【摘 要】對于學(xué)生發(fā)展而言，初中階段具有承上啟下的重要意義。提升歸納推理能力對于學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展和思考方式的優(yōu)化大有幫助，其在學(xué)生實踐能力的提高和創(chuàng)新能力的發(fā)展中，也扮演著非常重要的角色。文章通過一系列教學(xué)策略，在初中常見的閱讀材料題的分析中滲透歸納推理素養(yǎng)的培養(yǎng)，以期提高初中生的歸納推理能力和意識。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);歸納推理素養(yǎng);教學(xué)策略;閱讀材料題

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）12-0096-03

當(dāng)前時代要求教師培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，而歸納推理是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要方法。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)，不但可以使學(xué)生的思維更加活躍，還可以使學(xué)生的創(chuàng)新能力得到發(fā)展。學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該得到所有教育工作者的重視。

歸納推理是通過觀察、分析、聯(lián)想和概括等方法，對個別事物進行探索，獲得一般結(jié)論的推理類型。聯(lián)想是由一件事物想到另一事物的心理活動過程，是溝通未知事物與已知事物的橋梁，能夠達到化未知為已知的目的[1]。概括能力也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。學(xué)者蔡金法先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心[2]?！睌?shù)學(xué)中的很多概念、定義、定理，如點、直線等概念及相關(guān)定理，都是通過數(shù)學(xué)概括得到的，要想揭示事物的本質(zhì)規(guī)律，概括能力是必不可少的。因此學(xué)生的聯(lián)想能力和概括能力的培養(yǎng)對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)同樣是非常重要的。

初中是學(xué)生各方面能力全面發(fā)展的階段，在這個階段，教師需要重視培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力，使學(xué)生具備一定的歸納推理素養(yǎng)。一線數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)的認(rèn)知情況會直接影響到平常的教學(xué)活動。學(xué)生在日常學(xué)習(xí)活動中又會對教師的行為進行模仿。因此，教學(xué)活動如何開展、教學(xué)內(nèi)容如何設(shè)計、教師是否重視數(shù)學(xué)歸納推理等，都會對初中生能否養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)產(chǎn)生影響。

1? ?在歸納推理時，培養(yǎng)學(xué)生“理智上的勇氣”

“理智上的勇氣”就是一個人有勇氣有膽識，隨時準(zhǔn)備對任何一個信念進行修正。在日常的數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生往往會有一種思維定勢，即思考問題時總是會遵循頭腦中已經(jīng)存在的思維路徑，特別是對于腦海中已經(jīng)存在的知識，有一種盲目的信任。因此教師在歸納推理教學(xué)中，要打破學(xué)生的這種思維定勢。

【閱讀材料1】

有這樣一列數(shù)：11，31，41，61，71，101，111，131，141，151，161，171，181，191，同學(xué)們從這組數(shù)中能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律呢？

分析：首先對這組數(shù)進行觀察分析，其具有什么共同特征呢？很多學(xué)生因為已有的思維定勢，會從前項與后項的差這個角度進行分析。他們首先發(fā)現(xiàn)前后項的差組成的數(shù)列是這樣的：20，10，20，10，30，10，20，10，10，10，10，10，10。然后，很多學(xué)生會專注于對前后項的差組成的數(shù)列所具有的規(guī)律進行分析，教師給學(xué)生充分的時間考慮過后，對學(xué)生發(fā)起追問：“差形成的數(shù)列存在某種規(guī)律嗎？”學(xué)生回答：“前面四項是有的，但是后面幾項是沒有的?！?/p>

學(xué)生在思維定勢的影響下，會將注意力集中在前后項的差組成的數(shù)列上，因此教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生及時轉(zhuǎn)變想法，讓學(xué)生從數(shù)本身的特點來觀察。為此要提出問題：“可以發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都有什么共同的性質(zhì)呢？”學(xué)生回答：“可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列中所有的數(shù)都是以1為個位?！比缓蠼處熢俅巫穯枺骸斑€有什么發(fā)現(xiàn)呢？”此時教師的追問可以拓展學(xué)生的思維，使學(xué)生對之前的思考進行修正，從而發(fā)現(xiàn)每一個數(shù)都是素數(shù)。

評注：“理智上的勇氣”體現(xiàn)在當(dāng)學(xué)生思考問題陷入思維僵局時，教師要及時引導(dǎo)學(xué)生對自己的思考方式和方向進行修正，讓學(xué)生時刻準(zhǔn)備對自己已有的猜想或信念進行修正。在以上案例中，如果學(xué)生一直用之前的經(jīng)驗來思考，問題就無法解決。

