馬小敏，何曙光，李 婷

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

德勤發(fā)布的2018年中國移動消費(fèi)者調(diào)研報(bào)告指出：中國用戶手機(jī)持有率達(dá)到96%，中國的手機(jī)市場擁有龐大的客戶群體，且中國手機(jī)用戶的換機(jī)周期在縮短[1]。手機(jī)作為典型的消費(fèi)類電子產(chǎn)品，許多制造商已經(jīng)意識到用戶開始提前更換手機(jī)。針對這一現(xiàn)象，制造商的質(zhì)保成本如何計(jì)算成為了學(xué)者需要思考的問題。

保修是產(chǎn)品的重要組成部分，不僅影響客戶的購買決策，而且對制造商的利潤有重要影響。保修期內(nèi)的產(chǎn)品維修通常采取免費(fèi)或者按比例收費(fèi)，這給制造商帶來了管理和保修索賠方面的大量成本。一般地，保修成本占凈銷售額的2%～15%。如，蘋果公司2015年僅一個季度就為保修索賠支付了12.5億美元；惠普公司在此季度支付了約3億美元。為保證保修服務(wù)的質(zhì)量，制造商要設(shè)定適當(dāng)?shù)慕痤~用于未來的保修服務(wù)，一旦耗盡保修準(zhǔn)備金，制造商就需要尋找緊急資金來支持不可預(yù)測的索賠。另一方面，考慮到機(jī)會成本，制造商也不希望準(zhǔn)備超額的保修金，所以質(zhì)保成本的準(zhǔn)確計(jì)算對于制造商非常重要。

學(xué)者們在探究產(chǎn)品保修索賠經(jīng)歷了從簡單假設(shè)到貼合實(shí)際的轉(zhuǎn)變。在研究計(jì)算產(chǎn)品保修索賠初期，學(xué)者假設(shè)產(chǎn)品只由一個組件構(gòu)成[2-6]，同時將銷售價(jià)格[7]、市場競爭[8]以及需求等因素考慮在內(nèi)。其后，Guo等[9]開始探究多個組件構(gòu)成的產(chǎn)品索賠。但在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，一個制造商可能不止生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品之間可能存在設(shè)計(jì)、零件或者生產(chǎn)線相同的情況，因而不同產(chǎn)品的保修索賠可能具有依賴性。Luo等[10]對這種情況進(jìn)行了研究和探索。許多產(chǎn)品由硬件和軟件兩個子系統(tǒng)構(gòu)成，因而除了對于部件的考慮逐漸復(fù)雜，產(chǎn)品的軟件故障[11-12]也成為了學(xué)者計(jì)算保修索賠時的考慮因素。研究發(fā)現(xiàn)用戶行為[13-16]在很多情況下也會對保修索賠造成影響。Wu[17]考慮Non-Failed But Reported（沒有故障但報(bào)告給制造商有故障）現(xiàn)象，并基于致命故障和間歇性故障兩種模式，對保修索賠進(jìn)行建模計(jì)算。Gordon[18]建立一個消費(fèi)產(chǎn)品替換模型，研究替換周期對于消費(fèi)者的影響，但并未探究對制造商的影響。

從上述文獻(xiàn)分析可以發(fā)現(xiàn)，用戶更換產(chǎn)品行為對于質(zhì)保成本以及保修策略優(yōu)化影響的研究較少。無論是對于保修成本的計(jì)算，還是對于保修期、價(jià)格和維修策略等因素的優(yōu)化，仍舊默認(rèn)在整個保修內(nèi)進(jìn)行計(jì)算。如果用戶在產(chǎn)品質(zhì)保期內(nèi)，由于對新設(shè)計(jì)的追求或其他原因，購買使用新的產(chǎn)品，實(shí)際使用數(shù)量隨時間變化總體呈減少趨勢。在這種情況下，保修期內(nèi)的故障可能不會導(dǎo)致索賠。本文綜合考慮產(chǎn)品的硬件故障、軟件故障以及用戶更換產(chǎn)品行為，提出符合現(xiàn)實(shí)情況的模型，對制造商的質(zhì)保成本進(jìn)行精確計(jì)算。

