沈奕

摘要：學習數(shù)學離不開解題，學數(shù)學要善于解題.解題教學是數(shù)學課堂不可缺少的部分.本文中對一道中考填空題追本溯源，分析問題本質(zhì)，從三個不同角度給出了八種不同解法，助力提升學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，以及提升數(shù)學思維品質(zhì)和數(shù)學素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：解題;多角度;探究

1 原題展示

（2021江蘇泰州15題）如圖1，在平面直角坐標系中，點A坐標為（8，5），⊙A與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B，若∠APB=30°，則點P的坐標為.

2 試題評價

2.1 簡而不凡，內(nèi)涵豐富

本題以圓、切線、30°角、點的坐標等常見素材為背景設置問題，圖形簡約而熟悉，題干精煉而別致，結(jié)構(gòu)簡單而富有美感，是一道內(nèi)涵豐富、設計巧妙、考查學生素養(yǎng)的填空題.

從背景條件來看，涉及知識點豐富，有點的坐標、切線的判定與性質(zhì)、特殊四邊形的判定與性質(zhì)、相似、勾股定理等核心知識.

從轉(zhuǎn)化策略來看，蘊含多個基本圖形的構(gòu)造，如：添平行線構(gòu)造“8字形”“A字形”證三角形相似，連接圓心與切點，將點的坐標轉(zhuǎn)化為垂線段的長度，見直角構(gòu)造“一線三垂直”. 將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題（方程），通過邏輯推理與數(shù)學計算進行解答.

2.2 突出能力與基本素養(yǎng)

求點的坐標的實質(zhì)是求出線段長，求線段長是初中幾何最為常見的一種題型，同時也是高中生必備的解題基本功之一.其解題思路是：（1）將待求線段放到全等圖形中，運用全等三角形的性質(zhì)求出線段長;（2）將待求線段放在特殊圖形（如平行四邊形、直角三角形）中，并運用這些圖形的特殊性質(zhì)進行推理或運用線段和差進行綜合分析求解;（3）將待求線段放在相似三角形中，運用題目條件或構(gòu)造“8字形”“A字形”或其他基本結(jié)構(gòu)，運用相似性質(zhì)推理;（4）其他的還有勾股定理，銳角三角函數(shù)，平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等幾何變換等.

本題求線段長的方法靈活多變，既考查學生的基本數(shù)學知識、數(shù)學思想、數(shù)學技能及數(shù)學基本經(jīng)驗，又考查學生對數(shù)學本質(zhì)的理解.同時本題需添加輔助線才能解決，對模型意識、邏輯推理、數(shù)學運算、圖形直觀、圖形分析等考查到位.

2.3 方法多樣，考查探究意識

數(shù)學教學的核心是如何培養(yǎng)學生的理性思考能力，盲目的堆砌式解題方法，不僅不會促進學生思維能力的發(fā)展、技能的形成，相反會使學生厭惡數(shù)學.如何激發(fā)學生的理性思維？一題多解無疑是一種有效的方法.對于本題，可以從內(nèi)部知識的關(guān)聯(lián)性，以“在哪里？那里有什么？要到哪里去”為思考問題的路徑，發(fā)散思維，多聯(lián)系、多角度深入思考，便可以得到不同的解法，從而有效發(fā)展學生的創(chuàng)新精神與探究意識，更重要的是讓學生的理性思維得以拓展，不受慣性思維模式的束縛，培養(yǎng)思維品質(zhì)和應變能力.

3 題意分析及解答

在解答之前應該意識到，點A的坐標（8，5）及30°角是我們要牢牢把握和突破的思維核心.一般來說見30°角想到含30°角的直角三角形，因此，只需連接圓心與切點就可以辦到.所以連接圓心與兩個切點（設圓與x軸相切的切點為點C），由切線的性質(zhì)得OC=8，BA=CA=5.但PB是斜線段，無法與坐標有效聯(lián)系起來.因此還要分析題目中的其他隱含信息，作出其他輔助線.

思路一：構(gòu)造特殊四邊形.

分析：點A坐標為（8，5），在圖2中已經(jīng)用水平線段或豎直的垂線段表示出來.在Rt△PAB中，∠APB=30°，BA=5，則PA=10.如果不作輔助線，解題思路受阻.因此，下一步的解題重點是如何作出輔助線，有效運用已知條件.