2? ?在歸納推理時，培養(yǎng)學(xué)生“理智上的誠實”

如果因為某個猜想是自己冥思苦想得到的而固執(zhí)地堅持，那么這種行為就是不誠實的，也是不成熟的。因此教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生形成這樣一種品格或者態(tài)度：如果存在一種理由能夠改變信念，就應(yīng)該對這一信念作出改變。

【閱讀材料2】

費馬根據(jù)n=1，2，3，4的情況，提出“形如2+1（n取正整數(shù)）的數(shù)是素數(shù)”這個猜想，那么這個猜想是正確的嗎？

分析：通過分析問題，可以知道這個猜想是費馬通過觀察四個特例提出來的，即將n=1，2，3，4分別帶入2+1中，可以發(fā)現(xiàn)計算得到的結(jié)果都是素數(shù)。那么當(dāng)n為其他數(shù)時，這一猜想仍舊成立嗎？帶著這個疑問，不妨將n=5帶入2+1中，此時2+1=232+1=641×6700417。這個數(shù)并不是素數(shù)，那么通過這樣一個反例，就可以推翻費馬的猜想。

評注：費馬提出這個猜想以后，歐拉通過舉出一個反例，將此猜想否定了。在歸納推理的過程中，如果存在一個理由能夠推翻已有的結(jié)論，就必須誠實地對已經(jīng)得到的猜想進行修正。因此教師在教學(xué)活動中，要注意引導(dǎo)學(xué)生善于利用反例，對一個猜想或者一般性命題進行反駁。

3? ?在歸納推理時，要求學(xué)生具有“明智的克制”

僅為追求最新、最流行的東西，而不經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的考察，就輕易地改變某種信念，這種行為非常不明智。然而，從現(xiàn)實的角度來說，人們并沒有充分的時間與足夠的能力對所有的信念進行考察。因此波利亞認(rèn)為比較明智的態(tài)度是：對于該做的事情，繼續(xù)推進;對存在的問題，暫時保留。

“理智上的勇氣”“理智上的誠實”和“明智的克制”是三種非常重要的品質(zhì)，對歸納推理素養(yǎng)的培養(yǎng)至關(guān)重要。那么在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，應(yīng)該如何正確地對學(xué)生的這三種品質(zhì)進行培養(yǎng)呢？下面筆者將通過一道例題的講解來說明。

【閱讀材料3】

設(shè)an為下述自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n，并且各位數(shù)字只可以取1、3、4。求證：a2n為完全平方數(shù)。

分析：首先代入幾個簡單的值，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是n=1，2，3，……，8。學(xué)生據(jù)此可以算出：a1=1，a2=1=12，a3=2，a4=4=22，a5=6，a6=9=32。然后讓學(xué)生猜想一下a8的值應(yīng)該是多少。大部分學(xué)生通過上面的數(shù)據(jù)進行分析，認(rèn)為a8=42=16。這時，教師應(yīng)該注意訓(xùn)練學(xué)生的歸納能力，并進行追問：“此時的值就是a8的正確結(jié)果嗎？是否有同學(xué)想對此答案進行修正呢？”而后有學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)a8=52=25，接著可以再次對學(xué)生進行追問：“可以發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律嗎？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)a2n恰好是斐波那契數(shù)相應(yīng)項的平方。進而繼續(xù)追問：“那么這個結(jié)論是正確的嗎？”最后，學(xué)生通過繼續(xù)考察a10和a12的值，發(fā)現(xiàn)并沒有充分的理由去改變上面的結(jié)論，上述猜想可以初步認(rèn)定是正確的。

評注：上述教學(xué)過程中，教師的層層設(shè)問引導(dǎo)讓學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)問題中感受歸納的獨特魅力。教師應(yīng)該時刻謹(jǐn)記，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的歸納能力，最重要的就是使學(xué)生具備“理智上的勇氣”“理智上的誠實”以及“明智的克制”。這三種品質(zhì)可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

4? ?在歸納推理時，培養(yǎng)學(xué)生的啟發(fā)性聯(lián)想力

歸納推理通常是通過觀察開始的，要想獲得比較有意義的結(jié)論，首先，要對所觀察的事物比較熟悉，并且對其有興趣，對數(shù)學(xué)學(xué)科而言同樣如此;其次，在初中生數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)的培養(yǎng)中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察也非常重要;最后，學(xué)生在學(xué)會觀察以后，要從觀察中得到啟發(fā)和聯(lián)想，從而得到一般性的命題或者結(jié)論。那么如何培養(yǎng)學(xué)生的啟發(fā)性聯(lián)想力呢？筆者將其總結(jié)為以下三點：

