定好后,將隔板安裝到內(nèi)缸上,左、右兩側(cè)墊片下表面分別與內(nèi)缸左、右兩側(cè)洼窩表面相接觸,實(shí)現(xiàn)隔板豎直方向的定位。使用雅可比旋量模型對隔板下方通流間隙進(jìn)行計(jì)算和分析的流程如下。

(1)建立局部坐標(biāo)系,繪制裝配連接關(guān)系圖。識別下方通流間隙形成過程中的相關(guān)功能要素,在各相關(guān)功能要素上建立局部坐標(biāo)系,并將內(nèi)缸軸線所在局部坐標(biāo)系定為全局坐標(biāo)系。建立下方通流間隙的裝配連接關(guān)系圖如圖7(a)所示,其中從功能要素0到功能要素7存在局部并聯(lián)鏈,傳統(tǒng)建模方法的處理方案是忽略圖中虛線節(jié)點(diǎn),只將單側(cè)支鏈上的節(jié)點(diǎn)加入雅可比旋量模型中進(jìn)行計(jì)算。

(a)下方通流間隙的裝配連接關(guān)系圖

(b)修改后的裝配連接關(guān)系圖0—內(nèi)缸軸線;L1—內(nèi)缸左側(cè)洼窩;L2—左側(cè)墊片下表面;L3—左側(cè)墊片上表面;L4—左側(cè)懸掛銷下表面;L5—左側(cè)懸掛銷上支撐面;L6—隔板左側(cè)槽上支撐面;R2—左側(cè)墊片下表面;R3—右側(cè)墊片上表面;R4—右側(cè)懸掛銷下表面;R5—右側(cè)懸掛銷上支撐面;R6—隔板右側(cè)槽上支撐面;7—隔板軸線;8—隔板最內(nèi)側(cè)圓柱面軸線;9—隔板內(nèi)側(cè)圓柱面下側(cè);10—隔板T形槽內(nèi)側(cè)接觸面下側(cè);11—汽封內(nèi)側(cè)接觸圓柱面下側(cè);12—汽封圈內(nèi)側(cè)接觸圓柱面軸線;13—汽封齒尖軸線;14—汽封齒齒尖所在圓柱面下側(cè);15—轉(zhuǎn)子軸線;16—轉(zhuǎn)子隔板槽下側(cè)。圖7 裝配連接關(guān)系圖Fig.7 Assembly connection diagram

(2)修改局部并聯(lián)鏈,構(gòu)建PFR形成連接圖。將隔板、兩側(cè)墊片、兩側(cè)懸掛銷劃為隔板部件,隔板軸線7相對于內(nèi)缸軸線0的旋量變動是待計(jì)算的局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的功能要求,用PFR進(jìn)行標(biāo)識。使用箭頭從并聯(lián)起始及終止節(jié)點(diǎn)指向零部件的配合表面,在圖中對應(yīng)為從隔板軸線7到左右墊片下表面L2、R2,以及從內(nèi)缸軸線0到左右洼窩表面L1、R1。使用虛線連接配合表面L2與L1、R2與R1。修改后的裝配連接關(guān)系圖如圖7(b)所示。

(3)建立各功能要素的旋量模型。裝配連接關(guān)系圖中相關(guān)功能要素主要有平面、圓柱面、圓柱軸線等,依次建立各功能要素的考慮分量之間約束關(guān)系的旋量模型。由于上述裝配中除了墊片與內(nèi)缸洼窩的配合外,其他配合都通過螺栓進(jìn)行了連接或者用彈簧進(jìn)行了壓緊,視為固定接觸,相應(yīng)的配合副的旋量置為[0]6×1。

(4)建立零部件的雅可比旋量模型。隔板部件坐標(biāo)系為隔板軸線7所在的局部坐標(biāo)系,內(nèi)缸的零件坐標(biāo)系為隔板軸線0坐在的局部坐標(biāo)系。裝配前,隔板部件中兩墊片下表面的變動旋量以及內(nèi)缸中兩側(cè)洼窩變動旋量的計(jì)算如下

(15)

(16)

