摘 要：無論是數(shù)學(xué)課程改革的深入發(fā)展，或是日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，都應(yīng)很好地發(fā)揮問題的引領(lǐng)作用。由此引向做好數(shù)學(xué)教學(xué)的兩個(gè)關(guān)鍵：“再認(rèn)識”與大觀念的滲透和指導(dǎo)?！霸僬J(rèn)識”即數(shù)學(xué)的認(rèn)識大多應(yīng)有不斷深化和優(yōu)化的過程，應(yīng)貫穿全部的數(shù)學(xué)教學(xué)活動；大觀念則對學(xué)生的深度學(xué)習(xí)具有重要影響，應(yīng)在教學(xué)中予以滲透。

關(guān)鍵詞：大問題；大觀念；課程改革；再認(rèn)識；字母的引入

一、從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂，看問題意識的重要性

就數(shù)學(xué)教育的新近發(fā)展而言，最重要的一件事，顯然是經(jīng)過再次修訂的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，即《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《2022版課標(biāo)》）的頒發(fā)與實(shí)施。以下是蘇明強(qiáng)教授關(guān)于這一工作的簡要總結(jié)：“‘四基和‘四能保持不變，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的繼承，核心素養(yǎng)貫穿課程標(biāo)準(zhǔn)的始終，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的發(fā)展。”修訂工作強(qiáng)調(diào)繼承與發(fā)展當(dāng)然沒錯，這很好地體現(xiàn)了相關(guān)人士的“目標(biāo)意識”。但是，如果我們既未對先前的工作作出認(rèn)真的總結(jié)與反思，特別是未弄清存在的問題與不足并有針對性地作出更深入的研究和改進(jìn)，而只是不加分析地全盤繼承，又未能很好地弄清我們?yōu)槭裁磻?yīng)以核心素養(yǎng)作為修訂工作的主要指導(dǎo)思想，而只是滿足于新舊思想的簡單組合，乃至詞語的簡單轉(zhuǎn)換，如將先前的核心概念直接改為核心素養(yǎng)，并滿足于“三會”這樣一個(gè)新概念的創(chuàng)造，實(shí)質(zhì)上仍然局限于已有的概念框架，更未能從理論角度作出深入分析和審視，那么，所說的“繼承和發(fā)展”顯然就不能被看成真正的進(jìn)步。而且如果我們認(rèn)定經(jīng)過這樣的加工就可構(gòu)建起一個(gè)“以‘三會為核心，層層遞進(jìn)的課程目標(biāo)”，一個(gè)“基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系”，這就會產(chǎn)生很大的疑問了。

例如，我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考的一個(gè)問題是：“四基”中所謂的基本活動經(jīng)驗(yàn)是否對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有特別的重要性，乃至其是否與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)基本技能、基本數(shù)學(xué)思想具有同樣的重要性？再者，我們應(yīng)如何去看待“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的語言”與“數(shù)學(xué)的思維”之間的重要聯(lián)系，乃至將三者看成數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，也即是否所有學(xué)生，不管他們將來會從事什么工作，都應(yīng)很好地做到所說的“三會”？

就總體而言，這清楚地表明了增強(qiáng)問題意識的重要性，特別是，我們應(yīng)通過對已有工作的總結(jié)和反思發(fā)現(xiàn)存在的問題與不足之處，并有針對性地開展研究，積極地進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，才能取得真正的進(jìn)步。我們在此還應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)教育的各個(gè)大問題。例如，除去已提及的數(shù)學(xué)教育目標(biāo)，我們顯然也應(yīng)高度重視課程內(nèi)容的取舍與安排。以下就從后一角度對數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂工作作出進(jìn)一步的分析評論。

具體地說，《2022版課標(biāo)》的一個(gè)重要變化，是將原來歸屬于小學(xué)數(shù)學(xué)的負(fù)數(shù)（負(fù)數(shù)只出現(xiàn)在第三學(xué)段 “綜合與實(shí)踐” 的一個(gè)主題活動中）和方程等內(nèi)容重新移回了初中。就現(xiàn)實(shí)而言，初中生的課業(yè)負(fù)擔(dān)應(yīng)當(dāng)比小學(xué)生重得多，在這種情況下，我們又將負(fù)數(shù)等內(nèi)容重新移回初中，這豈不進(jìn)一步加重了中學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)！

