摘 要：從教材和學情出發(fā)，對“數的運算”板塊進行分析后發(fā)現，某些單元或課時在教學中具有統(tǒng)攝作用。因此，在教學這部分關鍵課時、關鍵單元時，可嘗試以“理解與遷移”為導向，通過課堂實踐提煉基本課型，如算理理解課、算法形成課、運算技巧課、規(guī)律探索課、簡便計算課等，展開單元整體教學，為計算教學提供可行性參考。

關鍵詞：理解與遷移；數的運算；乘法運算；基本課型

為了更有效地教學，我們系統(tǒng)梳理了人教版教材“數的運算”板塊，分析了12冊教材中的29個運算單元后發(fā)現，有些單元或例題的算理相同、算法相似；有些單元例題提供了豐富的學習材料，可以幫助學生形成算法；還有些單元例題是計算程序的教學等。顯然，教材在編排不同的計算內容時并不是千篇一律的，而是各有側重，有些著力于算理的理解，有些注重算法的形成。那么，計算教學中是否存在一些關鍵單元或關鍵課時，對算理的理解具有核心作用，且有助于學生遷移應用？我們該如何開展這些內容的教學，幫助學生更好地實現遷移呢？

帶著這一思考，我們對人教版教材中的7個乘法單元、7個除法單元、12個加減法單元和3個混合運算單元做了進一步分析，試圖尋找每種運算教學中的關鍵單元或課時，并開展深入研究與課堂實踐。本文以乘法內容為例，闡述我們在“理解與遷移”導向下的教學思考和實踐。

一、基于“理解與遷移”，定位關鍵單元

所謂理解與遷移，指的是學生在理解的基礎上，將知識、方法或思維方式等遷移到新知的學習過程中，學生的學習方式發(fā)生了變化，更加注重學生的自主性和主體性。具體到計算單元教學中，就是將計算的本質理解到位，然后在同類型運算中能夠靈活遷移應用，解決新問題。在教材整理的基礎上，我們對乘法內容所在的6冊教材從單元主題、例題編排、材料背景等多個維度進行了深入分析，梳理了各單元的主要知識點（如表1），從學科邏輯和學生視角兩個維度定位關鍵單元，認為整數乘法部分的關鍵單元是《多位數乘一位數》：從教材編排來看，《多位數乘一位數》單元實現了從表內乘法到乘法豎式教學的飛躍，對后續(xù)乘法運算教學具有重要意義；而從學情來看，多位數乘一位數是實現“理解與遷移”的源頭。小數乘法和分數乘法的關鍵單元是《分數乘法》：從數的意義來說，分數乘法的算理能夠遷移至小數乘法；從運算的意義來說，分數乘法意義的理解是對小數乘法的有益補充。

（一）將《多位數乘一位數》設為關鍵單元的原因分析

1.其算理能夠遷移至后續(xù)筆算乘法

《多位數乘一位數》單元是筆算乘法的起始單元，對筆算乘法算理理解具有“開啟”的意義和遷移作用，教學的核心目標是在理解算理的基礎上掌握算法。小學數學中，數與代數領域的核心概念是計數單位的累積，乘法教學也應以此為關鍵。《表內乘法》是乘法教學的基礎，詮釋乘法的意義；《兩位數乘一位數》則是乘法運算教學的核心，幫助學生從乘法口訣過渡到一般乘法。“把兩位數拆分為整十數和一位數，通過計數單位的累加求出得數?！碑攲W生深刻理解了這一算理，就可以繼續(xù)依托數的意義和運算的意義，遷移學習三位數乘一位數、兩位數乘兩位數和三位數乘兩位數等乘法內容。

同一種運算，一般都是從簡單程序（參與運算的兩個量的位數比較少）入手，逐漸轉向復雜程序的教學。從簡單程序到復雜程序，通常算理是相同的，因而學生在學習這一系列內容時，若能將關鍵課時的算理理解透徹，隨后在其他復雜程序學習過程中則可以進行遷移應用。多位數乘一位數既是筆算乘法的關鍵單元，也屬于簡單程序。乘法運算的教學先將兩位數乘一位數的豎式結構由兩層簡化為一層，再將算理遷移應用于三位數乘一位數筆算。以123×13為例，乘法運算的學習過程如圖1所示。隨著乘數位數的增加，運算程序略顯復雜，因此，還需重點解決“連續(xù)進位”這一難點。兩位數乘兩位數的計算則是通過拆分計數單位，使學生經歷兩次兩位數乘一位數的過程，再相加，這其實是運算程序疊加的過程。如“12×13”，先算“3×12”，再算“10×12”，然后將乘得的結果相加。