1 問題描述

制造商在時刻0開始銷售商品，假設(shè)銷售服從非齊次泊松過程{N(t);t＞0}，強(qiáng)度函數(shù)為φ (t)。在時間間隔內(nèi)累計(jì)售出的產(chǎn)品數(shù)為N(μ1)，預(yù)期銷售產(chǎn)品數(shù)為，在時間段內(nèi)售出產(chǎn)品的時間T為隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(t)=φ(t)/Λ(μ1，μ2)。用戶購買電子產(chǎn)品后，假設(shè)質(zhì)保期為W，由于電子設(shè)備更新?lián)Q代頻率較快，很多用戶會在質(zhì)保期滿之前對產(chǎn)品進(jìn)行更換，即自更換之日起至質(zhì)保期結(jié)束這一段時間內(nèi)，制造商無需再承擔(dān)質(zhì)保費(fèi)用。為更好地描述用戶更換行為，依據(jù)現(xiàn)有參考文獻(xiàn)，假設(shè)用戶會在時間t時更換手機(jī)。g′(x)為用戶更換行為的密度函數(shù)。

如圖1所示，用戶在ti時刻購買產(chǎn)品，假設(shè)部分用戶在ti+vi(vi＜W)時刻不再使用該產(chǎn)品。對于此用戶，制造商只需支付 [ti,ti+vi]時間段內(nèi)的質(zhì)保成本，無需支付 [ti+vi,ti+W]時間段內(nèi)的質(zhì)保成本。在此基礎(chǔ)上，預(yù)測質(zhì)保期內(nèi)任意時間間隔內(nèi)，產(chǎn)品的銷售過程、故障過程、保修期以及用戶更換行為綜合決定保修成本。考慮時間段 [ts,te]內(nèi)在保產(chǎn)品的質(zhì)保費(fèi)用，π=te-ts。其中，ts為 研究起始時間，te為研究結(jié) 束時間，π為研究時段。

圖1 更換產(chǎn)品示意圖Figure 1 Schematic diagram of product replacement

2 考慮用戶更換行為的質(zhì)保成本預(yù)測

綜合考慮硬件故障、軟件故障以及用戶更換函數(shù)建立模型，對質(zhì)保成本進(jìn)行精確計(jì)算?？紤]購買時間t∈(0,te)，壽命為x，當(dāng)x+t∈(ts,te]內(nèi)出現(xiàn)故障時 ，質(zhì)保費(fèi)用產(chǎn)生。

2.1 硬件故障函數(shù)

質(zhì)保期尊重用戶的選擇，可以續(xù)期也可以不續(xù)期。本文暫不考慮延長保修期的情況，對于質(zhì)保期內(nèi)發(fā)生的硬件故障，制造商采取免費(fèi)為用戶提供維修或者換新服務(wù)的質(zhì)保策略，并遵循以下假設(shè)。

1）制造商在質(zhì)保期內(nèi)為用戶免費(fèi)提供硬件故障維修或更換服務(wù)；

2）硬件故障的維修采取最小維修，將有故障的硬件修復(fù)到發(fā)生故障之前的狀態(tài)，維修的時間忽略不計(jì)。

在可靠性研究中，威布爾分布是一個著名且被廣泛使用的建立失效時間模型工具。通過對威布爾分布參數(shù)的合理設(shè)定，可以很好地表示產(chǎn)品整個生命周期內(nèi)失效率的變化。因此，本文采用威布爾分布對硬件故障建模。產(chǎn)品失效時間分布F(t)=1-exp[-(βt)α]，失效率r(t,θ)=f(t,θ)/(1-F(t,θ))。其中，α為形狀參數(shù)，β為尺度參數(shù)，f(t,θ)為概率密度函數(shù)，F(xiàn)(t,θ)為累計(jì)密度函數(shù)。質(zhì)保期內(nèi)單個產(chǎn)品預(yù)計(jì)故障數(shù)量均值為

質(zhì)保期內(nèi)全部產(chǎn)品的硬件故障的質(zhì)保費(fèi)用為

其中，Q為產(chǎn)品銷量；Ch為制造商單次修復(fù)硬件故障的成本均值。

2.2 軟件故障函數(shù)

