李玲

1 引言

解答一道復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，以特殊情形為起點(diǎn)，往往能抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).現(xiàn)以2021年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)第24題解答探索及變式研究為例，探討如何就題變式、就題借力，追尋解題教學(xué)初心，有效發(fā)展學(xué)生思維能力，力求解題教學(xué)效能最優(yōu).

2 試題呈現(xiàn)

推理：

如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點(diǎn)G.

（1）求證：△BCE≌△CDG.

運(yùn)用：

（2）如圖2，在推理?xiàng)l件下，延長BF交AD于點(diǎn)H.若HDHF=45 ，CE=9，求線段DE的長.

拓展：

（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，H兩點(diǎn)，若 ABBC=k， HDHF=45，求DEEC 的值（用含k的代數(shù)式表示）.

3 解答研討

3.1 “兩等兩線”看折疊，洞察結(jié)構(gòu)得思路

思路分析：第（1）問，識別折疊具有軸對稱的本質(zhì)，洞察到“兩等兩線”結(jié)構(gòu)：折痕BE所在直線既是∠FBC的平分線、也是對應(yīng)點(diǎn)連線段CF的垂直平分線;還有全等三角形及等腰△BCF，△ECF這樣的基本圖形.執(zhí)果索因，容易得到△BCE≌△CDG.

3.2 給定比值求線段，聯(lián)想構(gòu)造妙轉(zhuǎn)化

第（2）問，在推理的基礎(chǔ)上添加了線段比及一條線段長兩個(gè)條件，緊扣“兩等兩線”如何去找關(guān)聯(lián)？結(jié)合條件及圖形分析，直接求解;或構(gòu)建方程模型整體求解;或搜索關(guān)聯(lián)相似三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化;或從直角入手建立坐標(biāo)系，借助點(diǎn)的坐標(biāo)去求線段長;或面積法入手建立方程等.

思路分析：如圖3，由△BCE≌△CDG，得CE=DG=9.由折疊知BC=BF，CE=FE=9，則∠1=∠2.由四邊形ABCD是正方形，得AD∥BC，則∠2=∠4.又∠1=∠3，所以∠3=∠4，則HF=HG.由HDHF=45 及DG=9，得HD=4.

思路一：由條件易求出EF，HF，HD的長度，從正方形內(nèi)折疊的圖形結(jié)構(gòu)聯(lián)想轉(zhuǎn)化，想到雙勾股法.

解法1：由思路分析求得HD=4，HF=HG=5.因?yàn)椤螪=∠HFE=90°，所以HF2+EF2=HD2+DE2，即52+92=42+DE2，得DE=3 10 或-3 10（舍）.故 DE=3 10.

思路二：由圖3中的對頂角和平行線，易得GH=FH=5，HD=4，再結(jié)合AB=BF=BC這個(gè)條件，在Rt△ABH中用勾股定理，先求出正方形的邊長，再利用線段和差關(guān)系間接求DE的長.

解法2：在求得DG=9，HD=4后，設(shè)AB=BC=BF=a，則HB=a+5，AH=a-4.在Rt△ABH中，AB2+AH2=HB2，得a2+（a-4）2=（a+5）2，解得a=9+3 10 或9-3 10（舍去）.則DE=DC-EC=3 10.

解法2是從條件出發(fā)，順?biāo)悸?lián)想，從前一問找思路.這樣的解答似乎還少了從設(shè)問間找關(guān)聯(lián)，從結(jié)論出發(fā)逆推的思路.第（2）問還可以看透圖形結(jié)構(gòu)，求DE的長，由（1）易得GD=CE=EF，加上正方形易捕捉到AG=DE，從而在轉(zhuǎn)化思想下，不妨直接設(shè)AG=DE=x，“由因?qū)Ч?、?zhí)果索因”，直取目標(biāo)，計(jì)算上會優(yōu)于解法2.

思路三：如圖4，分別延長BH，CD交于點(diǎn)I，構(gòu)造和DE有關(guān)的相似三角形，即△IDH∽△IFE，求出ID與IE的長.

解法3：由給定條件易得DG=9，HD=4，易得△IDH∽△IFE，則HDFE=IDIF=IHIE=49.設(shè)ID=4a，則IF=9a ，HI=9a-5. 在Rt△IHD中，由ID2+DH2=HI2，即（4a）2+42=（9a-5）2，得a=45+12 1065或45-12 1065（舍）.

所以 DE=IE-ID=94（9a-5）-4a=3 10.

構(gòu)造和DE有關(guān)的相似三角形有多種方法.結(jié)合圖4，如，反“A”型△IDH∽△IFE，“A”型△IDH∽△ICB，“X”型△IDH∽△BAH，都可以求出DE的長，但在求解的過程中又引進(jìn)了新的未知量，且計(jì)算的過程中同一個(gè)三角形三條邊都需要用到，并涉及勾股定理，總的來說相似法計(jì)算難度較大.