2.其內容是理解乘法算法的基石

為了解學生的學情基礎和能力儲備，我們在學習整數乘法的三個階段，對從6個班級隨機抽取的50位學生進行了前測，前測內容如表2。

我們分別從計算的正確率和算理理解兩個維度統(tǒng)計了數據，根據數據可以發(fā)現：學生對于多位數乘一位數、兩位數乘兩位數和三位數乘兩位數的計算，正確率均高于80%，但對算理的理解并不理想，尤其在《多位數乘一位數》單元的前測中，學生對于“15×3”這樣需要進位的乘法算理的理解是模糊的，存在一定的認知障礙。這不僅是本單元，也是整個乘法運算教學需要解決的難點。

不同的運算內容，學生對算理的理解程度也存在差異。如《多位數乘一位數》單元的前測中，半數以上的學生只會計算但不明晰算理，而在《兩位數乘兩位數》和《三位數乘兩位數》單元的前測中，會計算的學生人數和理解算理的人數接近。

分析后我們發(fā)現，這可能與學生在學習《多位數乘一位數》單元時，能否理解筆算乘法的算理，并主動將其遷移應用于后續(xù)學習中有關。

學生已有的知識技能和思想是學習新知識、掌握新技能、形成新方法的肥沃土壤。在這一成長點之上，學生可順利地在新舊知識之間建立聯系、體會新知的本質內涵，甚至進一步實現更高階的思維積累。例如，前測中，學生能將三位數乘兩位數、兩位數乘兩位數和三位數乘一位數的算理聯系起來，主動應用“計數單位的乘加”這一核心知識，推動活動經驗的遷移。當學生不能用現成的知識來解決新問題時，往往會自發(fā)地進行畫一畫、圈一圈等操作活動來嘗試解決問題，而這樣的活動經驗學生在初次理解同類計算原理的時候（即學習“多位數乘一位數”時）有過充分體驗，因此在后續(xù)學習中能夠幫助學生更好地遷移運用、理解算理。例如，第二次前測中，就有6位學生通過點子圖來計算14×12，說明學生可以借助以往的活動經驗來學習新知。

可見，整數乘法運算中，學生的認知難點在于對多位數乘一位數的算理理解，教學中一旦突破了這一難點，他們就能夠在理解的基礎上將算理遷移應用于同類型的內容學習中，且越往后，遷移能力的作用越明顯，這也從側面說明了，學生在新知學習時是具備選擇合適的方法靈活遷移應用的能力的。

（二）《分數乘法》設為關鍵單元的原因分析

算理和算法的教學都離不開對數的意義和運算意義的理解，換言之，數的意義和運算的意義是算理理解的重要基礎。通過分析、研討人教版小學數學五年級上冊《小數乘法》單元和六年級上冊《分數乘法》單元，我們發(fā)現：《小數乘法》單元側重算法的學習，《分數乘法》單元則側重算理的理解，而小數乘法與分數乘法在本質上是相通的，因此可以將《分數乘法》設為這部分的關鍵單元。

1.其算理能夠遷移至小數乘法

小數是分數的特殊形式，只要學生深入理解了分數乘法的意義，就能夠很容易地將小數轉化成分母是10、100、1000……的分數，然后用分數乘法的算理解釋小數乘法。因此，在分數乘法的教學中，需要突破的就是“新計數單位的產生”這一難點。

2.其內容是理解小數乘法的有益補充

人教版教材將小數乘法分為兩個部分教學：小數乘法計算和解決問題。其中，計算部分的教學分為三個層次：小數乘整數、小數乘小數、認識小數倍，側重用積的變化規(guī)律幫助學生將整數乘法的經驗遷移到小數乘法中。這樣編排有一定的道理，卻弱化了小數乘法的意義及算理。例如，教材編排小數乘小數時采用面積情境，根據“面積=長×寬，所以用乘法計算”這一邏輯展開教學，回避了小數乘小數本身的乘法意義，依托積的變化規(guī)律展開教學，更側重于算法的掌握，并沒有深入剖析小數乘小數的算理?！斗謹党朔ā返木幣疟取缎党朔ā犯鼈戎赜谒憷淼睦斫?，注重用分數和乘法的意義來詮釋算理，有助于學生從本質上去理解分數乘法的算理。即使學生在《小數乘法》單元沒有深入探究算理，在《分數乘法》單元也可以通過回顧或類推的方式幫助他們將算理遷移應用于小數乘法。因此，將《分數乘法》設為關鍵單元是合適的。