當(dāng)然，面對上述質(zhì)疑，我們或許可以提出這樣一個(gè)辯護(hù)：這些內(nèi)容原本就屬于中學(xué)，現(xiàn)從中學(xué)“下放”到了小學(xué)，只是作為新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)具體措施。但在筆者看來，這也就更清楚地表明了對相關(guān)做法的合理性作出深入分析的重要性。因?yàn)椋覀冊谶@方面已經(jīng)歷了多次反復(fù)：只要一講改革，就會將負(fù)數(shù)、方程等內(nèi)容下放到小學(xué)，并聲稱這是“數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的必然要求”；然而，隨著時(shí)間的推移，特別是課程改革的起伏，又往往出現(xiàn)相反的變化……當(dāng)然，將負(fù)數(shù)、方程等內(nèi)容移回初中不應(yīng)被看成純粹的“倒退”。但是，除去簡單地作出決定以外，我們顯然還應(yīng)清楚地說明作出這一決定的原因，特別是說明，所說的“下放”與“回歸”究竟各有什么優(yōu)點(diǎn)與不足，什么又是我們在當(dāng)前作出再次“回歸”這一決定的主要原因。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，這不僅直接關(guān)系到廣大一線教師在課程改革中的主體地位，即能否擺脫“無奈地接受”這樣一種完全被動的狀態(tài)，而且與我們能否徹底改變這樣一個(gè)長期存在的弊病密切相關(guān)，即我們?nèi)绾文軌蛴行У胤乐古c糾正課程改革中常見的“鐘擺現(xiàn)象”，這樣來回?fù)u擺而不知所以，會讓我們不斷重復(fù)過去的錯誤，卻看不到真正的進(jìn)步！

在此還可對課程內(nèi)容的組織方式作簡要分析，弄清我們究竟應(yīng)對代數(shù)（算術(shù)）和幾何的相關(guān)內(nèi)容采取混合編排，還是單獨(dú)編排的方式。當(dāng)然，更廣義地說，這還涉及“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”的相關(guān)內(nèi)容。

具體地說，盡管《2022版課標(biāo)》在這方面沒有作出很大變動，而是沿用了新一輪課程改革以來一直采用的混合編排的方式，但由于事實(shí)上存在兩種不同的編排方式，即所謂的“合”或“分”，因此，為了切實(shí)提高自身在這一方面的自覺性，我們顯然也應(yīng)深入地去思考現(xiàn)在所采取的方式究竟有什么優(yōu)點(diǎn)，又有什么局限性或不足之處。

由此我們還可清楚地認(rèn)識到：課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施不應(yīng)唯一地采取“由上至下”的運(yùn)作模式，特別是，不應(yīng)要求一線教師無條件地接受，乃至不培訓(xùn)、不實(shí)施，恰恰相反，我們應(yīng)當(dāng)更加尊重教師在課程改革中的主體地位，從而在培訓(xùn)中對課程標(biāo)準(zhǔn)修訂作出介紹的同時(shí)，就不僅應(yīng)當(dāng)清楚地說明相關(guān)做法的依據(jù)，也應(yīng)坦率地指明存在的問題與可能的局限性，還應(yīng)通過提出適當(dāng)?shù)膯栴}促使廣大教師密切聯(lián)系自己的教學(xué)實(shí)踐，積極地開展研究，這樣不僅能對課程標(biāo)準(zhǔn)的進(jìn)一步修訂及相關(guān)理論思想的檢驗(yàn)發(fā)揮積極的作用，也能更有效地促進(jìn)教師的專業(yè)成長。

