李亞軍

摘要：求解圖形的面積問題是初中數(shù)學(xué)平面幾何問題中的?？碱}型，解有關(guān)不規(guī)則幾何圖形的面積問題時，通常會利用割、補(bǔ)、拼、湊等手段將其轉(zhuǎn)變?yōu)榭捎嬎愕某Ｒ娨?guī)則圖形.割、補(bǔ)的手段是幾何學(xué)中的重要方法，在面積和體積問題中出現(xiàn)的次數(shù)尤為多.本研究就“割、補(bǔ)”策略在解答平面圖形的面積方面的運(yùn)用作了深入仔細(xì)的分析探討，通常結(jié)合軸對稱、中心對稱、函數(shù)圖象、旋轉(zhuǎn)等知識解答問題.

關(guān)鍵詞：解題策略;圖形面積

1 策略一：割

所謂“割”，即是對原圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形分為若干個常見的規(guī)則圖形（如正方形、直角三角形等），并利用各個圖形的面積和進(jìn)行求解.使用“割”策略求解的關(guān)鍵在于合理將原圖形進(jìn)行分割，使得分割后的每個圖形的面積都易于求解.除此之外，還需要對各個基本圖形的面積計算公式了然于心，即可保證正確求解.

例1 已知⊙O是△ABC內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB邊上的切點(diǎn)，如果BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓O的半徑為r，求△ABC的面積.

分析：本題不知道三角形的高，所以無法直接運(yùn)用三角形的面積公式求解，而找出三角形的高具有一定難度，且耗費(fèi)時間較多.若采用“割”的手段，以圓心O作為三角形頂點(diǎn)，以⊙O的半徑作為三角形的高，分別求出△AOB，△AOC，△BOC的面積即可順利求解.

解：如圖1，連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，把△ABC分割為△AOB，△AOC，△BOC三個部分.

∵D，E，F(xiàn)是切點(diǎn)，

∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.

∴OD=OE=OF=r.

∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=12AB＼5r+12BC＼5r+12AC＼5r=12AB+BC+CA＼5r=12a+b+cr.

注意：可以借上述結(jié)論求任意一個三角形的內(nèi)切圓的半徑.當(dāng)已知一個三角形的面積為S以及它的三邊長a，b，c時，則r=2Sa+b+c成立.

練習(xí)1 如圖2所示，是由一個大圓和四個相同的小圓組成的圖案，若大圓的半徑等于2，則陰影部分的面積為.

分析：本題陰影部分面積的求解，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓的對稱性與正方形的性質(zhì)，以及對扇形面積與弓形面積的理解.正多邊形與圓是解題的關(guān)鍵.

解：如圖3所示，由圓的對稱性與割補(bǔ)法可得，陰影部分的面積為大圓的面積減去正方形的面積.

∵大圓的半徑等于2，∠ACB=90°，AC=BC，

∴AB=4，AC2+BC2=16.

∴AC2=8.

∴陰影部分的面積S=π×22-AC2=4π-8.

2 策略二：補(bǔ)

所謂“補(bǔ)”，是指通過對原圖形添加輔助線的方式將原圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形，使問題簡單化，進(jìn)而利于求解的策略.一般來說，需要“補(bǔ)”的圖形都不規(guī)則，不易計算，因此需要將其“補(bǔ)”成一個規(guī)則圖形幫助求解.“補(bǔ)”的關(guān)鍵在于根據(jù)原圖形的特點(diǎn)將其添補(bǔ)成一個常見的且易于求解的圖形，最后利用相關(guān)圖形的面積公式相加或者相減即可得解.如例題2.

例2 如圖4所示，將一個邊長等于 3的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形A′B′C′D′，則圖中的陰影部分面積為平方單位.

分析：本題要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求解，旋轉(zhuǎn)變換前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.將原正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后得到的陰影部分的圖形極其不規(guī)則，不易直接計算其面積，“割”的手段也不甚好用，但添加輔助線可將其轉(zhuǎn)變?yōu)榈妊苯翘菪危靡阎獥l件和公式可輕松得出陰影部分的面積.

解：如圖5，設(shè)DC與B′C′交于點(diǎn)E，連接AE.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAB′=30°.

∵AD=AB′，AE=AE，∠D=∠B′=90°，

∴△AB′E≌△ADE.

∵∠B′AD=∠DAB-30°=60°，

∴∠B′AE=∠DAE=30°.