二、立足“理解與遷移”，提煉并應用計算教學課型

基于以上分析，我們試圖以“理解與遷移”為導向，在計算教學中開展實踐研究，在落實單元整體教學的過程中，形成可行性對策，從不同角度進行了實踐嘗試，提煉了幾種典型課型，并形成范式。

（一）不同課型的內涵和價值追求

我們將計算教學的課型分為5類，算理理解課、算法形成課、運算技巧課、規(guī)律探討課和簡便運算課。其中，算理理解課是各類課型的重要基礎，主要解決為什么這樣算的問題；算法形成課依托算理理解，旨在提煉計算的一般程序，解決怎樣算的一般算法問題；運算技巧課側重于計算的精巧性；規(guī)律探討課主要引導學生感悟運算的意義；簡便運算課則根據運算規(guī)則和數據特征體會運算的簡便性。算理理解課主要解決“理”，指向思維層面，其他四者都是關于“法”，指向運算技能。通過對不同課型的研究實踐，在明理知法的基礎上，學生可更好地將其進行遷移運用。

1.算理理解課：重視橫向對比，揭示運算本質

算理理解課側重研究“數”的意義和“運算”的意義，這些是學生正確計算的前提，一般在單元起始課中教學。大部分學生在課前雖然能夠正確計算，但不明白算理，也有些學生對算理和算法都是模糊的，不論哪種學情，核心問題都是算理理解的問題。因此，算理理解課首先需以“任務驅動”的方式引導學生嘗試計算，并借助多種學習材料解釋為什么這樣算，在交流反饋中引導學生橫向對比，探尋多種方法之間的關聯，在求同、求異的過程中溝通運算本質、深化對算理的理解，便于遷移運用。

2.算法形成課：明確計算方法，熟練一般步驟

算法形成課旨在幫助學生在理解算理的基礎上總結算法，是算理理解課的延續(xù)和補充，側重形成一般的、較為簡潔的計算方法。學生在理解算理后形成的計算方法可能是多樣的，雖然能確保計算結果的正確性，但是否每種方法都是精簡的，甚至是精巧的，需要在一定題量的計算、對比、分析中逐漸感悟和優(yōu)化，并形成一般步驟。因此，算法形成課需精選單元典型題目讓學生獨立計算，并在交流算法的過程中通過對比、理解、感悟等，優(yōu)化形成最具一般性的算法，提煉一般計算步驟或程序，使其更具可遷移性和普遍應用價值。

3.運算技巧課：豐富運算技巧，提高計算能力

運算技巧課立足熟練計算，側重計算過程的精巧性，旨在提高學生計算的速度和正確率，對發(fā)展學生數感、豐富計算技能、提高計算能力具有十分重要的作用。教學時需精心設計學習材料，有意識地挖掘練習或課本外的相關內容，重組后形成題組或變式，放大學習背景，拓寬思維視野，使學習更具挑戰(zhàn)性。因此，運算技巧課可以從數的特征和運算的關系、規(guī)律等入手，以獨特的學習材料引導學生發(fā)現、應用運算的技巧和規(guī)律，進一步優(yōu)化算法、總結技巧并遷移運用，從而將某些帶有數據特點的計算問題變得簡單。

4.規(guī)律探討課：放大探究過程，感悟運算意義

規(guī)律探討課的教學重點應從“知曉規(guī)律，應用規(guī)律計算”轉變?yōu)椤疤骄恳?guī)律，感悟運算意義”，不僅要幫助學生達成知識與技能目標，更要著力于培養(yǎng)學生的探究能力，提升其數學素養(yǎng)。因此，規(guī)律探討課需以探尋規(guī)律為學習任務，組織學生猜想規(guī)律并計算驗證，在觀察、思考、嘗試、驗證一系列活動中發(fā)現規(guī)律，感悟運算的意義。探究能力提高了，運算意義理解更深刻了，才能更有效地實現遷移運用。

5.簡便計算課：結合運算定律，培養(yǎng)簡算意識

簡便計算課旨在幫助學生學會巧妙運用四則運算規(guī)則和運算定律等，簡化運算過程，提高運算的正確率和精巧性，形成一定計算范式?；嗊\算的過程離不開對算式意義的理解和數的意義的理解，因此，簡便計算課需要讓學生通過靈活遷移運用運算定律、積（商）的變化規(guī)律、拆數等方法實現簡算目的，培養(yǎng)簡算意識，并逐漸形成用簡便方法計算的能力。