上面的主張顯然在很多方面也是同樣適用的。例如，除“強(qiáng)調(diào)發(fā)揮情境設(shè)計(jì)與問題提出對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進(jìn)作用，使學(xué)生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)”外，我們也應(yīng)認(rèn)真思考“情境設(shè)計(jì)”是否也有一定的局限性，在教學(xué)中應(yīng)如何防止與克服，或者說，應(yīng)當(dāng)如何更好地處理“情境設(shè)計(jì)”與“去情境”之間的關(guān)系？再則，我們在當(dāng)前應(yīng)當(dāng)特別重視這樣一個(gè)問題，即如何處理“做數(shù)學(xué)”與“學(xué)數(shù)學(xué)（特別是，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展）”之間的關(guān)系？后者在不同的階段可以說具有不同的內(nèi)容或重點(diǎn)：就小學(xué)而言，這主要是指我們應(yīng)當(dāng)如何處理好“動手”與“動腦”之間的關(guān)系；就中學(xué)而言，則主要涉及對“題海戰(zhàn)術(shù)”的深入批判，以及認(rèn)識片面強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)應(yīng)用”的局限性。由于對整體性教學(xué)與結(jié)構(gòu)化教學(xué)的突出強(qiáng)調(diào)正是《2022版課標(biāo)》的又一重要特征，所以，我們對這樣一個(gè)問題應(yīng)予以特別的重視：強(qiáng)調(diào)整體性教學(xué)是意味著我們必須引入一種新的教學(xué)模式或教材編寫模式，還是應(yīng)當(dāng)更加重視整體性觀念的指導(dǎo)與滲透？整體性觀念的主要涵義是什么？我們在教學(xué)實(shí)踐中如何才能很好地對其進(jìn)行指導(dǎo)與滲透？

上面所提到的問題，有不少可以說存在已久，但始終沒有得到很好的解決，從而也就更清楚地表明了深入開展研究的重要性。在筆者看來，這就是“課程改革進(jìn)入了深水區(qū)”的一個(gè)重要標(biāo)志，特別是，我們當(dāng)前面臨的一些大問題涉及的主要不是具體的方法或技能，而是更深層次的認(rèn)識或觀念，從而對此往往也就很難作出絕對的“對”或“錯”的判斷；進(jìn)而，人們更可能因此而產(chǎn)生這樣的錯誤認(rèn)識：這些問題過于“高大上”，與日常教學(xué)工作沒有什么直接聯(lián)系，無論抓與不抓都不會有什么差別。恰恰相反，正因?yàn)檫@些問題所涉及的都是深層次觀念，因此，如果缺乏自覺性的話，我們就很可能在不知不覺中陷入認(rèn)識的誤區(qū)，也就會對實(shí)際工作產(chǎn)生潛在而又十分消極的影響。相信讀者由以下兩節(jié)的討論可對此有更清楚的認(rèn)識，因?yàn)?，它們所涉及的都是深層次的觀念或認(rèn)識，也就是所謂的“再認(rèn)識”對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)究竟有怎樣的重要性？什么又可被看成數(shù)學(xué)中引入字母的主要作用，如何更好地認(rèn)識并正確把握其中的大觀念？

二、數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中的“再認(rèn)識”

俞正強(qiáng)老師在《如何把握小學(xué)數(shù)學(xué)中的“再認(rèn)識”》一文中提出的一個(gè)主要論點(diǎn)是：“小學(xué)數(shù)學(xué)中的‘再認(rèn)識只有小數(shù)、分?jǐn)?shù)和平均數(shù)這樣三個(gè)情況?！边@一說法有一定道理，因?yàn)?，如果對教材?biāo)題進(jìn)行檢索的話，直接以“……的再認(rèn)識”為標(biāo)題的內(nèi)容就只有這樣三處。但在筆者看來，這恰又十分清楚地表明了深入認(rèn)識“再認(rèn)識”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中重要地位的重要性。

具體地說，現(xiàn)今數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中對于“再認(rèn)識”的強(qiáng)調(diào)集中體現(xiàn)了這樣的認(rèn)識：數(shù)學(xué)的認(rèn)識在大多數(shù)情況下都不是一次就可得到并完成的，而是有一個(gè)逐步發(fā)展的過程，后者又不應(yīng)被歸結(jié)為知識、技能或活動經(jīng)驗(yàn)的簡單積累，而主要是一個(gè)不斷深化和優(yōu)化的過程，特別是，相對于由少到多、由簡單到復(fù)雜而言，我們應(yīng)更加重視化多為少、化復(fù)雜為簡單，后者主要就是“再認(rèn)識”的結(jié)果，包括比較與分析、總結(jié)與反思、優(yōu)化與綜合等。

顯然，依據(jù)以上認(rèn)識我們也就可以立即看出上述引言和如下論述的局限性：“為什么小學(xué)數(shù)學(xué)的‘再認(rèn)識只有小數(shù)、分?jǐn)?shù)和平均數(shù)？因?yàn)橛械母拍钜淮伪阏J(rèn)識到位了，而小數(shù)、分?jǐn)?shù)、平均數(shù)的內(nèi)涵比較豐富，對其的認(rèn)識一節(jié)課無法完成?！笔聦?shí)上，即使人們在很多方面的最初認(rèn)識并沒有明顯的錯誤，大多數(shù)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識仍有一個(gè)不斷發(fā)展和深化的過程，也即完全離不開所謂的“再認(rèn)識”。