在軟件開發(fā)過程中，很容易引入潛在的故障或潛在的引起故障的原因。有些軟件錯誤可以被完美調(diào)試，同時減少潛在故障的總數(shù)，進(jìn)而提高軟件的可靠性。為了滿足客戶對軟件可靠性的要求，制造商對產(chǎn)品內(nèi)嵌入的軟件系統(tǒng)提供保修。在保修期內(nèi)，制造商需向用戶保證軟件可以正常運(yùn)行，發(fā)現(xiàn)有缺陷，需要免費(fèi)為用戶進(jìn)行修復(fù)或更換系統(tǒng)，軟件系統(tǒng)與硬件系統(tǒng)擁有相同的質(zhì)保期。

軟件失效的累計(jì)次數(shù)可以用失效強(qiáng)度和累計(jì)失效強(qiáng)度表示。當(dāng)初始故障被檢測到并在操作系統(tǒng)中移除時，失效強(qiáng)度隨著時間的推移而減小，這種模型由軟件可靠性增長模型[19]來命名。

軟件故障的質(zhì)保政策一般分為以下兩種。

1）制造商通過互聯(lián)網(wǎng)收集故障報(bào)告，根據(jù)收集結(jié)果調(diào)試并定期在線發(fā)布更新或補(bǔ)丁，所有購買該產(chǎn)品的用戶均可免費(fèi)下載和安裝更新或補(bǔ)丁。如果在制造商發(fā)布更新之前發(fā)生故障，對于單個發(fā)生故障的用戶，將軟件恢復(fù)到此版本的正常工作狀態(tài)，但并沒有刪除這個錯誤，其他用戶仍可能出現(xiàn)相同的故障。發(fā)布更新后，此錯誤將不再出現(xiàn)。在這種質(zhì)保策略下，軟件故障維修成本包括用戶故障的維修成本和制造商發(fā)布更新系統(tǒng)、補(bǔ)丁的成本，其均值為

其中，η為軟件系統(tǒng)更新的間隔；λi(t)是指第i次軟件更新之后的失效密度函數(shù)，λi(t)=ελi-1(t)，λ0(t)=λ(t);ε為系統(tǒng)更新對于軟件失效密度函數(shù)的影響程度，ε ＞0，可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者現(xiàn)場數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)；Cs1為制造商維修一次軟件故障的費(fèi)用均值；Cs2為制造商發(fā)布一次更新/補(bǔ)丁所需的費(fèi)用。

2）若用戶的產(chǎn)品出現(xiàn)軟件故障，制造商有義務(wù)為其恢復(fù)到正常工作模式。產(chǎn)品均在此保修政策下獨(dú)立進(jìn)行維修。

結(jié)合實(shí)際，關(guān)于軟件故障，本文采取第1種質(zhì)保政策?？紤]硬件故障、軟件故障和更換行為，質(zhì)保成本模型為

2.3 硬件軟件故障相互關(guān)聯(lián)

1）產(chǎn)品的失效不僅是由純硬件/軟件因素引起的，還與軟硬件交互相關(guān)的一些設(shè)計(jì)問題有關(guān)。假設(shè)硬件和軟件故障的發(fā)生是統(tǒng)計(jì)相關(guān)的：軟件故障可能導(dǎo)致硬件故障，在t時刻發(fā)生的概率為m(t)?？紤]當(dāng)前情況下開發(fā)軟件難度較大，或軟件的更新成本過高，制造商可能會決定更換所有產(chǎn)品的硬件子系統(tǒng)，以降低產(chǎn)品的故障率。此時的故障包括硬件本身的故障以及軟件故障引起的硬件故障。在質(zhì)保期內(nèi)售出的Q個產(chǎn)品的總質(zhì)保成本為

考慮用戶更換函數(shù)的綜合質(zhì)保成本模型為

2）考慮產(chǎn)品的軟件可以在線更新，即執(zhí)行上節(jié)中的第1種軟件保修政策。此時產(chǎn)品的故障包括硬件故障、軟件故障以及軟件故障引起的硬件故障，硬件故障均采取最小維修。則在質(zhì)保期內(nèi)售出的Q個產(chǎn)品的總質(zhì)保成本為

考慮用戶更換函數(shù)的綜合質(zhì)保成本模型為

3 數(shù)值分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的可用性與有效性，本文以中國人工智能手機(jī)行業(yè)研究報(bào)告[20]中數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過函數(shù)擬合的方法確定用戶更換函數(shù)，進(jìn)而對本文中所提模型進(jìn)行分析計(jì)算。