思路四：建系，利用一次函數(shù)求出D，E的坐標(biāo).

解法4：由給定條件易得DG=9，HD=4.如圖5，以B為原點(diǎn)，分別以直線BC，BA為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)D（t，t），則E（t，9）C（t，0），H（t-4，t），

G（t-9，t），kBH=tt-4，lBH：y=tt-4x，kGC=-t9， lCG：y=-t9x+t29.

聯(lián)立直線CG和BH方程，得Ft（t-4）t+5，t2t+5……

利用兩點(diǎn)間的距離公式及FH=5找等量關(guān)系，理論上可求出t的值，但因?yàn)橛?jì)算量大，在此處不追求解法的數(shù)量，僅供了解.

思路五：當(dāng)圖形中出現(xiàn)多處垂直，可以由垂直聯(lián)想到高，進(jìn)而聯(lián)想到面積，用不同方法求同一個(gè)圖形的面積就可以得到等量關(guān)系，常稱作面積法.相較于前面4種解法，等量關(guān)系表面復(fù)雜，但計(jì)算并不復(fù)雜，計(jì)算難度較低，能順利得到結(jié)果.

解法5：由給定條件易得DG=9，HD=4.如圖3，設(shè)DE=x，由S梯HDCB=S△HDE+S△HEB+S△EBC ，得

12（HD+BC）·DC=12HD·DE + 12EF·HB+12EC·BC，

即12（4+9+x）（9+x）=12＼54x+12（5+9+x）＼59+12（9+x）＼59.

解得 x=3 10 或-3 ?10（舍）.所以DE=3 10.

以上5種解法，學(xué)生最容易想到的思路是雙勾股法、勾股、相似、建系，計(jì)算上最為簡便的是解法1的雙勾股法和解法5的面積法.筆者尤其要提到面積法難想易算這一點(diǎn)，啟示我們無論做什么題，潛意識里不要見題就算，要先宏觀選擇方向，再微觀確定方法.

3.3 形變質(zhì)不變，類比遷移可得法

第（3）問，當(dāng)“正方形”的條件換為“矩形”，比值的條件不變時(shí)，聯(lián)系第（2）問的運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)問題表面上雖有變化，但在求解第（3）問時(shí)仍可沿用第（2）問的方法及思路.反過來，當(dāng)把第（3）問的結(jié)果求出時(shí)，令k=1，利用第（2）問的結(jié)果來驗(yàn)證計(jì)算過程是否正確.沿用（2）的解題思路及方法，字母代替數(shù)，比值代替相等，體現(xiàn)了變化中的不變性.因此，從特殊到一般，可以幫助我們厘清思路，找到解題方法及問題的本質(zhì).

解法1：連接HE.由題意 HDHF=45，可設(shè)DH=4m，HF=HG=5m.

點(diǎn)H在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，如圖6，由HF=HG，DG=HD+GD=9m，由折疊可知BE⊥CF，∠ECF+∠BEC=90°.由∠D=90°，得∠ECF+∠CGD=90°.則∠BEC=∠CGD.又∠BCE=∠D=90°，則△CDG∽△BCE，得 DGCE=CDBC .又由CDBC=ABBC=k，得9mCE=k1 ，即CE=9mk=EF.由∠D=∠HFE=90°，得HF2+EF2=DH2+DE2，即（5m）2+9mk2=（4m）2+DE2，求得DE=3m k2+9k.

因此DEEC=3m k2+9k·k9m= k2+93.

當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，如圖7，由HF=HG，得DG=HG-HD=m.同理CDBC=ABBC=k，所以mCE=k1 ，則CE=mk=EF.由∠D=∠HFE=90°，得HF2+EF2=DH2+DE2，即（5m）2+（mk）2=（4m）2+DE2，可得DE=m 9k2+1k.

因此DEEC = m 9k2+1k·km = 9k2+1.

解法2：如圖6，由△BCE∽△CDG，得CEDG=BCDC=1k.設(shè) EC=x，則 DG=kx.由HDHF=45 ，DG= kx ，得HD=4kx9，HF=GH=5kx9.設(shè)AB=a，則BC=BF=ak，得HB=ak+5kx9 ，AH=ak-4kx9.

在Rt△ABH中，AB2+AH2=HB2，則a2+ak-4kx92=ak+5kx92……

因?yàn)檫\(yùn)算量大，勾股法在第（3）問中不適用，所以不做詳細(xì)解答.同樣，對于沿用第（2）問中的相似法、建系法，實(shí)際計(jì)算過程繁雜，都不適用于第（3）問.