例如，學(xué)生對于數(shù)的認(rèn)識，顯然就有一個(gè)不斷發(fā)展與深化的過程，而這又不只是指其外延的不斷擴(kuò)展（引入了更多的“新數(shù)”），還包括我們對于數(shù)及其運(yùn)算的內(nèi)涵或特征、性質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識。例如，隨著學(xué)習(xí)的深入，我們顯然就應(yīng)將學(xué)生的注意力由對各個(gè)具體數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識引向?qū)Ω顚哟我?guī)律（如加法的交換律等）的認(rèn)識，由局部性認(rèn)識過渡到整體性乃至結(jié)構(gòu)性認(rèn)識（如數(shù)系的開放性與一致性），特別是集中于層次的分析與區(qū)分（例如，相對于加法而言，乘法在運(yùn)算上就應(yīng)被看成具有更高的層次。另外，也要看到加法與減法、乘法與除法之間的互逆關(guān)系等）。

在此我們還應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)拓寬視野的重要性，因?yàn)椋@會促使人們從新的、不同的角度或通過對照、比較等方法，更深入地進(jìn)行分析和思考，從而也就十分有益于人們認(rèn)識的深化，特別是，由局部性認(rèn)識過渡到整體性認(rèn)識。

總之，我們應(yīng)當(dāng)明確肯定“再認(rèn)識”對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊重要性，并將這一思想很好地貫穿于全部的教學(xué)活動，而不應(yīng)只是在某些特定的場合才想到這樣一點(diǎn)；我們還應(yīng)努力提升學(xué)生對于“再認(rèn)識”的自覺性，將此看成學(xué)會學(xué)習(xí)的一個(gè)十分重要的涵義。

當(dāng)然，作為這方面的具體工作，我們應(yīng)十分重視針對教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生實(shí)際情況和教學(xué)情境的分析研究，并注意防止與糾正各種簡單化的認(rèn)識。下文就聯(lián)系以下論點(diǎn)對此作出具體的分析：小數(shù)、分?jǐn)?shù)與平均數(shù)的再認(rèn)識“代表了人類認(rèn)識世界的三種基本樣式：由表及里，有了認(rèn)識的深刻性；由一及二，有了認(rèn)識的完整性；由正到反，有了認(rèn)識的全面性。”

筆者以為，“小數(shù)的再認(rèn)識”的一個(gè)更重要的意義，是我們應(yīng)超越“小數(shù)代表了一種新的數(shù)”這一初步的認(rèn)識，從更寬廣的視角去分析思考，特別是，應(yīng)幫助學(xué)生很好地認(rèn)識數(shù)系的發(fā)展性與整體性。具體地說，正與自然數(shù)計(jì)數(shù)單位十、百、千、萬等的引入類似，小數(shù)計(jì)數(shù)單位十分之一、百分之一、千分之一或0.1、0.01、0.001等的引入，顯然也可被看成直接反映了實(shí)際度量工作的需要（精確的定量描述），兩者的唯一區(qū)別則是我們在此已將關(guān)注點(diǎn)由“很大很大的量”轉(zhuǎn)移到了“很小很小的量”。再者，通過小數(shù)的引入我們可以幫助學(xué)生很好地認(rèn)識數(shù)系的開放性及這樣一個(gè)重要的事實(shí)：正是實(shí)際的需要在這方面發(fā)揮了主要的作用。

進(jìn)而，我們顯然也可從同一角度去理解以下的事實(shí)，即在小數(shù)以后為什么又要引入分?jǐn)?shù)，乃至更多的“新數(shù)”？值得指出的是，這可被看成通過拓寬視野促進(jìn)認(rèn)識發(fā)展與深化的一個(gè)很好的實(shí)例。例如，無論就小數(shù)或分?jǐn)?shù)的引入而言，我們都應(yīng)當(dāng)認(rèn)真地去思考：新引入的數(shù)與已有的數(shù)之間存在什么樣的關(guān)系？