（1）觀察數(shù)或者形;

（2）從中得到數(shù)或者形的相似之處;

（3）將其進行推廣，得到一般性命題或者結(jié)論。

下面筆者將通過一個例子進一步說明。

【閱讀材料4】

猜想大于9的奇數(shù)能否都可以用三個素數(shù)之和來表示。

分析：眾所周知，對于數(shù)而言，要想對它們有較好的理解，必須要學(xué)會區(qū)分奇數(shù)和偶數(shù)，并且理解什么是素數(shù)。理解上述數(shù)的相關(guān)知識以后，提出問題：大于9的奇數(shù)能否都可以用三個素數(shù)之和來表示？

例如77=53+17+7。再任意取一個奇數(shù)，如11，發(fā)現(xiàn)11=2+2+7，77和11都可以表示成三個素數(shù)的和。再如任意一個奇數(shù)461，461=449+7+5，它也可以表示成三個素數(shù)之和，并且461還可以表示成257+199+5。

以上77，11，461都是奇數(shù)，77，11，461拆出來的加數(shù)也都是素數(shù)。也就是對于上述的特例來說，三個素數(shù)之和是一個奇數(shù)，是成立的。那么其他任意一個大于9的奇數(shù)是否存在這種性質(zhì)呢？

首先來看大于9的最小的奇數(shù)11，其滿足條件，再看超過11的奇數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：

13=3+5+5

15=3+5+7

17=2+2+13

19=3+3+13

21=3+5+13

當(dāng)前所看到的這些個別的情況，至少可以得出一個一般性的命題，即任意一個大于9的奇數(shù)都可以表示成三個素數(shù)之和。這個猜想就是通過歸納推理得到的，也就是說它是由觀察所啟發(fā)的，由特殊的例子所得出的。

如上，由于證明這個猜想是正確的理由并不充分，因此這些論證的有效性是比較弱的。那么這個猜想是否正確，就還需要后續(xù)的證明。

評注：上述的問題主要運用歸納推理來解決，在歸納推理的過程中，運用了啟發(fā)性聯(lián)想。為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的啟發(fā)性聯(lián)想力，筆者總結(jié)了上述歸納推理的一般步驟：

首先，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)一些相似的性質(zhì)，如發(fā)現(xiàn)53，17，7，25，7，449，5，257，199都是素數(shù)，77，11，461都是奇數(shù)，并且77=53+17+7，11=2+2+7，461=449+7+5，461=257+199+5四個等式也存在相似的地方。

其次，要經(jīng)歷一個推廣的過程，即從77，11，461這些奇數(shù)擴展到所有大于9的奇數(shù)，從53，17，7，5，7，449，5，257，199這些素數(shù)擴大到所有素數(shù)，接著繼續(xù)推廣，可以得到一個一般的關(guān)系式：大于9的奇數(shù)=素數(shù)+素數(shù)+素數(shù)。

由此可以得出一個明確的一般性命題。需要注意的是，這個命題只是一個試驗性的猜想和推測。換句話說，這個命題并沒有被證明，它不可以被當(dāng)作一個真理，它僅僅是通往真理的一個嘗試。然而，這個猜想與“事實”是有一些啟發(fā)性的聯(lián)系的。因此，可以大致得出歸納推理素養(yǎng)的一個關(guān)鍵能力是啟發(fā)性聯(lián)想。

歸納推理能力的發(fā)展，可以使學(xué)生的思維方式變得更加靈活，使其考慮問題的方式不再僵化，能夠促進學(xué)生發(fā)散性思維的形成。而學(xué)生發(fā)散性思維的發(fā)展有利于學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新意識的發(fā)展。歸納推理本身的特征使得學(xué)生在進行歸納推理的過程中，其創(chuàng)新意識也會得到發(fā)展和提高，因此培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力，有利于培養(yǎng)出具有創(chuàng)新能力的人才。

【參考文獻】

[1]李江滔.聯(lián)想法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（30）.

[2]蔡金法.試論數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心[J].數(shù)學(xué)通報，1988（2）.

【作者簡介】

季青（1995～），女，漢族，江蘇鹽城人，碩士，中小學(xué)二級教師。研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。