∴DE=tan 30°＼5AD= 33× 3=1.

∴S四邊形A′B′ED=2×12× 3×1= 3.

綜上所述，陰影部分的面積為3- 3.

練習(xí)2 如圖6所示，邊長等于1的兩個正方形互相重合，若摁住其中一個不動，使另一個繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個正方形重疊部分的面積為.

分析：本題考查正方形的性質(zhì)和圖形的旋轉(zhuǎn)變換，可將AD′延長作輔助線，由于原圖形旋轉(zhuǎn)了45°，因此AD′的延長線經(jīng)過點(diǎn)C，再用△ABC的面積減去△CD′E的面積即可.

解：如圖7所示，連接D′C，設(shè)BC與C′D′交于點(diǎn)E.

∵正方形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)了45°，

∴點(diǎn)D′位于正方形ABCD的對角線AC上.

∴∠D′CE=45°.

∵∠AD′E=90°，

∴∠ED′C=180°-∠AD′E=180°-90°=90°.

∴△CD′E是等腰直角三角形，即CD′=D′E.

在Rt△ABC中，由勾股定理，可得

AC= AB2+BC2= 1+1= 2.

∴CD′=AC-AD′= 2-1.

∴兩個正方形重疊部分的面積S=S△ABC-S△CD′E=12×1×1-12 2-12= 2-1.

3 策略三：割補(bǔ)并舉

當(dāng)單獨(dú)使用“割”或者“補(bǔ)”都不能順利求解時，就可以利用割補(bǔ)并舉的方式求解，這種策略在等積變形中最常見.割補(bǔ)并舉是指將原圖形上的某一部分切割下來放到其他合適的位置上，使其成為一個較為規(guī)則的圖形，進(jìn)而簡化求解.運(yùn)用此策略根據(jù)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行靈活割補(bǔ)，結(jié)合題目已知條件計算求解即可.

例3 如圖8所示，圖中的三塊陰影部分由兩個半徑等于1的圓和其外公切線分割而得，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這兩個圓的公共弦長等于（? ）.

A. 52????? B. 62

C.12 25-π2

D.12 16-π2

分析：本題只利用“割”或者“補(bǔ)”較難求解，既需要“割”又需要“補(bǔ)”.根據(jù)已知條件可得圓的面積恰好等于矩形ABCD的面積，在此基礎(chǔ)上結(jié)合垂徑定理即可解得公共弦長.

解：由圖形割補(bǔ)可知，圓的面積等于矩形ABCD的面積.

所以π×12=2AB，

即AB=π2.

根據(jù)垂徑定理可知，公共弦EF=2× 12-π42=2× 16-π24=12 16-π2.

故選正確答案：D.

練習(xí)3 如圖9所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8 cm，把△ABC以點(diǎn)B為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長上點(diǎn)C′處，求AC邊掃過的圖形（圖中陰影部分）的面積為（結(jié)果保留π）.

分析：本題可將△A′BC′中陰影部分割補(bǔ)到△ABC中，將原陰影部分轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€規(guī)則的環(huán)形，再利用大扇形的面積減去小扇形的面積即可得到所求陰影面積.

解：由題意可知，點(diǎn)A走過的路徑為弧AA′，且其所對的圓心角為∠ABA′=180°-∠A′BC′=180°-60°=120°.

∴弧AA′的長為120×2π×8360=16π3.

在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=8.

∴BC=12AB=4，∠ABC=60°.

∴AC= AB2-BC2=4 3.

又∵△ABC旋轉(zhuǎn)到△A′BC′，

∴∠A′BC′=∠ABC=60°.

因此，陰影面積S=120360π×82-120360π×42=643π-163π=16π（cm2）.

在初中數(shù)學(xué)知識中，內(nèi)角和定理、勾股定理等常用割補(bǔ)法證明，解答與梯形有關(guān)的問題也可利用“割”“補(bǔ)”的策略進(jìn)行求解.總而言之，“割”“補(bǔ)”的方法在解題中十分常見，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力大有裨益，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想.

參考文獻(xiàn)：

[1]杭永根，陳德前.圖形面積問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（Z2）：104-108.

[2]章杰，葉昌.初中數(shù)學(xué)從“解構(gòu)”到“重構(gòu)”的問題鏈教學(xué)設(shè)計[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報，2022（2）：112-116.