但是，所說的由一至多（二）的變化又非分?jǐn)?shù)的認(rèn)識所特有，而是有更大的普遍性。例如，即使就最簡單的自然數(shù)而言，人們的認(rèn)識也經(jīng)歷了同樣的發(fā)展過程，盡管教材中對此沒有特別強(qiáng)調(diào)。具體地說，倍數(shù)的概念顯然就代表了自然數(shù)的另外一種涵義，即兩個(gè)獨(dú)立量之間的一種關(guān)系。

也正因此，分?jǐn)?shù)的教學(xué)就應(yīng)很好地落實(shí)這樣一個(gè)目標(biāo)，即我們不僅應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)涵義的多重性，還應(yīng)將此看成發(fā)展學(xué)生關(guān)于數(shù)的認(rèn)識的又一重要契機(jī)，特別是，更深刻地認(rèn)識各種不同的數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系與統(tǒng)一性，如分?jǐn)?shù)與自然數(shù)、小數(shù)之間的聯(lián)系，自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的多重涵義，等等。

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，上述分析也為這方面的進(jìn)一步工作指明了努力的方向：由于自然數(shù)和分?jǐn)?shù)都涉及了兩個(gè)量之間的關(guān)系，只是所采取的視角有所不同，即我們究竟是用兩者中較小的那個(gè)數(shù)、還是較大的數(shù)作為度量（比較）的單位（當(dāng)然，通過引入分?jǐn)?shù)我們可對此作出推廣，即不再局限于兩者之間存在直接的倍數(shù)關(guān)系這一特殊情況），因此，一個(gè)十分合理的發(fā)展是，除去這兩個(gè)量以外，我們還可引入第三個(gè)量作為比較的基礎(chǔ)，這事實(shí)上也就是度量單位（計(jì)數(shù)單位）的主要作用。當(dāng)然，我們在此又應(yīng)更加重視這樣一個(gè)可能的發(fā)展，即在很多情況下我們還可引入另一更加合適的數(shù)作為比較單位——顯然，按照這一分析，比的引入也就十分自然了。

容易想到，這也就是比的概念為何會被廣泛應(yīng)用的主要原因，特別是，正如很多有經(jīng)驗(yàn)的教師都已注意到的，應(yīng)用比的概念我們可以較容易地解決很多較復(fù)雜的算術(shù)應(yīng)用題。當(dāng)然，就我們目前的論題而言，這更清楚地表明了：“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”只是相關(guān)認(rèn)識不斷發(fā)展與深化過程中的一個(gè)階段或環(huán)節(jié)。

最后，依據(jù)上述分析我們顯然也可引出這樣一個(gè)結(jié)論：就分?jǐn)?shù)認(rèn)識的發(fā)展而言，我們不僅應(yīng)當(dāng)十分重視由一到多（二）的變化，也應(yīng)高度重視由多到一的變化。當(dāng)然，相對于先前的單一性認(rèn)識而言，后者又應(yīng)被看成一種“重構(gòu)”的工作，即意味著我們已達(dá)到了更大的認(rèn)識深度：由多到一中的“一”應(yīng)被看成“一種包含有豐富的多樣性的‘一、一種整合意義上的‘一，一種具有極大可變性與靈活性的‘一、一種處于不停的流動或變化中的‘一?！?/p>

也正因此，就數(shù)的認(rèn)識而言，我們不應(yīng)過分強(qiáng)調(diào)如何能將所有的數(shù)（自然數(shù)、小數(shù)等）統(tǒng)一成某一種數(shù)（分?jǐn)?shù)），乃至將其看成所有的數(shù)的共同本質(zhì)，而應(yīng)更加注重各種數(shù)內(nèi)在的聯(lián)系和統(tǒng)一性，包括如何能依據(jù)具體的情況和需要在各種不同的數(shù)或不同的解釋之間作出必要的轉(zhuǎn)換。

在筆者看來，這就是“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”最重要的一個(gè)涵義。

第三，對于“平均數(shù)的認(rèn)識”，俞正強(qiáng)老師的基本看法是：“從平均數(shù)的初步認(rèn)識到平均數(shù)的再認(rèn)識，是從長處到短處的認(rèn)識，是一個(gè)由正到反的過程”，通過這一過程我們可很好體會到學(xué)會全面看問題的重要性。筆者以為，我們應(yīng)將善于由正到反思考問題看成一種重要的思維品質(zhì)，并通過自己的教學(xué)努力提高學(xué)生在這一方面的自覺性，也即幫助他們逐步地養(yǎng)成從正反兩個(gè)方面看待問題的良好習(xí)慣。當(dāng)然，后一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)必然有一個(gè)較長的過程，正因?yàn)榇耍覀兙蛻?yīng)將這一思維習(xí)慣的培養(yǎng)很好地貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全部過程，而不應(yīng)期望僅僅通過某一特定內(nèi)容的教學(xué)就能實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)目標(biāo)。