（二）不同課型在乘法內容的教學中的應用

人教版小學階段涉及乘法的單元共有7個，這些單元分布在二至六年級的不同階段，從教材編排看，這部分內容呈離散狀態(tài)，但從知識邏輯來看，這些內容前沿后聯、關系緊密，具有連續(xù)性，其算理與算法具有較大共同性和遷移性。因此，我們在實踐過程中采取不同的課型教學這些單元的典型課例，具體安排如表3所示。

下面以整數乘法關鍵單元《多位數乘一位數》為例，結合一些課例具體介紹該單元的基本課型。

1.算理理解課：《兩位數乘一位數》

無論從前測還是課堂反饋上來看，學生對于不進位乘法的算理和算法沒有困難，且從進位乘法切入教學，更具一般性，更利于學生體驗豎式的價值，因此，《兩位數乘一位數》一課的第一個教學環(huán)節(jié)直接讓學生計算進位乘法。學生在自主探究計算方法的基礎上進行交流與反饋。然后，教師追問：“這些方法之間有聯系嗎？”引導學生從整體上研究所有方法，發(fā)現多種方法之間的關聯，最終內化算理，促進算理的遷移運用。再通過對比、思辨和討論，體會一層豎式的簡潔和普適性，而兩層豎式則更加清晰地還原了計算的過程，從而進一步內化算理。具體教學環(huán)節(jié)詳見表4。

2.算法形成課：《乘數中有0的乘法》

本課以乘數中有0的乘法為載體，結合乘法的意義和多位數乘一位數的算理，讓學生經歷探索乘積中的0產生的三種途徑，掌握0在乘數中間和末尾時的筆算方法，在思考與實踐中感受當乘數末尾是0時，積的末尾也一定是0，而當0在中間時，乘積里不一定有0。具體教學環(huán)節(jié)詳見表5。

3.運算技巧課：《乘法算式謎》

《乘法算式迷》一課為本單元的運算技巧課，具體教學環(huán)節(jié)、目標與學習材料如表6。本課沒有完全按照教材編排的內容教學，而是設置了“嘗試獨立解決數字謎”“改變數字謎”和“自創(chuàng)數字謎”三個任務，逐步推進教學過程，通過開放的學習材料，有挑戰(zhàn)的學習任務，開拓學生的思維空間。反饋時緊緊抓住課堂生成，引導學生從數位或整體觀察的角度去尋找突破口，感受豎式各部分的內在聯系，經歷用所學的運算法則進行邏輯推理的過程，初步掌握乘法豎式數字謎的一般方法，為后續(xù)改編和自創(chuàng)數字謎提供思維支撐。在改編、思考、辨析和自創(chuàng)的過程中深化學生對數字謎的理解，進一步感受豎式中各部分的內在聯系，在遷移運用中鞏固學生的計算技能，豐富運算技巧，培養(yǎng)邏輯推理能力。

《多位數乘一位數》單元中沒有提到的規(guī)律探尋課和簡便運算課在其他單元中也有應用，就不再一一列舉。從領域視角看，五種課型前后銜接、互聯互補；從單元視角看，五種類型未必在某個單元中都存在，需根據內容靈活取舍，但不管是以怎樣的形式開展，最重要的導向始終是讓學生在意義理解的基礎上實現自主遷移。我們通過提煉這幾類課型開展單元整體教學，既是為了重組單元內容，充分發(fā)揮理解與遷移在學生學習過程中的作用，更是為了促使學生經歷計算教學中方法多樣化、一般化和最優(yōu)化的思維過程。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]史寧中.基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]張丹，于國文.“觀念統(tǒng)領”的單元教學：促進學生的理解與遷移[J].課程·教材·教法，2020（5）.

[4]張丹.用“結構”的力量促進學生的理解與遷移[J].小學數學教師，2020（7-8）.

[5]張奠宙，等.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[6]馬蘭，盛群力，課堂教學設計——整體化取向[M].杭州：浙江教育出版社，2011.

[7]鄭毓信，梁貫成.認知科學建構主義與數學教育[M].上海：上海教育出版社，1998.

（鄭志霞，浙江省湖州市愛山小學教育集團，郵編：313000）