解法3：點(diǎn)H在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，如圖6，設(shè) EC=x，可得GD=kx， 則HD=4kx9，HF=GH=5kx9.設(shè)DE=a，則DC=AB=a+x，BC=BF=a+xk，HB=a+xk+5kx9.由圖可知 S梯HDCB=S△HDE+S△HEB+S△EBC，則有12（HD+BC）DC=12HD·DE + 12HB·EF + 12 BC·EC，即124kx9+a+xk·（a+x）=12·4kx9·a+12·a+xk+5kx9·x+12·a+xk·x，解得a=±x k2+93.又a>0，所以a=x k2+93.故 DEEC= k2+93.

點(diǎn)H在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，如圖8，連接CH，仍設(shè)EC=x，則 DG=kx.

同上述方法可得DG=kx，

HD=4kx，HF=GH=5kx.設(shè)DE=a，則DC=AB=a+x，BC=BF=a+xk，HB=a+xk +5kx.由S△BCH=S△HEC+S△HEB+S△EBC，得12BC·DC=12HD·CE +12 HB·EF + 12BC·EC，即 12·a+xk·（a+x）=12·4kx·x+12·a+xk+5kx·x+12·a+xk·x.計(jì)算可得a=±x 9k2+1， 由于a>0， 則 a=x 9k2+1.

故DEEC= 9k2+1.

面積法的算式看起來非常復(fù)雜，但是化簡計(jì)算過程非常簡單.

4 變式拓展

結(jié)合以上解答探索，發(fā)現(xiàn)此題以正方形到矩形的折疊問題為探究背景，融入初中數(shù)學(xué)核心知識，滲透特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等核心數(shù)學(xué)思想方法.若對試題相關(guān)的命題素材進(jìn)行變式，將會引導(dǎo)學(xué)生注重知識體驗(yàn)的過程，優(yōu)化學(xué)生思維方式，強(qiáng)化基本數(shù)學(xué)思想方法的感悟與內(nèi)化，從而充分發(fā)揮此題的教學(xué)價(jià)值.基于此，筆者從以下三點(diǎn)進(jìn)行了相關(guān)的變式思考.

4.1 第（1）問，還可以怎樣設(shè)問？

能設(shè)問GD=EC嗎？事實(shí)上，這種設(shè)問是可以的，而且比原題第（1）問證明△BCE≌△CDG的方法更多，例如三角函數(shù)法，也為第（2）問的解答提供更多線索和思路，這樣的變式是可行的.

4.2 第（2）問，條件HDHF=45能更改嗎？

若設(shè)定HDHF=54會如何？根據(jù)題意： BF交AD于點(diǎn)H，會找到第一個(gè)臨界的地方是D，H兩點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)DE>EC，即DE>EF，故一開始是HDHF.因?yàn)樵邳c(diǎn)E運(yùn)動的過程中，雙勾股模型始終存在，所以HD可以大于、小于或等于HF，因此這樣的改編是可以的.HDHF的值在命題時(shí)也可以是任意的.

4.3 第（3）問，k值是任意的嗎？

這一問的k值是任意的嗎？例如k很大或者很小，不妨對HDHF=54進(jìn)行探究.

當(dāng)0

如圖10，當(dāng)點(diǎn)E繼續(xù)往下運(yùn)動時(shí)，△BCE就會翻折到矩形ABCD內(nèi)，此時(shí)也存在HDHF=54這種情況;

0

1

如圖11，點(diǎn)E運(yùn)動到比較靠近點(diǎn)C時(shí)，△BCE雖還是翻折到矩形ABCD內(nèi)，但是BF與AD的交點(diǎn)在AD的延長線上，此時(shí)顯然DH

當(dāng)k≥1時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動到較靠近D點(diǎn)時(shí)，△BCE會翻折到矩形ABCD外，如圖12，此時(shí)存在HDHF= 54這種情況;

2

3

如圖13，點(diǎn)E在CD上繼續(xù)運(yùn)動時(shí)與0

4

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到比較靠近C點(diǎn)時(shí)，此時(shí)BF與AD的交點(diǎn)在AD的延長線上，如圖14，此時(shí)也和0

通過以上分析我們發(fā)現(xiàn)，命題專家在命制這道中考題時(shí)非常嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，HDHF=45這個(gè)數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)，滿足k值是任意的正實(shí)數(shù)，不需要對k進(jìn)行分類討論，不需要考慮△BCE翻折到矩形外的情況，在直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時(shí)，對考生極具人文關(guān)懷.因?yàn)?，如果把?shù)據(jù)更改為HDHF=54，就首先需要對k的值按0

結(jié)合以上研題分析，給出這道題的完整變式，以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維，更好地落實(shí)本題的解題教學(xué)價(jià)值.

變式 推理：

如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BE，CF，延長CF交AD于點(diǎn)G.

（1）求證：GD=EC.

運(yùn)用：

（2）如圖2，在推理?xiàng)l件下，延長BF交AD于點(diǎn)H.若HDHF=54 ，CE=9，求線段DE的長.

拓展：

（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，直線CF，BF交直線AD于G，H兩點(diǎn)，若 ABBC=k， HDHF=54，求DEEC 的值（用含k的代數(shù)式表示）.