綜上可見，我們就應(yīng)明確肯定“再認(rèn)識”對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)活動的特殊重要性，并將這一思想很好地貫穿于全部的數(shù)學(xué)教學(xué)活動。

三、數(shù)學(xué)中引入字母的意義——大觀念滲透的一個(gè)實(shí)例

上述實(shí)例給予我們的一個(gè)重要啟示是，大問題往往與大觀念密切相關(guān)，大觀念在很多時(shí)候可以為大問題的解決直接提供思路。也正因此，我們應(yīng)特別重視大觀念，不僅應(yīng)當(dāng)以此指導(dǎo)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，還應(yīng)很好地防止與糾正各種可能的錯誤或片面性認(rèn)識。

以“字母的引入”為例，讀者即可對此有更好的認(rèn)識。具體地說，“用字母表示數(shù)”正是俞正強(qiáng)老師的另一篇文章的直接主題，他對這一論題的重要性做了這樣的說明：“這是小學(xué)數(shù)學(xué)十分經(jīng)典的課，是代數(shù)學(xué)習(xí)的一節(jié)起初課。”按照俞正強(qiáng)老師的分析，這還可被看成“種子課”的一個(gè)實(shí)例，即“屬于知識脈絡(luò)中處于起點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)的課”。

俞正強(qiáng)老師指出，就這一內(nèi)容的教學(xué)而言，以下是一種常見的教學(xué)過程。

材料：__只青蛙__ 張嘴__只眼睛__條腿。

任務(wù)一：誰能用這個(gè)框架來說這個(gè)順口溜？

學(xué)生完成： 1 只青蛙 1 張嘴 2 只眼睛 4 條腿；2 只青蛙 2 張嘴 4 只眼睛 8 條腿；3 只青蛙 3 張嘴 6 只眼睛 12 條腿。

任務(wù)二：這樣說得完嗎？數(shù)那么多，誰能一次把全部的數(shù)都說完？

學(xué)生完成： a 只青蛙 a 張嘴 2a 只眼睛 4a 條腿。

達(dá)成認(rèn)識：a表示所有數(shù)。

結(jié)論：用字母表示更簡潔。

現(xiàn)在的問題是：上述教學(xué)設(shè)計(jì)是否也有一定的局限性，特別是，學(xué)生的理解是否可能存在一定的偏差？

在這一方面我們可清楚地看到經(jīng)驗(yàn)的重要性：有經(jīng)驗(yàn)的教師往往能夠針對學(xué)生可能出現(xiàn)的錯誤采取一定的預(yù)防措施，從而防止其發(fā)生。在俞正強(qiáng)老師看來，這清楚地表明了切實(shí)抓好這樣兩項(xiàng)基本措施的重要性：“用例題講清知識，用練習(xí)糾正錯誤”，特別是，借助適當(dāng)?shù)木毩?xí)我們即可發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解上的困難與錯誤，從而采取適當(dāng)措施予以補(bǔ)救。

就當(dāng)前的論題而言，以下是兩種常見的錯誤：

錯誤一： a 只青蛙 a 張嘴 a 只眼睛 a 條腿；

錯誤二： a 只青蛙 b 張嘴 c 只眼睛 d 條腿。

當(dāng)然，除去直接糾錯以外，我們還應(yīng)認(rèn)真地去思考學(xué)生為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤。

俞正強(qiáng)老師指出，學(xué)生的上述解答涉及了字母用法的三個(gè)理解：

理解一：確定的數(shù)用數(shù)字表示，不確定的數(shù)用字母表示。

理解二：不同的對象用不同的字母來表示。

理解三：兩個(gè)對象有聯(lián)系時(shí)，其中一個(gè)對象用字母式表示。

在俞正強(qiáng)老師看來，出現(xiàn)上述錯誤的主要原因是，部分學(xué)生僅僅達(dá)到了“理解一”，而未能達(dá)到“理解二”和“理解三”。他認(rèn)為，這可被看成“皮毛學(xué)習(xí)”的一個(gè)實(shí)例，從而也就十分清楚地表明了深度學(xué)習(xí)的重要性，也即我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生達(dá)到“內(nèi)在的理解”。