此時，我們可以將解題目標轉(zhuǎn)向題目所求：“求點P的坐標”，要求出點P的坐標，必須出現(xiàn)水平線段或豎直的垂線段.實現(xiàn)解題目標有下列三種方法：

（1）過點P和點A作水平線及垂線，構(gòu)造矩形，利用矩形性質(zhì)及勾股定理;

（2）過點A作y軸的垂線，構(gòu)造矩形，利用矩形性質(zhì)及勾股定理;

（3）過點C作PA的平行線，證明平行四邊形和直角三角形.

方法一：以P為直角頂點構(gòu)造長方形.

解：連接CA并延長，過點P作PH⊥CA，交CA的延長線于點H，如圖3所示，則

四邊形PHCO為長方形.

由切線的性質(zhì)得∠PBA=90°，而∠APB=30°，

所以在Rt△APB中，PA=2AB=10.

又矩形PHCO的邊CO=8，所以PH=8.

Rt△PAH中，由勾股定理得

HA=PA2-PH2=6.

因此PO=HC=HA+AC=6+5=11.

故點P的坐標為（0，11）.

方法二：以A為直角頂點構(gòu)造長方形.

解：連接CA，BA，過點A作AH⊥PO，垂足為H，如圖4所示.

由三個直角知四邊形HACO為長方形.

由點A坐標為（8，5），所以AH=8.

由切線的性質(zhì)得∠PBA=90°，而∠APB=30°，

所以在Rt△APB中，

PA=2AB=10.

則在Rt△APH中，PH=PA2-AH2=6.

所以PO=PH+HO=6+5=11.

故點P的坐標為（0，11）.

方法三：構(gòu)造平行四邊形.

解：連接CA，BA，過點C作PA的平行線CN，交PO于點N，如圖5所示.

由AP ∥CN，PN∥AC，得四邊形PNCA為平行四邊形.

所以PN=AC=5，NC=PA=10.

在Rt△CON中，NO=NC2-OC2=6.

所以PO=PN+NO=5+6=11.

故點P的坐標為（0，11）.

點評：在平面直角坐標系中求點的坐標，一般的解題策略是作坐標軸的平行線，出現(xiàn)水平線段或豎直的垂線段，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何推理.而特殊四邊形的內(nèi)涵豐富，性質(zhì)繁多，可以有效實現(xiàn)這一目標.

思路二：構(gòu)造“ 一線三垂直”相似.

分析：題目的原圖與課本的“切線長定理”有一定關(guān)聯(lián).原圖已經(jīng)有一條切線，可以過點P作圓的另一條切線，并利用平面直角坐標系的垂直結(jié)構(gòu)構(gòu)造“一線三垂直”基本圖形，證明直角三角形相似.

方法四：作切線，構(gòu)造“一線三垂直”相似.

解：連接CA，BA，過點P作⊙O的切線PE，切點為E，連接AE，過點E作OC的平行線交PO于點G，交AC于點F.如圖6所示.

由切線長定理知∠EPA=∠APB=30°，AE=5，AP=10，PE=53.

由∠PGE=∠PEA=∠AFE=90°知△PEG∽△EAF，則AFGE=AEPE=13.

設AF=a，則GE=3a，EF=GF-GE=8-3a.

在Rt△AEF中，由AF2+EF2=AE2，可得a2+（8-3a）2=52，解方程得a=43±32.

當a=43+32時，OP=PG+GO=3EF+CF=-1<0，不合題意;

同理，當a=43-32時，OP=11，符合題意.

故點P的坐標為（0，11）.

分析：由前面分析知∠PBA=90°，結(jié)合所求的目標是點的坐標，需出現(xiàn)直角或水平線，再類比“方法四”，可以以點B為直角頂點構(gòu)造“一線三垂直” 基本圖形，證明直角三角形相似.

方法五：作水平線，構(gòu)造“一線三垂直”相似.

解：連接CA，BA，過點B作BK垂直x軸于點K，過點P作PD⊥KB延長線于點D.過點A作AH⊥BK于點H. 如圖7所示.由30°的直角三角形得AB∶PB=1∶3.

由一線三垂直，得△PBD∽△BAH，

所以BHPD=ABPB=13.

