蔣宇

求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，通常需重點(diǎn)研究數(shù)列中各項(xiàng)的規(guī)律，將遞推式或通項(xiàng)公式進(jìn)行合理的變形，把它轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的運(yùn)算問(wèn)題，直接根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求得數(shù)列的和.下面重點(diǎn)談一談求數(shù)列前 n 項(xiàng)和的方法.

一、公式法

若已知數(shù)列為等差、等比數(shù)列，則可直接運(yùn)用公式法求和.對(duì)于等差數(shù)列，可運(yùn)用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：Sn = na1 + n（n - 1）2 d 求和;對(duì)于等比數(shù)列，可運(yùn)用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：Sn =求和.只需根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義或通項(xiàng)公式求得數(shù)列的首項(xiàng)、公差、公比，就能運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和.

例 1.已知數(shù)列 {an} 是等差數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為Sn ，a3 = 2a5 - 2 ，求 S13 的值.

解：已知數(shù)列{an} 是等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為 a1 ，公差為 d ，

由 a2 = 2a4 - 4 得 （a1 + 2d） = 2（a1 + 4d） - 2 ，

可得：a1 + 6d = a7 = 2 ，

由等差數(shù)列的求和公式得 S13 = 9 × （a1 + a13）2 =9 × 2a72 = 18 .

解答本題，需先根據(jù)已知關(guān)系式和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得 a7 的值，然后根據(jù)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：Sn = n（a1 + an）2 ，利用等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)，將S13 轉(zhuǎn)化為 a7 的倍數(shù)，從而求得數(shù)列的前13項(xiàng)的和.

二、分組求和法

若一個(gè)數(shù)列由幾個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的和構(gòu)成，在求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和時(shí)，可采用分組求和法，將數(shù)列中的各項(xiàng)進(jìn)行拆分，然后將通項(xiàng)公式相同的等差數(shù)列、等比數(shù)列組合在一起，再分別根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式進(jìn)行求和，最后將這些數(shù)列的前 n 項(xiàng)和相加即可.

例2.在數(shù)列{an} 中，a1 = 2 ，an + 1 = 4an - 3n + 1 .

（1）證明：數(shù)列{an - n} 是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列{an} 的前 n 項(xiàng)和 Sn .

解：（1）an - n = 4n - 1（過(guò)程略）;

（2）由（1）得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an = n + 4n - 1，

因此，Sn = 1 + 41 - 1

+ 2 + 42 - 1

+…+ n + 4n - 1，

= （1 + 4 + 4 ） 2 +…+ 4n - 1 + （1 + 2 + 3 +…+ n）

= 4n - 13

+ n（n + 1）

2 ，

所以數(shù)列{an} 的前 n 項(xiàng)和 Sn = 4n - 13

+ n（n + 1）2 .

仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式可發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{an}是由等差數(shù)列{n}和等比數(shù)列{4n - 1}的和構(gòu)成的，于是將該數(shù)列分為兩組：一組為等差數(shù)列，一組為等比數(shù)列，然后分別根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求得數(shù)列的和.

三、裂項(xiàng)相消法

若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為分式，則可采用裂項(xiàng)相消法來(lái)求和.首先將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂為兩項(xiàng)之差的形式，并使前后項(xiàng)能夠相互抵消，這樣在求和時(shí)，數(shù)列中間的部分項(xiàng)便會(huì)相互抵消，和式得以簡(jiǎn)化.運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，只需找到恰當(dāng)?shù)牧秧?xiàng)方法，便能將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題.

例3.已知an = 1n + 1+ 22n + 1+…+ nn + 1，bn = 2anan + 1，求數(shù)列{bn} 的前 n 項(xiàng)和.

解：因?yàn)?an = 1

所以 an = 1

而bn = 2，所以 bn = 2

故Sn = 8é

因此，數(shù)列{bn} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn = 8n

將 bn 的表達(dá)式進(jìn)行整理，可發(fā)現(xiàn)該式為分式，且可裂為兩項(xiàng)之差的形式：n + 1 ，于是采用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.將絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的項(xiàng)抵消，化簡(jiǎn)剩下的項(xiàng)即可求得{bn} 的前 n 項(xiàng)和.

相比較而言，公式法較為簡(jiǎn)單，且適用范圍較為廣泛，分組求和法、裂項(xiàng)相消法雖然較為復(fù)雜，但是我們只要仔細(xì)研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，將其進(jìn)行合理的分組、裂項(xiàng)，便能順利將求數(shù)列和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題或計(jì)算問(wèn)題，快速求得答案.

（作者單位：江蘇省洪澤中學(xué)）