但是，在上述三個(gè)理解之間是否存在一種層次的關(guān)系？再者，如果認(rèn)定“種子課”的作用主要是為后繼學(xué)習(xí)打好必要的基礎(chǔ)，那么，我們在此顯然要進(jìn)一步去思考：作為代數(shù)學(xué)習(xí)的“種子課”，應(yīng)幫助學(xué)生初步地建立起一種什么樣的觀念？特別是，應(yīng)如何把握算術(shù)學(xué)習(xí)與代數(shù)學(xué)習(xí)之間的主要區(qū)別，又應(yīng)如何幫助學(xué)生很好實(shí)現(xiàn)由前者向后者的重要轉(zhuǎn)變？

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，對于算術(shù)與代數(shù)之間的主要區(qū)別事實(shí)上也有兩種不同的看法：（1）集中于研究對象的擴(kuò)展，也即由數(shù)擴(kuò)展到了字母（式），并希望通過這一途徑我們可更有效地解決問題，也即更有效地求解各種算術(shù)應(yīng)用題；（2）突出觀念的轉(zhuǎn)變，也即由操作性觀念向結(jié)構(gòu)性觀念的轉(zhuǎn)變，這也就是指，我們在此已不再唯一關(guān)注如何能夠通過適當(dāng)計(jì)算求得相應(yīng)的未知數(shù)，而應(yīng)更加重視各個(gè)數(shù)量（包括已知數(shù)與未知數(shù)，以及用字母表示的數(shù)）之間關(guān)系的分析。

顯然，按照后一種理解，引入字母最重要的一個(gè)作用，是代表了由特殊上升到一般，如由2+3=3+2、1+4=4+1等過渡到了a+b=b+a；代數(shù)學(xué)習(xí)的又一重要特征是，與數(shù)一樣，我們也應(yīng)將由字母與數(shù)組成的“式”看成數(shù)學(xué)研究的直接對象，并應(yīng)按照一定的法則具體去從事式的運(yùn)算或變形。

從歷史的角度看，這就是人們?yōu)槭裁磳⒎▏鴶?shù)學(xué)家韋達(dá)看成代數(shù)學(xué)創(chuàng)建者的主要原因：正是韋達(dá)最早明確地提出了這樣一個(gè)思想——我們可以用字母表示已知量和未知量，并對此進(jìn)行純形式的操作（他稱為“逼真算法”），這也就是指，我們可以擺脫問題的具體內(nèi)容，并從純形式的角度總結(jié)出相應(yīng)的算法。也正是在同樣的意義上，人們提出，應(yīng)對縮寫意義上的符號與操作意義上的符號作出清楚的區(qū)分，并應(yīng)將后者看成數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)。

由此可見，就我們當(dāng)前的論題而言，即使學(xué)生已經(jīng)很好地建立起了上述三個(gè)認(rèn)識（“理解一”至“理解三”），但如果其認(rèn)識始終停留于“字母代表了一個(gè)不確定性的數(shù)”這樣一個(gè)層面，就仍然不能被看成已在由算術(shù)向代數(shù)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變上跨出了實(shí)質(zhì)性的一步。因此，我們在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)切實(shí)避免陷入這樣一個(gè)認(rèn)識誤區(qū)，即只是因?yàn)槲覀兯鎸Φ氖遣淮_定的數(shù)（如裝在信封中的粉筆的數(shù)量，因?yàn)榭床坏?，因此無法確定），所以就只能引入字母來表示，把字母的引入看成純粹的無奈之舉。恰恰相反，我們從一開始就應(yīng)幫助學(xué)生很好地樹立起這樣一個(gè)觀念：字母在數(shù)學(xué)中的引入主要是為了方便更高層次的抽象，即由特殊向一般的過渡。代數(shù)與算術(shù)的又一主要區(qū)別是，除去各種具體的數(shù)，我們在代數(shù)中也應(yīng)將字母和式看成真正的數(shù)學(xué)對象，并按照一定的法則對其進(jìn)行具體的操作或變形，而不應(yīng)將其始終看成是一個(gè)臨時(shí)的“替代者”，也即不應(yīng)集中于如何能夠通過適當(dāng)計(jì)算求得它們的值，或如何將不確定的數(shù)轉(zhuǎn)化為確定的數(shù)。