當(dāng)隔板部件在裝配后偏離名義位置的變動旋量為FR7時(shí),裝配后兩墊片下表面最終變動旋量

(17)

(18)

使用差分進(jìn)化算法對FR7進(jìn)行求解,適應(yīng)度函數(shù)F=w7。約束條件是兩側(cè)墊片下表面R2、L2分別位于洼窩表面R1、L1上方且不相交。設(shè)置編碼方式為實(shí)數(shù)編碼,變異縮放因子0.5,交叉概率0.5,種群規(guī)模為50,最大遺傳代數(shù)為600。計(jì)算得到每組旋量仿真數(shù)據(jù)對應(yīng)的FR7值,即為PFR。

下面給出差分進(jìn)化算法(DE)與其他兩種常用的約束優(yōu)化算法的比較。選擇同一組旋量仿真數(shù)據(jù),獨(dú)立運(yùn)行50次。其中遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)變異概率為0.5,種群規(guī)模為50,最大遺傳代數(shù)為1 000;粒子群算法(PSO)慣性因子為0.8,局部學(xué)習(xí)因子和全局學(xué)習(xí)因子均為0.5,種群規(guī)模為50,最大遺傳代數(shù)為1 000。算法的運(yùn)行情況如表1所示。

表1 不同算法的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

在重復(fù)運(yùn)行中,粒子群算法耗時(shí)最短,但是多次運(yùn)行最優(yōu)解的變動較大,算法不夠穩(wěn)定;與其他兩種算法相比,差分進(jìn)化算法表現(xiàn)出了良好的精確性,且多次運(yùn)行都能收斂到同一個(gè)解,后期可以考慮通過并行計(jì)算等方法提高整體的仿真速度。

(6)完成轉(zhuǎn)化后的串聯(lián)鏈的建模和計(jì)算。使用計(jì)算得到的PFR將帶局部并聯(lián)鏈的裝配連接關(guān)系圖轉(zhuǎn)化為單一的串聯(lián)鏈,如圖7(b)中黑色鏈路所示?；谠摯?lián)鏈,建立裝配體的雅可比旋量模型對FR進(jìn)行計(jì)算

FR14=[J7/14J8/14…J13/14J14/14]·

[PFRFE8…FE13FE14]T

(19)

FR16=[J15/16J16/16][FR15FE16]T

(20)

下方通流間隙FR=(z16+w16)-(z14+w14)。

(7)結(jié)果分析。5 000組仿真數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果如圖8所示。傳統(tǒng)方法中,大的半徑尺寸使得內(nèi)缸-隔板單側(cè)配合結(jié)構(gòu)處,旋量轉(zhuǎn)動分量對功能要求的杠桿作用非常大,因而傳統(tǒng)方法不適用于汽輪機(jī)通流間隙的分析。本文提出的裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的建模和分析方法對相關(guān)公差和配合信息進(jìn)行了合理的平衡,結(jié)果的可靠性和精度得到提高。將文中方法和傳統(tǒng)方法得到的通流間隙計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果如表2所示?？梢钥吹?在該實(shí)例中,應(yīng)用本文方法的計(jì)算結(jié)果精確度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)方法。

圖8 通流間隙的仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of the flow gap

表2 不同方法計(jì)算結(jié)果的比較

4 結(jié)束語

本文提出了一種雅可比旋量模型中裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的公差分析方法,定義了裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的功能要求,方便了模型的描述和分析;提出并建立了零部件的雅可比旋量模型,為雅可比旋量模型的應(yīng)用提供了新思路;設(shè)計(jì)了配合平面位置關(guān)系檢測算法,使用帶約束的差分進(jìn)化算法完成了對裝配體局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的功能要求的計(jì)算;最后,以汽輪機(jī)通流間隙為例,介紹了建模和計(jì)算過程,驗(yàn)證了該方案的可行性,結(jié)果顯示該建模和分析方法能夠顯著提高模型的精確性和可靠性。本文提出的計(jì)算方法對包含文中所示局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜裝配體公差分析具有一定的適用性,對于包含其他類型的局部并聯(lián)結(jié)構(gòu)的裝配體公差分析具有一定的指導(dǎo)意義。