設BH=a，則PD=3a.

所以AH=CK=OK-OC=PD-OC=3a-8.

在Rt△ABH中，由AH2+BH2=AB2，可得

（3a-8）2+a2=52.

解得a=43±32.

當a=43+32時，OP=11，符合題意;

當a=43-32時，OP=-1<0，舍去.

故點P的坐標為（0，11）.

點評：聯(lián)系課本中的基本定理，基本圖形，結(jié)合已知條件中的切線，再結(jié)合題目所求，需出現(xiàn)水平線與垂線段，三者發(fā)力，并加以聯(lián)系，將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為幾何基本模型，再運用幾何圖形的性質(zhì)，進一步轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.可以看出，不同知識的關(guān)聯(lián)性與相通性是將數(shù)學基本知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學基本技能是數(shù)學解題的關(guān)鍵，也是數(shù)學核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

思路三：構(gòu)造A字形相似.

分析：由切線及坐標軸知AC∥PO，延長PA與x軸交于點M，則出現(xiàn)“A字形”，再運用相似與一次函數(shù)的性質(zhì)或相似與勾股定理或相似與三角函數(shù)知識來解答.

方法六：A字形+一次函數(shù).

解：如圖8，連接AB，AC，延長PA交x軸于點M.

因為AC∥PO，所以CMAM=OCPA=810=45.

設CM=4x，則AM=5x.

由勾股定理知AC=3x，又AC=5，

所以3x=5，則x=53.

所以CM=4x=203，

OM=OC+CM=443，故

M443，0.

又A（8，5），所以

直線PA的解析式為y=-34x+11.

令x=0，則y=11.

所以點P的坐標為（0，11）.

方法七：A字形+勾股定理.

解：如圖8，連接AB，AC，延長PA交x軸于點M.

同解法六知OM=443，PM=PA+AM=553.

在Rt△POM中，PO=PM2-OM2=11.

所以點P的坐標為（0，11）.

方法八：A字形+三角函數(shù).

解：如圖8，連接AB，AC，延長PA交x軸于點M.

同方法六知△ACM三邊之比為3∶4∶5，那么tan∠AMC=34，即POOM=34.又因為OM=443，所以PO=11，所以點P的坐標為（0，11）.

點評：平面直角坐標系蘊含有直角的天然條件，與坐標結(jié)合，可以運用函數(shù)圖象;與圓的切線結(jié)合，出現(xiàn)直角，會產(chǎn)生平行線，我們自然想到延長PA，出現(xiàn)A字形，這也是最為經(jīng)典與常見的相似基本模型.方法六將相似與一次函數(shù)結(jié)合，解法超凡脫俗，富有靈氣;方法七將相似與勾股定理結(jié)合，解法經(jīng)典，中規(guī)中矩;方法八將相似與三角函數(shù)結(jié)合，解答簡單，讓人回味.

4 教學反思

在平時教學中，不少教師選擇最優(yōu)解法，用最少的時間去講解作業(yè)或試卷中的試題，很少肯花時間讓學生思考，學生當時聽后，覺得易懂，但遇到陌生的“生僻”的問題又找不到行之有效的解題方法，這樣循環(huán)往復，教師就覺得學生“笨”，“怎么講過的還是不會做？”因此，在平時解題活動中，教師要對典型題，包括選擇題、填空題進行深度探究;要舍得花時間去思考分析，注重思考的過程、分析的途徑，比如，這些條件是如何與求解結(jié)論聯(lián)系起來的，是通過哪條線、哪個角進行轉(zhuǎn)化的，為什么可以這樣作輔助線.解題后學生要進行反思、總結(jié)：當時是如何想的？為什么老師這樣解答？這樣的解題方式對以后的解題有什么幫助？要進行一題多解、一題多變、多解歸一等變式訓練，注重積累解題經(jīng)驗.

正如《義務教育數(shù)學課程標準》強調(diào)：“數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生素養(yǎng)的重要標志.”深刻探究就要讓學生經(jīng)歷操作、思考、推理、反思等過程，對數(shù)學知識加強領會與感悟，并積累分析和解決問題的基本經(jīng)驗，進而把這些經(jīng)驗遷移到后續(xù)的數(shù)學學習中去，不斷提高數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

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