特殊地，依據(jù)上述分析我們顯然也就可以清楚地看出以下教學(xué)設(shè)計(jì)的不足之處，即十分容易導(dǎo)致“只有不確定的數(shù)才用字母表示”這樣一個(gè)錯誤的理解：

材料：兩個(gè)信封，一盒粉筆。

問題一：（將信封給學(xué)生看）信封里什么也沒有，可以用哪個(gè)數(shù)字表示？答：0。

問題二：（往信封里放進(jìn)1支粉筆）現(xiàn)在信封里的粉筆數(shù)可以用數(shù)字幾表示？答：1。

問題三：（倒空信封，往里面放3支粉筆）現(xiàn)在信封里的粉筆數(shù)可以用數(shù)字幾表示？答：3。

問題四：（躲在桌子下面，往信封里放粉筆）現(xiàn)在信封里的粉筆數(shù)可以用數(shù)字幾表示？答：5、6、7、8……

問題五：為什么現(xiàn)在有這么多種可能？前后發(fā)生什么事了？答：看見與沒看見

問題六：為什么沒有同學(xué)說0呢？除了確定不是0，還能確定什么？

結(jié)論：在這種情況下，我們就說信封內(nèi)的數(shù)有a支。

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，這里所說的代數(shù)思維可被看成一個(gè)典型的大觀念。進(jìn)而，無論就“種子課”或一般的數(shù)學(xué)課而言，我們又都應(yīng)當(dāng)以相應(yīng)的大觀念作為重要的指導(dǎo)思想，幫助學(xué)生逐步樹立起相應(yīng)的觀念，盡管這必然有一個(gè)較長的過程，包括必要的強(qiáng)化、一定的反復(fù)與再認(rèn)識。

進(jìn)而，也只有在所說的意義上，我們才能真正地談及所謂的深度教學(xué)，并清楚地認(rèn)識以下說法的錯誤性：“種子的特質(zhì)在于學(xué)生的理解完全來自學(xué)生的生活體驗(yàn)。”當(dāng)然，由此我們還可引出這樣一個(gè)更重要的結(jié)論：如果我們的教師未能做好深度教學(xué)，我們的學(xué)生顯然也就不可能做好深度學(xué)習(xí)。再者，如果教師的認(rèn)識有較大的局限性，就必然會對學(xué)生的學(xué)習(xí)造成一定的消極影響，特別是，如果相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)確可被看成“種子課”的話。

例如，只需稍作了解，我們就可發(fā)現(xiàn)乘法公式是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，主要原因之一就是學(xué)生未能很好地弄清數(shù)學(xué)中引入字母的意義。例如，有不少學(xué)生就很難理解我們?yōu)槭裁纯梢詫街械淖帜?，如a2+2ab+b2=（a+b）2中的a和b，賦予不同的數(shù)值（甚至將每個(gè)b換成2b等），而這又是學(xué)生能否掌握配方法的關(guān)鍵。

更一般地說，這也正是我們?yōu)槭裁磻?yīng)當(dāng)積極倡導(dǎo)“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”的主要原因，而不只是滿足于對學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的各種錯誤的事先預(yù)防與事后補(bǔ)救，同時(shí)，我們可以更好地理解為什么應(yīng)積極地去提倡深度教學(xué)。因?yàn)?，只有這樣，我們的教學(xué)才可能取得真正的進(jìn)步！

再者，如前面已提及的，無論是這里所說的“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”，還是“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的再認(rèn)識”，都是我們?nèi)绾文軌蛘嬲龊脭?shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)或方面。當(dāng)然，對于后者的具體涵義我們又應(yīng)作出更加全面、更加深入的研究，后者也可被看成充分發(fā)揮問題引領(lǐng)作用的又一途徑，特別是，為了促進(jìn)課程改革的深入發(fā)展，我們決不應(yīng)滿足于已有工作的簡單梳理與概念組合，而應(yīng)很好地弄清什么是數(shù)學(xué)教育的基本問題，我們在這方面的認(rèn)識這些年來究竟又有哪些進(jìn)步，還有什么不足。建議廣大一線教師也能對此作出自己的總結(jié)和反思，從而就可通過自覺的努力取得更大的進(jìn)步！

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（鄭毓信，教授，博士生導(dǎo)師，南京大學(xué)哲學(xué)系，郵編：210008）