硬件失效概率密度函數(shù)服從威布爾分布，參數(shù)取值為 α=2，β=1/6.68[21]。當(dāng)出現(xiàn)硬件故障時采取最小維修，假設(shè)單次維修費(fèi)用為100，即Ch=100。軟件故障函數(shù)[22]取λ (x)=abe-bx-1，相關(guān)的參數(shù)取值見表1。由于文中研究問題無法獲取到詳細(xì)的真實(shí)數(shù)據(jù)，所以根據(jù)調(diào)研報(bào)告的數(shù)據(jù)用最小二乘法進(jìn)行擬合，最終獲得用戶更換函數(shù)為，如圖2所示。

圖2 用戶更換模擬函數(shù)Figure 2 User changes as the simulation function

表1 參數(shù)取值Table 1 Parameter values

假設(shè)質(zhì)保期為12個月即W=12時，軟件系統(tǒng)每4個月進(jìn)行一次更新/補(bǔ)丁，即n=4；銷售速率取定值，即φ (t)=107，并令ts=0。將給出的參數(shù)代入式（7），在未考慮用戶更換行為和考慮用戶更換行為2種情況下，預(yù)測硬件故障、軟件故障相互獨(dú)立以及隨機(jī)銷售考慮在內(nèi)的質(zhì)保成本，結(jié)果如表2所示。

表2 質(zhì)保期內(nèi)每個月質(zhì)保費(fèi)用對比Table 2 Comparison of monthly warranty expenses within the warranty period

如圖3所示，考慮用戶的更換行為，總維修成本下降，制造商可以更加精確地預(yù)估質(zhì)保成本。但由于模擬函數(shù)的原因，考慮更換后的質(zhì)保成本在前期就開始下降，現(xiàn)實(shí)中應(yīng)該是在用戶開始更換，大約集中在6個月以后。綜合分析，提出的模型可以很好地?cái)M合用戶更換行為導(dǎo)致的成本問題。

圖3 質(zhì)保成本對比Figure 3 Comparison of quality assurance costs

當(dāng)預(yù)期的更換比例較高時，制造商可以延長保修期，因?yàn)樵诳紤]更換比例之后，原本一年的質(zhì)保成本可以承擔(dān)更久的質(zhì)保期費(fèi)用。從市場的角度出發(fā)，更長的保修期是產(chǎn)品質(zhì)量良好的有力指標(biāo)，有助于提高公司的聲譽(yù)，促進(jìn)銷售，進(jìn)而增加公司的總利潤。亦可以采取維持原有保修期的同時，降低價(jià)格，吸引更多的用戶購買，增加銷量，為企業(yè)創(chuàng)造更多的利潤。

4 結(jié)論

制造商在準(zhǔn)備質(zhì)保金時，需要了解特定時期的保修成本，用戶的更換行為是影響保修費(fèi)用的一個重要因素。本文針對由硬件子系統(tǒng)和軟件子系統(tǒng)構(gòu)成的時尚類消費(fèi)產(chǎn)品，考慮硬件故障、軟件故障以及用戶更換行為，建立了綜合考慮的質(zhì)保成本模型。在考慮了用戶的更換行為之后，由數(shù)值例子可以看出，質(zhì)保成本減少。結(jié)果表明，忽略用戶的更換行為，企業(yè)將會高估索賠成本和索賠準(zhǔn)備金?？紤]用戶的更換行為對于制造商有較重要的管理意義，可以對制造商的質(zhì)保成本進(jìn)行精確計(jì)算，進(jìn)而制造商可以采取降低價(jià)格等策略吸引消費(fèi)者，增加銷售量。

未來，可以研究制造商對質(zhì)保期內(nèi)更換手機(jī)的用戶給予折扣購買新手機(jī)的情形，使得制造商既不損失原產(chǎn)品的利潤，又可以在一定程度上增加用戶的品牌忠誠度。也可以對軟件系統(tǒng)更新采取收集錯誤的形式，即當(dāng)達(dá)到某個閾值時制造商發(fā)布更新或者補(bǔ)丁，這更符合實(shí)際情況。